海淀区2018届高三期末数学(文)试题及答案(word版)

海淀区高三年级第一学期期末练习海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 文科 2018 1 本试卷共 4 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题纸 上 在试卷上作答无效 考试结束后 将答题纸交回 第一部分 选择题 共第一部分 选择题 共 40 分 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 已知 是虚数单位 若 则实数的值为ii i 1 ia a A B C D 10 1 2 2 已知 若 则 a b Rab A B C D 2ab 2 abb 11 22 ab 33 ab 3 执行如图所示的程序框图 输出的值为k A 4 B 5 C 6 D 7 开始 a 1 k 1 a 2a k k 1 结束 a 10 输出 k 否 是 4 下面的茎叶图记录的是甲 乙两个班级各 5 个同学在一次数学测试中的选择题的成 绩 单位 分 每道题 5 分 共 8 道题 甲班乙班 52 x530 y 0 5 0040 已知两组数据的平均数相等 则 x y的值分别为 A 0 0 B 0 5 C 5 0 D 5 5 5 已知直线与圆相交于两点 且为正三角形 0 xym 22 1 O xy A B OAB 则实数的值为m A B C 或 D 或 2 36 22 3 2 3 2 6 2 6 6 设 则 是 直线与直线平行 的a R1a 10axy 10 xay A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 在中 是边的中点 则的取值范围是 ABC1 ABACDAC BD CD A B C D 3 1 4 4 1 4 3 4 1 3 4 4 8 已知正方体的棱长为 2 分别是棱的中点 点 1111 ABCDABC D M N 11 BCC D 在平面内 点在线段上 若 则长度的最小值为 P 1111 ABC DQ 1 AN5 PMPQ A B 21 2 C D 3 5 1 5 3 5 5 第二部分 非选择题 共第二部分 非选择题 共 110 分 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 已知双曲线的一条渐近线方程为 22 1axy xy 则实数的值为 a 10 若变量满足约束条件则 x y 0 10 220 y xy xy 的最大值是 zxy 11 在中 且的面 ABC 1a 7b ABC 积为 则 3 2c 12 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥四个面 的面积中最大的值是 1 2 2 2 2 2 2 主视图左视图 俯视图 13 函数的最大值为 若函数的图象与直线 2 0 2 0 x x f x xx x f x 有且只有一个公共点 则实数的取值范围是 1 yk xk 14 某次高三英语听力考试中有 5 道选择题 每题 1 分 每道题在 A B C 三 个选项中只有一个是正确的 下表是甲 乙 丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得分 12345得分 甲CCABB 4 乙CCBBC3 丙BCCBB2 则甲同学答错的题目的题号是 此正确的选项是 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 已知等差数列的前项和为 且 n an n S5 2 a 73 aS 求数列的通项公式 n a 若 求数列的前项和 n a n b2 nn ba n 16 本小题 13 分 已知函数 cos2tan 4 f xxx 求函数的定义域 f x 求函数的值域 f x 17 本小题 13 分 据中国日报网报道 2017 年 11 月 13 日 TOP500 发布了最新一期全球超级计算机 500 强榜单 中国超算在前五名中占据两席 其中 超算全球第一 神威 太湖之光 完全使用了 国产处理器 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度 某调查公司对两种国产品牌处理 器进行了 12 次测试 结果如下 数值越小 速度越快 单位是 MIPS 测试 1 测试 2 测试 3 测试 4 测试 5 测试 6 测试 7 测试 8 测试 9 测试 10 测试 11 测试 12 品牌A3691041121746614 品牌B2854258155121021 设 分别表示第 次测试中品牌和品牌的测试结果 记 i a i biAB iii Xab 1 2 12i 求数据的众数 12312 XXXX 从满足的测试中随机抽取两次 求品牌的测试结果恰有一次大于品牌4 i X A 的测试结果的概率 B 经过了解 前 6 次测试是打开含有文字与表格的文件 后 6 次测试是打开含有文字 与图片的文件 请你根据表中数 运用所学的统计知识 对这两种国产品牌处理器打开文件 的速度进行评价 18 本小题 14 分 如图 三棱柱中 111 CBAABC 侧面底面 11A ABB ABCABAC 2 1 AAABAC 0 60 11 BAA 分别为棱的中点 FE BCBA 11 求证 AEAC 求三棱柱的体积 111 CBAABC 在直线上是否存在一点 使得平面 若存在 求出的长 若 1 AA P CPAEFAP 不存在 说明理由 19 本小题 14 分 已知椭圆 直线与椭圆相交于 两点 22 1 3 xy C mm 20 l xyCPQ 与轴交于点 B 点与点不重合 x P QB 求椭圆的离心率 C 当时 求椭圆的方程 2 OPQ SC 过原点作直线 的垂线 垂足为若 求的值 Ol N PNBQ 20 本小题 13 分 已知函数 2 1 exf xxax 求曲线在点处的切线方程 yf x 0 0 f 求证 是 函数有且只有一个零点 的充分不必要条件 0a f x 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 题号12345678 选项AD BBDCAC 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 有两空的小题第一空有两空的小题第一空 3 分分 9 10 11 或 答对一个 答对一个1222 3 给给 3 分 分 12 13 1 14 5 A 3 2 0 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 15 本题共 13 分 解 设等差数列的首项为 公差为 n a 1 ad 解得 3 dada da 633 5 11 1 3 1 a2 d 分 由 则 5dnaan 1 1 12 nan 分 因此 通项公式为 12 nan 由 可知 则 12 nan 12 2 n n b 6 分 因为 4 2 2 12 112 1 n n n n b b 3 1 28b 所以是首项为 8 公比为的等比数列 n b4 q 7 分 记的前项和为 则 nn ba n n T nnn bababaT 2211 nn bbbaaa 2121 11 分 q qbaan n n 1 1 2 11 13 分 3 148 2 2 n nn 16 本题共 13 分 解 2 24 kxZk 分 解得 4 3 kxZk 所以 函数的定义域为 4 Zkkxx 4 3 分 注 不写注 不写扣扣 1 分 只扣一次 分 只扣一次 结果有一个写了集合符号 结果有一个写了集合符号 Zk 不扣分 都没写集合符号 统一扣不扣分 都没写集合符号 统一扣 1 分分 tan cos 4 2 xxxf 8 分 x x xx tan tan sin cos 1 1 22 9 分 xx xx xxxx sincos cossin sin cossin cos 2 sin cosxx 10 分12 xxcossin 11 分12 xsin 因为 所以 3 4 xkkZ 3 2 2 xkkZ 所以 sin21x 所以 函数的值域为 f x 02 13 分 注 结果写成扣两分 2 0 17 本题共 13 分 解 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 124624421647 所以等于 1 有 2 次 2 有 3 次 4 有 4 次 6 有 2 次 7 有 i X i X i X i X i X 1 次 则数据的众数为 4 12312 XXXX 5 分 设事件 D 品牌的测试结果恰有一次大于品牌的测试结果 AB 6 分 满足的测试共有 4 次 其中品牌的测试结果大于品牌的测试结4 i X AB 果有 2 次即测试 3 和测试 7 不妨用 M N 表示 品牌的测试结果小于品牌A 的测试结果有 2 次即测试 6 和测试 11 不妨用 P Q 表示 从中随机抽取两B 次 共有 MN MP MQ NP NQ PQ 六种情况 其中事件 D 发生 指的是 MP MQ NP NQ 四种情况 故 10 分 42 63 P D 本题为开放问题 答案不唯一 在此给出评价标准 并给出可能出现的 答案情况 阅卷时按照标准酌情给分 给出明确结论 1 分 结合已有数据 能够运用以下两个标准中的任何一个陈 述得出该结论的理由 2 分 标准标准 1 1 分别比较两种不同测试的结果 根据数据进行阐述分别比较两种不同测试的结果 根据数据进行阐述 标准标准 2 2 会用测试结果的平均数进行阐述 会用测试结果的平均数进行阐述 13 分 标准 1 会用前 6 次测试品牌 A 品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A 品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述 这两种品牌的处理器打 开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文 件的测试结果平均值 这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均 速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度 标准 2 会用前 6 次测试品牌 A 品牌 B 的测试结果的方差与后 6 次 测试品牌 A 品牌 B 的测试结果的方差进行阐述 这两种品牌的处理器打开含 有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测 试结果的方差 这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均 小于打开含有文字和图片的文件速度的波动 标准 3 会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值 后 6 次测试结果的平 均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值 后 6 次测试结果的平均值进行阐述 品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值 品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值 品牌 A 打开 含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B 品牌 A 打开含有文字和图形的文件 的速度快于品牌 B 标准 4 会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差 后 6 次测试结果的方差 与品牌 B 前 6 次测试结果的方差 后 6 次测试结果的方差进行阐述 品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差 品牌 A 后 6 次测试结 果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差 品牌 A 打开含有文字和表格的文 件的速度波动大于品牌 B 品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于 品牌 B 标准 5 会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试 结果的平均值进行阐述 品牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次 测试结果的平均值 品牌 A 打开文件的平均速度快于 B 标准 6 会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结 果的方差进行阐述 品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结 果的方差 品牌 A 打开文件速度的波动小于 B 标准 7 会用前 6 次测试中 品牌 A 测试结果大于 小于 品牌 B 测 试结果的次数 后 6 次测试中 品牌 A 测试结果大于 小于 品牌 B 测试结果 的次数进行阐述 前 6 次测试结果中 品牌 A 小于品牌 B 的有 2 次 占 1 3 后 6 次测试中 品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次 占 2 3 故品牌 A 打开含有文字 和表格的文件的速度慢于 B 品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B 标准 8 会用这 12 次测试中 品牌 A 测试结果大于 小于 品牌 B 测 试结果的次数进行阐述 这 12 次测试结果中 品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次 占 1 2 故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当 参考数据参考数据 期望前 6 次后 6 次12 次 品牌 A5 509 837 67 品牌 B4 3311 838 08 品牌 A 与品牌 B4 9210 83 方差前 6 次后 6 次12 次 品牌 A12 30 27 37 23 15 品牌 B5 07 31 77 32 08 品牌 A 与品牌 B8 27 27 97 18 本题共 14 分 证明 三棱柱中 111 CBAABC 侧面底面 11A ABBABCABAC 又因为侧面底面 11 ABB A IABABC 底面 ACABC 所以平面 3 分 AC 11A ABB 又因为平面 AE 11A ABB 所以 4 分AEAC 解 连接 因为三棱柱中 所以 1 AB 111 CBAABC ABBA 11 因为 所以 又因为 1 2ABAA 111 2ABAA 0 60 11 BAA 所以 是边长为 2 的正三角形 因为是棱的中点 所以 11B AAE 11B A 11B AAE 3AE 又因为 所以 ACAE ACCA 1111C AAE 因为 底面 11111 ACABA I 1111 BACA 111 CBA 所以底面 6 分 AE 111 CBA 所以三棱柱的体积为 111 CBAABC 8 1 1 1 1111 11 2 232 3 22 A B C VSAEABACAE 分 注 证明高得注 证明高得 1 分 计算高的数值为分 计算高的数值为得得 1 分 面积值为分 面积值为 2 得得 1 分 体积值为分 体积值为 3 得得 1 分分 2 3 在直线上存在点 使得平面 1 AA P CPAEF 9 分 证明如下 连接并延长 与的延长线相交 设交点为 连接 BE1 AA PCP 因为 故 11 BBAA 11 11 EAAPEP EBBBEB 由于为棱的中点 所以 故有 E 11 AB 11 EAEB PEEB 又为棱的中点 连接 FBCEF 故为的中位线 所以 11EFBCP EFCP 分 又平面 平面 EF AEFCP AEF 所以平面 13 分 CPAEF 故在直线上存在点 使得平面 1 AA P CPAEF 此时 14 11 2APBB 1 24APAA 分 注 证明线线平行注 证明线线平行 2 2 分 证明线面平行分 证明线面平行 2 2 分 下结论说明点分 下结论说明点 P 的存在的存在 1 1 分 分 AP 的长度的长度 1 1 分分 19 本题共 14 分 P F E B B1 A A1 CC1 解 2ma3 2 mb 2 mc2 2 分 故 3 2 2 2 2 a c e 3 6 e 4 分 设 11 y xP 22 y xQ 得到 02 33 22 yx myx 0312 2 mxx12 4 依题意 由得 2 12 4 4 123 0m 1m 且有 12 12 3 123 4 xx m x x 6 分 7 2 12 1 2 912361PQkxxmm 分 原点到直线 的距离 l2 d 8 分 所以 9 11 6122 22 OPQ SPQ dm 分 解得 1 7 3 m 故椭圆方程为 22 3 1 77 xy 10 分 直线 的垂线为 l ON yx 11 分 由解得交点 20 yx xy 1 1 N 12 分 因为 又PNBQ 12 3xx 所以 故的值为 1 14 BQ PN 1 2 2 2 1 2 2 2 1 x x x x 分 20 本题共 13 分 解 依题意 1 2 x fxxeax xR 分 所以切线的斜率 00k f 又因为 2 分 01f 所以切线方程为 3 分 1 先证不必要性 当时 0a 1 x f xxe 令 解得 4 分 0f x 1x 此时 有且只有一个零点 故 有且只有一个零点则 不成立 f x f x0a 5 分 再证充分性 方法一 当时 0a 2 x fxx ea 令 解得 6 分 0fx 12 0 ln2xxa i 当 即时 ln20a 1 2 a 10 x fxx e 所以在上单调增 f xR 又 2 010 220ffe 所以有且只有一个零点 7 分 f x ii 当 即时 ln20a 1 0 2 a 随的变化情况如下 f x fx x x ln2a ln2a ln2 0a 0 0 fx 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 8 分 当时 所以 90 x 1 e0 x x 2 0ax 0f x 分 又 22 2e4e20fa 所以有且只有一个零点 10 分 f x 说明 如果学生直接写出时 要扣 1 分 x 0f x iii 当 即时 随的变化情况如下 ln20a 1 2 a f x fx x x 0 0 0 ln2a ln2a ln2 a fx 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 11 分 因为 所以时 010f ln 2 xa 0f x 12 分 令 则 0 1xa 0 1x 下面证明当时 1x 2 exx 设 则 2 1 ex x g xx 2 ex xx g x