巧借三角形的两条内(外)角平分线夹角的模型解决问题

D C A A B C D D C B A A B C D E D CB A 巧借三角形的两条内 外 角平分线夹角的模型解决问题巧借三角形的两条内 外 角平分线夹角的模型解决问题 新北实验中学 严云霞 基本模型基本模型 三角形的两个内 外 角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系三角形的两个内 外 角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一 当这两个角为内角时 这个夹角等于 90 与第三个角一半的和 如图 1 模型二 当这两个角为外角时 这个夹角等于 90 与第三个角一半的差 如图 2 模型三 当这两个角为一内角 一外角时 这个夹角等于第三个角一半 如图 3 分析分析 三个结论的证明三个结论的证明 例 1 如图 1 ABC 中 BD CD 为两个内角平分线 试说明 D 90 A 2 1 方法一 解 BD CD 为角平分线 CBD ABC BCD ACB 2 1 2 1 在 BCD 中 D 180 CBD BCD 180 ABC ACB 2 1 180 180 A 2 1 180 180 A 2 1 2 1 90 A 2 1 方法二 解 连接 AD 并延长交 BC 于点 E 解 BD CD 为角平分线 CBD ABC BCD ACB 2 1 2 1 BDE 是 ABD 的外角 如图 1如图 2如图 3 BDE BAD ABD BAD ABC 2 1 同理可得 CDE CAD ACB 2 1 又 BDC BDE CDE BDC BAD ABC CAD ACB 2 1 2 1 BAC ABC ACB 2 1 BAC 180 BAC 2 1 90 BAC 2 1 例 如图 为 的两条外角平分线 试说明 D 90 A 2 1 解 BD CD 为角平分线 CBD CBE 2 1 BCD BCF 2 1 又 CBE BCD 为 ABC 的外角 CBE A ACB BCF A ABC CBE BCF A ACB A ABC A 180 在 BCD 中 D 180 CBD BCD 180 CBE BCF 2 1 2 1 180 CBE BCF 2 1 180 A 180 2 1 90 A 2 1 小结小结 通过对模型通过对模型 1 1 2 2 的分析和证明 我们还能发现三角形两内角平分的分析和证明 我们还能发现三角形两内角平分 线的夹角和两外角平分线的夹角互补 即和为线的夹角和两外角平分线的夹角互补 即和为 180 180 例 如图 在 ABC 中 BD 为 ABC 的平分线 CD 为 的平分线 试说明 D A 2 1 D C B A 解 BD 为角平分线 CBD ABC 2 1 又 CD 为 ACE 的平分线 DCE ACE 2 1 而 DCE 为 BCD 的一个外角 DCE D DBC 即 D DCE DBC D ACE ABC 2 1 2 1 ACE ABC 2 1 A 2 1 巧借模型解决问题巧借模型解决问题 一 一 运用模型直接求值运用模型直接求值 例例 4 4 如图 在 ABC 中 400 D 点是 ABC 和 ACB 角 平分线的交点 则 BDC 0 思路分析思路分析 由条件知 这是图 1 的模型 三角形两条内 角平分线的夹角 BDC 90 A 2 1 当 400时 BDC 90 20 110 反之 如果已知 BDC 的度数 则把度数代入公式 BDC 90 A 2 1 可以解出 A 的度数 二 二 运用模型揭秘画图题运用模型揭秘画图题 例例 5 5 小明用下面的方法画出了 45 角 作两条互相垂直的直线 MN PQ 点 A B 分别是 MN PQ 上任意一点 作 ABP 的平分线 BD BD 的反向延长线交 OAB 的平分线于点 C 则 C 就是所求的 45 角 你认为对吗 请给出证 明 思路分析思路分析 通过对两条角平分线的分析 可以发现 AC BD 分别是 AOB 的 内角平分线和外角平分线的夹角 根据图 3 的结论 这 个夹角等于第三个角一半 可知 C AOB 2 1 解 先模仿图 3 证明 C AOB 2 1 又 AOB 90 C AOB 45 2 1 三 三 运用模型探究规律 提升拓展运用模型探究规律 提升拓展 例例 6 6 问题引入 1 如图 在 ABC 中 点 O 是 ABC 和 ACB 平分线的交点 若 A 则 BOC 用 表示 拓展研究 2 如图 CBO ABC BCO ACB A 试求 BOC 的度数 1 3 1 3 用 表示 归纳猜想 3 若 BO CO 分别是 ABC 的 ABC ACB 的 n 等分线 它们交于点 O CBO ABC BCO ACB A 则 BOC 1 n 1 n 用 表示 类比探索 4 特例思考 如图 CBO DBC BCO ECB A 求 1 3 1 3 BOC 的度数 用 表示 一般猜想 若 BO CO 分别是 ABC 的外角 DBC ECB 的 n 等分线 它 们交于点 O CBO DBC BCO ECB A 请猜想 BOC 1 n 1 n 用 表示 思路分析思路分析 1 此为图 1 的模型 O 90 BAC 90 2 1 2 1 2 把角平分线换成 但证明的思路大致相似 1 3 在 OC 中 BOC 180 OBC OCB 180 ABC ACB 1 3 180 180 A 1 3 180 180 A 1 3 1 3 120 A 1 3 120 1 3 3 把角平分线换成 证明的思路类似 1 n 在 中 BOC 180 OBC OCB 180 ABC ACB 1 n 180 180 A 1 n 180 180 A 1 n 1 n 180 A 1n n 1 n 180 1n n 1 n 4 此为图 2 的模型中 把角平分线换成 证明如下 1 3 CBD BCE 为 ABC 的外角 CBD A ACB BCE A ABC CBD BCE A ACB A ABC A 180 在 中 BOC 180 CBO BCO 180 CBD BCE 1 3 1 3 180 CBD BCE 1 3 180 A 180 1 3 120 A 1 3 120 1 3 一般猜想 把再次推广为 证明类似 1 3 1 n 在 中 BOC 180 CBO BCO 180 CBD BCE 1 n 1 n 180 CBD BCE 1 n 180 A 180 1 n 180 A 1n n 1 n 180 1n n 1 n 小结小结 在 在 2 2 3 3 4 4 的结果对比中 我们发现这两个夹角不再互补 的结果对比中 我们发现这两个夹角不再互补 但仍然存在中间的运算符号相反的问题 从一般猜想中可以发现这个规律 虽但仍然存在中间的运算符号相反的问题 从一般猜想中可以发现这个规律 虽 然在问题设计中引起一连串的变式 从然在问题设计中引起一连串的变式 从变成 再从推广为 但问题证 1 2 1 3 1 3 1 n 明的思路并未发生质的变化 四 四 三种模型合为一体 渗透分类思想三种模型合为一体 渗透分类思想 例例 7 7 好学的小红在学完三角形的角平分线后 钻研了下列 4 个问题 请你一 起参与 共同进步 如图 ABC 点 I 是 ABC 与 ACB 平分线的交点 点 D 是 MBC 与 NCB 平 分线的交点 点 E 是 ABC 与 ACG 平分线的交点 问题 1 若 BAC 50 则 BIC BDC 问题 2 猜想 BEC 与 BAC 的数量关系 并说明理由 问题 3 若 BAC x 0 x 90 则当 ACB 等于 度 用含 x 的 代数式表示 时 CE AB 说明理由 问题 4 若 BDE 中存在一个内角等于另一个内角的三倍 试求 BAC 的度 数 思路分析思路分析 1 已知点 I 是两内角 ABC ACB 平分线的交点 故由图 1 归纳的模型 BIC 90 BAC 由此可求 BIC 因为 CD BD 分别为 ABC 的两外角平分 线 故由图 2 的模型 BDC 190 BAC 由此可求 BDC 2 因为 BE CE 分别为 ABC 的内角 外角平分线 故由图 3 的模型 BEC BAC 由此可求 BEC 3 当 CE AB 时 BEC ABC 由 3 可知 ABC BAC ACB 180 BAC 4 由题意可证 BDE 是直角三角形 DBE 90 D E 90 已知条 件中 一个内角等于另一个内角的三倍 则不明确 所以应当分类讨论 若 EBD 3 D 若 EBD 3 E 若 D 3 E 若 E 3 D 解 1 点 I 是两角 B C 平分线的交点 BIC 180 IBC ICB 180 ABC ACB 180 180 A 90 BAC 115 类似证明 BDC 180 BIC 90 BAC 65 或者也可以这样证明 BE BD 分别为 ABC 的内角 外角平分线 IBC ABC CBD CBM DBI IBC CBD IBC ABC CBM ABC CBM 180 DBI 90 同理 DCI 90 在四边形 CDBI 中 BDC 180 BIC 90 BAC 65 2 有图 3 的模型可证 BEC BAC 也可借助上面的小题这样证明 在 BDE 中 DBI 90 BEC 90 BDC 90 90 BAC BAC 3 当 ACB 等于 180 2x 时 CE AB 理由如下 CE AB ACE A x CE 是 ACG 的平分线 ACG 2 ACE 2x ABC ACG BAC 2x x x ACB 180 BAC ABC 180 2x 4 由题意知 BDE 是直角三角形 D E 90 若 EBD 3 D 时 BAC 120 若 EBD 3 E 时 BAC 60 若 D 3 E 时 BAC 45 若 E 3 D 时 BAC 135 综上所述 BAC 120 或 60 或 45 或 135 巩固练习 巩固练习 1 1 如图 BO CO 分别平分 ABC 和 ACB 1 若 A 40 求 BOC 的度数 2 若 A 60 BOC 若 A 100 BOC 3 由 1 2 的结果 试直接写出 BOC 与 A 之间的数量关系 4 利用你得出的结论 求当 BOC 150 时 求 A 的度 数 2 已知如图 COD 90 直线 AB 与 OC