江苏省高等数学竞赛试题[1]2

1 2010 年江苏省 高等数学 竞赛试题 民办本科 一 填空题 每题 4 分 共 32 分 1 0 sinsin sin lim sin x xx x 2 2 arctantan x yxex y 3 设由确定 则 yx xy yy x dy dx 4 2 cosyx n yx 5 2 1 x x e dx x 6 2 1 4 0 arctan 1 xx dx x 7 圆的面积为 222 2220 42219 xyz xyzxyz 8 可微 则 2 x zfxy y f 12 3 2 2 3 2 3ff 2 1 x y dz 二 10 分 设为正常数 使得对一切正数成立 求常数的最小值a 2ax xe xa 三 10 分 设在上连续 且 求证 存在点 f x 0 1 11 00 f x dxxf x dx 使得 0 1 0 0f x dx 四 12 分 过原点作曲线的切线 求该切线 曲线与 0 0lnyx lnyx 轴所围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积 xx 五 12 分 已知正方体的边长为 2 为的中点 为 1111 ABCDABC D E 11 DCF 侧面正方形的中点 1 试求过点的平面与底面所成二 11 BCC B 1 A E FABCD 面角的值 2 试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积 1 A E F 六 12 分 已知是等腰梯形 求ABCD 8BCAD ABBCCD 的长 使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大 AB BC ADAD 2 七 12 分 求二重积分 其中 22 cossin D xy dxdy 22 1 0 0D xyxy 2006 年江苏省高等数学竞赛试题 本科三级 民办本科 年江苏省高等数学竞赛试题 本科三级 民办本科 一 填空 每题 5 分 共 40 分 1 222 323232 12 lim 12 n n nnnn 2 2 3 00 1 lim1 x t x edt x 3 则 2 lim320 x xxaxb a b 4 2sin 1 0 x f xxxe f 5 设由确定 则 y z xze zz x y 0e dz 6 函数中常数满足条件 时 2 x f x yeaxby a b 为其极大值 1 0f 7 交换二次积分的次序 2 1 1 x ee x dxf x y dy 8 设 则 22 2 02Dxxyyx 22 1 D dxdy xy 二 8 分 设 试问为何值时 在 2 sin0 ln 10 axbxcx f x xx a b c f x 处一阶导数连续 但二阶导数不存在 0 x 三 9 分 过点作曲线的切线 1 求的方程 2 求与 1 5 3 yx LL 所围成平面图形的面积 3 求图形的部分绕轴旋转一周所得LDD0 x x 立体的体积 四 8 分 设在上是导数连续的函数 f x 00f 1f xfx 求证 1 0 x f xex 五 8 分 求 1 2 0 arctan 1 xdx x 3 六 9 分 本科三级做 设 22 22 tan 0 0 0 0 0 xy xyx y xyf x y x y 证明在点处可微 并求 f x y 0 0 0 0 df x y 民办本科做 设圆柱面被柱面截下的有限部分为 22 1 0 xyz 2 22zxx 为计算曲面的面积 用薄铁片制作的模型 为上的三点 将沿线段剪开并展成平面图 1 0 5 1 0 1 1 0 0ABC BC 形 建立平面在极坐标系 使位于轴正上方 点坐标为 写出DDxA 0 5 的边界的方程 并求的面积 DD 七 9 分 本科一级考生做 用拉格朗日乘数法求函数 在区域上的最大值与最小值 22 22f x yxxyy 22 24xy 八 9 分 设为所围成的平面图形 求 D 0 2 yx xy cos D xy dxdy 2004 年江苏省高等数学竞赛试题 本科三级 年江苏省高等数学竞赛试题 本科三级 一 填空 每题 5 分 共 40 分 1 是周期为的奇函数 且在处有定义 当时 f x 0 x 0 2 x 求当时 的表达式 sincos2f xxx 2 x f x 2 时 与为等价无穷小 则 0 x sincosxxx k cxc 3 2 tan 2 lim sin x x x 4 2222 lim 14 n nnn nnnn 5 时 2 ln 1 2f xxxn 0 n f 6 2 1 x x ex dx xe 4 7 1 1 arctan x zdz y 8 设 为 则 01 0 xx f xg x 其他 D xy D fy f xy dxdy 二 10 分 设在上连续 在内可导 f x a b f x a b f aa 求证 内至少存在一点使得 22 1 2 b a f x dxba a b 1ff 三 10 分 设 在的边界上任取点 22 4 24D yxyxxy Dyx P 设到原点距离为 作垂直于 交的边界于PtPQyx D 22 4yx Q 1 试将的距离表示为 的函数 P QPQt 2 求饶旋转一周的旋转体的体积Dyx 四 10 分 设在上有定义 在处连续 且对一切实数 f x f x0 x 有 求证 在上处处连续 12 x x 1212 f xxf xf x f x 五 10 分 上为常数 方程在恰有一个根 求的取值范k 1 10kx x 0 k 围 六 10 分 已知点 在平面上求一点 使 1 0 1 3 1 2 PQ 212xyz M 最小PMMQ 2002 年江苏省高等数学竞赛试题 本科三级 一 填空 每题 5 分 共 40 分 1 则 0 lim0 xx k x ee c c x k c 2 设在上可导 下列结论成立的是 f x 1 A 若 则在上有界 lim0 x fx f x 1 B 若 则在上无界 lim0 x fx f x 1 5 C 若 则在上无界 lim1 x fx f x 1 3 设由确定 则 1 y ex yxx yy x 0 y 4 arcsinarccosxx dx 5 4 1 1 dx xx 6 设 有二阶连续导数 有二阶连续偏导数 sin x y zfg ey x fg 则 2z x y 7 交换二次积分的次序 2 13 0 x x dxf x y dy 8 函数满足方程的条件的极大值为 21f x yxy 22 5xy 极小值为 二 8 分 设在上连续 单调减少 f x 0 0ab 求证 00 ba af x dxbf x dx 三 8 分 设 1 若 求证在上恰有一个 sinf xkxx 1k f x 零点 2 若 且在上恰有一个零点 求常数的取值范围 0k f x k 四 8 分 求 2 0 1 sin 1 cos x x edx x 五 9 分 设讨论在点 22 1 arctan 0 0 0 0 0 yx y xyf x y x y f x y 处连续性 可偏导性 可微性 0 0 六