1.不等式基本性质求代数式的取值范围

高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 1 不等式性质求代数式的取值范围不等式性质求代数式的取值范围 一一 知识要点 知识要点 1 不等式概念 用不等号 表示不等关系的式子称为不等式 其中用连接的不等式 如称为严格不等式 而用 f xg x 连接的不等式如称为非严格不等式 f xg x 2 比较两个实数大小的依据 主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系 来比较两个实 数 a b 的大小 即判断它们的差的符号 概括为 其中表示 等价0abab 0abab 0abab 于 意味着两边可以相互推出 3 不等式的基本性质 性质 1 对称性 若 则 若 则 即 ab ba ba ab abba 性质 2 传递性 若 则 即 ab bc ac ab ac bc 性质 3 同加或减性 若 则或 进一步可ab acbc acbc 得 移项 abcabbcbacb 或 abcabbcbacb 性质 4 若 则 若 则 0ab c acbc 0ab c acbc 性质 5 若 则 ab cd acbd 性质 6 若 则 0 0abcd acbd 性质 7 若 则 0ab nn ab 2nn A 性质 8 若 则 0ab nn ab 2nn A 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 2 特别强调特别强调 不一定成立 因为当时 有 当 11 ab ab 0ab 11 ab 时 无意义 当时 有 0ab 11 ab 0ab 11 ab 二二 解题思路解题思路 利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合 问题 解此类问题时 常利用不等式性质 3 的推论 即 同向不等式 的两边可对应相加 异向不等式的两边可相减 但请注意 此种转化并不是等价变形此种转化并不是等价变形 在一个解题过程中多次利用在一个解题过程中多次利用 这种转化时这种转化时 就有可能扩大真实的取值范围就有可能扩大真实的取值范围 从而求出错误答案从而求出错误答案 正确的解法是 先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系 再 通过 一次性不等关系的运算 求出待求的范围 三 求解步骤求解步骤 把将要计算的代数式 c 用已知的两个代数式 a 与 b 表达出来 即 令 其中为常数 并求出的值 此方法可以推广到 12 ck ak b 12 k k 12 k k 多个代数式的情况 分别求出的取值范围 12 k ak b与 一次性利用不等式的性质 求出的取值范围 即得代数式 12 k ak b c 的取值范围 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 3 四四 高考题演练高考题演练 1 辽宁高考 已知且 则的取值范围 14xy 23xy 23zxy 是 提示 1 2 江苏高考 设实数满足 则的最大值是 x y 2 2 38 49 x xy y 3 4 x y 提示 2 3 若满足 则的最大值是 提示 11 123 3 3 4 已知 则的取值范围是 提示 3 1lg2 2lg3 xx yy 2 3 lg x y 4 5 已知且 则的取值范围是 2 f xaxc 4 1 1 1 2 5ff 3 f 提示 5 6 已知 且 求的取值范围 提示12ab 24ab 42ab 6 7 已知二次函数的图像过原点 且 求 yf x 1 1 2 3 1 4ff 的取值范围 提示 7 2 f 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 4 参考答案参考答案 提示 1 设 因为23 zxym xyn xym n xmn y 得 所以 2 3 mn mn 1 2 5 2 m n 11515 2 5 2222 xyxy 则 即 15 3 8 22 xyxy 3238xy 提示 2 显然 为转化为上面用到的基本解法 因此可 32 212 4 xx xy yy 两边同时取对数 化为的形式 易得 32 2 4 lglg2lg xx xy yy 即 则 2 2 lg82lg4lg2lglg32lg9 x xy y 3 4 lg2lglg27 x y 最大值是 27 3 4 227 x y 提示 3 设 因为 得 3 2 2 mnm nmn 1 23 mn mn 1 2 m n 所以易求 137 提示 4 已知条件可化为 1lglg2 1 23lglg3 2 xy xy 设 易求 最 3 3 11 lg3lglg lglg 3lglg 32 x xymxynxy y 116 515 mn 终的取值范围是 2 3 lg x y 26 3 15 提示 5 已知条件可知 则 1 2 4 fac fac 1 2 1 3 41 1 2 33 aff cff 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 5 则易求的取值范围是 58 3 9 1 2 33 facff 3 f 1 20 提示 6 类似以上解法可求 54210ab 提示 7 法 1 待定系数法 可求 设 1 1 2 3 1 4 fab fab 2 42