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文档简介

第四节函数展开成幂级数 一 问题的提出 如下图 不足 问题 1 精确度不高 2 误差不能估计 分析 2 若有相同的切线 3 若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1 若在点相交 三 泰勒 Taylor 中值定理 证明 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 注意 麦克劳林 Maclaurin 公式 四 泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f x 为和函数 问题 1 如果能展开 是什么 2 展开式是否唯一 3 在什么条件下才能展开成幂级数 证明 泰勒系数是唯一的 逐项求导任意次 得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f x 不一定 可见 在x 0点任意可导 证明 略 二 函数展开成幂级数 1 直接法 泰勒级数法 步骤 例1 解 由于M的任意性 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意 双阶乘 2 间接法 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式 例如 例4 解 1 2 3 4 5 6 7 三 小结 1 如何求函数的泰勒级数 2 泰勒级数收敛于函数的条件 3 函数展开成泰勒级数的方法 思考题 什么叫幂级数的间接展开法 思考题解答 从已知的展开式出发 通过变量代换 四则运算或逐项求导 逐项积分等办法 求出给定函数展开式的方法称之 练习题 练习题答案 此课件下载可自行
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