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第十二章动量矩定理 1 12 1质点和质点系的动量矩 1 质点的动量矩 对点O的动量矩 对z轴的动量矩 代数量 从z轴正向看 逆时针为正 顺时针为负 2 单位 kg m2 s 2 质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 即 3 2 刚体绕定轴转动 转动惯量 4 12 2动量矩定理 1 质点的动量矩定理 设O为定点 有 其中 O为定点 5 投影式 因此 6 得 称为质点系的动量矩定理 质点系对某定点O的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和 2 质点系的动量矩定理 由于 7 投影式 内力不能改变质点系的动量矩 8 解 由 得 9 例12 2 已知 不计摩擦 求 1 2 O处约束力 3 绳索张力 10 由 得 2 由质心运动定理 11 3 研究 4 研究 12 3 动量矩守恒定律 若 若 则常量 例 面积速度定理 有心力 力作用线始终通过某固定点 该点称力心 由于 有 常矢量 则常矢量 13 即常量 由图 因此 常量 1 与必在一固定平面内 即点M的运动轨迹是平面曲线 称面积速度 面积速度定理 质点在有心力作用下其面积速度守恒 14 求 剪断绳后 角时的 例12 4 两小球质量皆为 初始角速度 15 时 时 由 得 解 16 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 主动力 约束力 即 或 或 转动微分方程 17 例12 5 已知 求 解 18 求微小摆动的周期 例12 6 物理摆 复摆 已知 19 解 微小摆动时 即 通解为 称角振幅 称初相位 由初始条件确定 周期 20 求 制动所需时间 例12 7 已知 动滑动摩擦系数 21 解 22 例12 8 已知求 解 因 得 23 12 4刚体对轴的转动惯量 单位 kg m2 1 简单形状物体的转动惯量计算 1 均质细直杆对一端的转动惯量 由 得 24 2 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3 均质圆板对中心轴的转动惯量 式中 或 25 2 回转半径 惯性半径 或 3 平行轴定理 即 刚体对于任一轴的转动惯量 等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积 26 证明 因为 有 得 27 要求记住三个转动惯量 1 均质圆盘对盘心轴的转动惯量 2 均质细直杆对一端的转动惯量 3 均质细直杆对中心轴的转动惯量 则 28 4 组合法 求 例12 10 已知杆长为质量为 圆盘半径为 质量为 29 解 30 解 其中 由 得 31 5 实验法 例 求对轴的转动惯量 将曲柄悬挂在轴O上 作微幅摆动 由 其中已知 可测得 从而求得 解 32 6 查表法 均质物体的转动惯量 薄壁圆筒 细直杆 体积 惯性半径 转动惯量 简图 物体的形状 33 薄壁空心球 空心圆柱 圆柱 34 圆环 圆锥体 实心球 35 矩形薄板 长方体 椭圆形薄板 36 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 1 对质心的动量矩 有 其中 37 即 无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同 对任一点O的动量矩 38 2相对质心的动量矩定理 由于 即 39 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对质心的主矩 得 或 40 或 12 6刚体的平面运动微分方程 41 以上各组均称为刚体平面运动微分方程 应用时一般用投影式 42 例12 12半径为r 质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动 如图所示 设轮的惯性半径为 作用于轮的力偶矩为M 求轮心的加速度 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f 问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动 43 解 其中 得 纯滚动的条件 即 44 例12 13均质圆轮半径为r质量为m 受到轻微扰动后 在