考研数学线性代数强化资料-特征值与特征向量

点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资料 2017 考研已经拉开序幕 很多考生不知道如何选择适合自己的 考研复习资料 中公考研辅导老师为考生准备了 线性代数 特征值 与特征向量知识点讲解和习题 希望可以助考生一臂之力 同时中 公考研特为广大学子推出考研集训营 专业课辅导 精品网课 vip1 对 1 等课程 针对每一个科目要点进行深入的指导分析 欢迎 各位考生了解咨询 模块八 特征值与特征向量 教学规划 教学目标 1 全面掌握特征值与特征向量的概念 性质 2 熟练掌握数值型矩阵的特征值与特征向量的求解方法 3 熟练掌握各类抽象型矩阵的特征值与特征向量的求解方法 4 系统梳理 矩阵 向量 方程组 与特征值与特征向量之间的联系 主要内容 1 特征值与特征向量的概念与性质 2 数值型矩阵特征值与特征向量的计算方法 3 抽象型矩阵特征值与特征向量的计算方法 4 特征值重数与无关特征向量的关系 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资料 重难点 1 理解掌握矩阵乘法运算与特征向量的联系 2 抽象矩阵行列式的计算 3 特征值重数与无关特征向量的关系 知识点回顾知识点回顾 一 基本概念 设A为n阶矩阵 是一个数 若存在一个n维的非零列向量 使得关系式 A 成立 则称 是矩阵A的特征值特征值 是属于特征值 的特征向量特征向量 设E为n阶单位矩阵 则行列式EA 称为矩阵A的特征多项式特征多项式 二 公式定理 定理定理 1 设 12 s 都是矩阵A属于特征值 的特征向量 则对任意常数 12 s k kk 当 1122 0 ss kkk 时 1122 ss kkk 也是矩阵A属于特征值 的特征 向量 定理定理 2 矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关 推论 推论 假设 12 分别为矩阵A属于两个不同特征值的特征向量 则 12 不为矩阵 A的特征向量 定理定理 3 设 0A 则对任意的多项式 f x f Af 当矩阵A可 逆时 还有 11 fAf 定理定理 4 设 f x为任意多项式 如果矩阵A满足 f AO 则A的任一特征值 都满 足 0f 定理定理 5 设矩阵A所有的特征值为 12 n 其中可以有一样的 也可以有虚数 则 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资料 有 12 1 n nii i a 1 n i i A 定理定理 6 矩阵A的k重特征值至多有k个线性无关的特征向量 考点精讲 一 数值型矩阵的特征值与特征向量 例例 1 求矩阵 310 410 482 A 的特征值与特征向量 答案答案 特征值 2 1 1 2 的特征向量 0 0 1 Tk 其中0k 1 的特征向量 1 2 4 Tk 其中0k 小结 小结 求特征值主要是求行列式EA 特征值 的所有特征向量就是齐次线性方程 组 0EA x 的所有非零解 需要注意的是特征向量一定是非零的 例例 2 求矩阵 324 262 423 A 的特征值与特征向量 答案答案 特征值 7 二重 其特征向量 12 1 2 0 0 2 1 TT kk 其中 12 k k不全 为 0 特征值 2 其特征向量 T 2 1 2 k 其中0k 例例 3 求矩阵 213 426 8412 A 的特征值与特征向量 答案答案 特征值 0 二重 特征向量 12 1 2 0 0 3 1 TT kk 其中 12 k k不全为 0 特征值 16 特征向量 1 2 4 Tk 其中0k 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资料 例例 4 设n阶矩阵A的元素全为1 则A的n个特征值是 答案答案 0n n 1 重根 例例 5 设矩阵 11 1 22 2 a a A nnna 试计算A 答案答案 1 1 2 n n n a a 例例 6 设矩阵 1 53 10 ac Ab ca 其行列式1A 又 A 的伴随矩阵 A有一个特 征值 0 属于 0 的一个特征向量为 1 1 1 T 求 a b c和 0 的值 答案答案 0 2 3 1acbl 小结 小结 当题目中出现了特征向量时 一般直接代入定义式A 二 抽象型矩阵的特征值与特征向量 例例 7 设A是n阶实对称矩阵 P是n阶可逆矩阵 已知n维列向量 是A的属于特 征值 的特征向量 则矩阵 1 T P AP 属于特征值 的特征向量是 A 1 P B T P C P D 1 T P 答案答案 B 例例 8 设A为 2 阶矩阵 12 为线性无关的 2 维列向量 1212 0 2AA 则A的非零特征值为 答案答案 1 例例9 设A为n阶可逆矩阵 那么下列矩阵中与A具有相同特征值的是 A T A B 2 A C 1 A D AE 答案答案 A 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资料 例例10 设A为n阶矩阵 P为n阶可逆矩阵 为矩阵A属于特征值 的特征向量 则下列矩阵中 2 A 1 P AP T A 2EA 肯定是其特征向量的有 个 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 B 小结 小结 1 11 111 1 nT n AkAAfAAAfAP APA kfAf P 矩阵 特征值 特征向量 要注意 公式中哪些特征值发生了变化 哪些特征向量发生了变化 例例 11 设A为3阶矩阵 已知30EA 矩阵2EA 不可逆 线性方程组 0EA x 有非零解 试求 AE 答案答案 42 例例 12 设3阶矩阵A满足 2 23AAEO 且1A 试求 1 AA 答案答案 1000 9 例例 13 设4阶矩阵A的伴随矩阵为 A A的特征值为6 6 2 3 则下列矩阵中可 逆的是 A AE B AE C 2EA D 2EA 答案答案 D 三 综合讨论 例例 14 设 12 nA 是阶矩阵的特征值 12 A 分别是的对应于 12 的特征向量 则 A 当 12 时 12 对应分量必成比例 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资料 B 当 12 时 12 对应分量不成比例 C 当 12 时 12 对应分量必成比例 D 当 12 时 12 对应分量必不成比例 答案答案 D 例例 15 设n阶矩阵A满足 32 2AAO 证明 矩阵AE 可逆 例例 16 设n阶矩阵A的秩