立体几何高考真题大题

试卷第 1 页 总 18 页 立体几何高考真题大题立体几何高考真题大题 1 2016 高考新课标 1 卷 如图 在以 A B C D E F 为顶点的五面体中 面 ABEF 为正 方形 AF 2FD 且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 90AFD 60 C A D F 证明 平面 ABEF平面 EFDC 求二面角 E BC A 的余弦值 答案 见解析 2 19 19 解析 试题分析 先证明平面 结合平面 可得平面FA FDC FA FA 平面 建立空间坐标系 分别求出平面的法向量及平面FA FDC C m 的法向量 再利用求二面角 C n cos n m n m n m 试题解析 由已知可得 所以平面 FDFA FFA FA FDC 又平面 故平面平面 FA FA FA FDC 过作 垂足为 由 知平面 DDGF GDG FA 以为坐标原点 的方向为轴正方向 为单位长度 建立如图所示的空间直GGF xGF 角坐标系 Gxyz 由 知为二面角的平面角 故 则 DF DF A DF60 DF2 可得 DG3 1 4 0A 3 4 0 3 0 0 D 0 0 3 由已知 所以平面 FA A FDC 又平面平面 故 CDA FDCDC CDA CD F 由 可得平面 所以为二面角的平面角 F A FDC C F CF 从而可得 C F60 C2 0 3 所以 C1 0 3 0 4 0 C3 4 3A 4 0 0A 试卷第 2 页 总 18 页 设是平面的法向量 则 nx y z C 即 C0 0 n n 30 40 xz y 所以可取 3 0 3n 设是平面的法向量 则 m CDA C0 0 m m A A 同理可取 则 0 3 4m 2 19 cos 19 n m n m n m 故二面角的余弦值为 C A 2 19 19 考点 垂直问题的证明及空间向量的应用 名师点睛 立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线 线面 面面三者的平行与垂直关系 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面 该类题目难度不 大 以中档题为主 第二问一般考查角度问题 多用空间向量解决 2 2016 高考新课标 2 理数 如图 菱形的对角线与交于点 ABCDACBDO 点分别在上 交于5 6ABAC E F AD CD 5 4 AECF EFBD 点 将沿折到位置 HDEF EFD EF 10OD 证明 平面 D H ABCD 求二面角的正弦值 BD AC 答案 详见解析 2 95 25 解析 试卷第 3 页 总 18 页 试题分析 证 再证 最后证 ACEF D HOH D HABCD 平面 用向量法求解 试题解析 由已知得 又由得 ACBD ADCD AECF AECF ADCD 故 ACEF 因此 从而 由 得EFHD EFD H 5AB 6AC 22 04DOBABAO 由得 所以 EFAC 1 4 OHAE DOAD 1OH 3D HDH 于是 1OH 2222 3110D HOHD O 故 D HOH 又 而 D HEF OHEFH 所以 D HABCD 平面 A B C D D E H O z x y F 如图 以为坐标原点 的方向为轴的正方向 建立空间直角坐标系HHF x Hxyz 则 0 0 0H 3 2 0A 0 5 0B 3 1 0C 0 0 3 D 设是平面的 3 4 0 AB 6 0 0AC 3 1 3AD 111 mx y z ABD 法向量 则 即 0 0 m AB m AD 11 111 340 330 xy xyz 所以可以取 设是平面的法向量 则 4 3 5m 222 nxyz ACD 0 0 n AC n AD 试卷第 4 页 总 18 页 即 2 222 60 330 x xyz 所以可以取 于是 0 3 1n 147 5 cos 25 5010 m n m n mn 2 95 sin 25 m n 因此二面角的正弦值是 BD AC 2 95 25 考点 线面垂直的判定 二面角 名师点睛 证明直线和平面垂直的常用方法有 判定定理 a b a b a a 面面垂直的性质 线面垂直的 性质 常用来证明线线垂直 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两 个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角 还是钝角 3 2016 高考山东理数 在如图所示的圆台中 AC 是下底面圆 O 的直径 EF 是上底 面圆 O 的直径 FB 是圆台的一条母线 已知 G H 分别为 EC FB 的中点 求证 GH 平面 ABC 已知 EF FB AC AB BC 求二面角 的余弦值 1 2 2 3FBCA 答案 见解析 7 7 解析 试题分析 根据线线 面面平行可得与直线 GH 与平面 ABC 平行 立体几 何中的角与距离的计算问题 往往可以利用几何法 空间向量方法求解 其中解法一 建立空间直角坐标系求解 解法二则是找到为二面角的平面角直FNM FBCA 接求解 试题解析 试卷第 5 页 总 18 页 证明 设的中点为 连接 FCI GI HI 在 因为是的中点 所以CEF GCE GIF E 又所以 FE O B GI O B 在中 因为是的中点 所以 CFB HFB HIBC 又 所以平面平面 HIGII GHIABC 因为平面 所以 平面 GH GHI GHABC 解法一 连接 则平面 OO OO ABC 又且是圆的直径 所以 ABBC ACO BOAC 以为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 OOxyz 由题意得 过点作于点 0 2 3 0 B 2 3 0 0 C FFMOB垂直M 所以 22 3 FMFBBM 可得 0 3 3 F 故 2 3 2 3 0 0 3 3 BCBF 设是平面的一个法向量 mx y z BCF 试卷第 6 页 总 18 页 由 0 0 m BC m BF 可得 2 32 30 330 xy yz 可得平面的一个法向量BCF 3 1 1 3 m 因为平面的一个法向量ABC 0 0 1 n 所以 7 cos 7 m n m n m n 所以二面角的余弦值为 FBCA 7 7 解法二 连接 过点作于点 OOFFMOB M 则有 FMOO 又平面 OO ABC 所以 FM 平面 ABC 可得 22 3 FMFBBM 过点作于点 连接 MMNBC垂直NFN 可得 FNBC 从而为二面角的平面角 FNM FBCA 又 是圆的直径 ABBC ACO 所以 6 sin45 2 MNBM 从而 可得 42 2 FN 7 cos 7 FNM 所以二面角的余弦值为 FBCA 7 7 试卷第 7 页 总 18 页 考点 1 平行关系 2 异面直线所成角的计算 名师点睛 此类题目是立体几何中的常见问题 解答本题 关键在于能利用直线与 直线 直线与平面 平面与平面关系的相互转化 通过严密推理 给出规范的证 明 立体几何中的角与距离的计算问题 往往可以利用几何法 空间向量方法求解 应根据题目条件 灵活选择方法 本题能较好的考查考生的空间想象能力 逻辑推理 能力 转化与化归思想及基本运算能力等 4 2016 高考天津理数 如图 正方形 ABCD 的中心为 O 四边形 OBEF 为矩形 平面 OBEF 平面 ABCD 点 G 为 AB 的中点 AB BE 2 求证 EG 平面 ADF 求二面角 O EF C 的正弦值 设 H 为线段 AF 上的点 且 AH HF 求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值 2 3 答案 详见解析 3 3 7 21 解析 试题分析 利用空间向量证明线面平行 关键是求出面的法向量 利用法向量 与直线方向向量垂直进行论证 利用空间向量求二面角 关键是求出面的法向量 再利用向量数量积求出法向量夹角 最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正 弦值 利用空间向量证明线面平行 关键是求出面的法向量 再利用向量数量积 求出法向量夹角 最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析 依题意 如图 以为点 分别以的方OFABCD 平面O AD BA OF 向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系 依题意可得 xyz 0 0 0 O 1 1 0 1 1 0 1 1 0 11 0 1 1 2 0 0 2 1 0 0 ABCDEFG 试卷第 8 页 总 18 页 证明 依题意 设为平面 2 0 0 1 1 2ADAF 1 nx y z 的法向量 则 即 不妨设 可得ADF 1 1 0 0 nAD nAF 20 20 x xyz 1z 又 可得 又因为直线 1 0 2 1n 0 1 2EG 1 0EG n EGADF 平面 所以 EGADF平面 解 易证 为平面的一个法向量 依题意 1 1 0OA OEF 设为平面的法向量 则 1 1 0 1 1 2EFCF 2 nx y z CEF 即 不妨设 可得 2 2 0 0 nEF nCF 0 20 xy xyz 1x 2 1 1 1n 因此有 于是 所以 二面角 2 2 2 6 cos 3 OA n OA n OA n 2 3 sin 3 OA n 的正弦值为 OEFC 3 3 解 由 得 因为 所以 2 3 AHHF 2 5 AHAF 1 1 2AF 进而有 从而 因此 222 4 555 5 AHAF 3 3 4 5 5 5 H 2 8 4 5 5 5 BH 所以 直线和平面所成角的正弦值为 2 2 2 7 cos 21 BH n BH n BHn BHCEF 7 21 考点 利用空间向量解决立体几何问题 5 2016 年高考北京理数 如图 在四棱锥中 平面平面 PABCD PAD ABCD 试卷第 9 页 总 18 页 PAPD PAPD ABAD 1AB 2AD 5ACCD 1 求证 平面 PD PAB 2 求直线与平面所成角的正弦值 PBPCD 3 在棱上是否存在点 使得平面 若存在 求的值 若PAM BMPCD AM AP 不存在 说明理由 答案 1 见解析 2 3 存在 3 3 1 4 AM AP 解析 试题分析 1 由面面垂直性质定理知 AB 平面 根据线面垂直性质定理可知PAD 再由线面垂直判定定理可知平面 2 取的中点 PDAB PDPABADO 连结 以为坐标原点建立空间直角坐标系 利用向量法可求出直POCOOOxyz 线与平面所成角的正弦值 3 假设存在 根据 A P M 三点共线 设PBPCD 根据平面 即 求的值 即可求出的APAM BMPCD0 nBM AM AP 值 试题解析 1 因为平面平面 PAD ABCDABAD 所以平面 所以 ABPADPDAB 又因为 所以平面 PDPA PDPAB 2 取的中点 连结 ADOPOCO 因为 所以 PAPD ADPO 又因为平面 平面平面 POPAD PADABCD 所以平面 POABCD 因为平面 所以 COABCD POCO 因为 所以 CDAC ADCO 如图建立空间直角坐标系 由题意得 xyzO 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 1 0 1 0 PDCBA 设平面的法向量为 则PCD zyxn 试卷第 10 页 总 18 页 即 0 0 n PD n PC 02 0 zx zy 令 则 2 z2 1 yx 所以 2 2 1 n 又 所以 1 1 1 PB 3 3 cos PBn PBn PBn 所以直线与平面所成角的正弦值为 PBPCD 3 3 3 设是棱上一点 则存在使得 MPA 1 0 APAM 因此点 1 1 0 BMM 因为平面 所以平面当且仅当 BMPCD BMPCD0 nBM 即 解得 0 2 2 1 1 4 1 所以在棱上存在点使得平面 此时 PAMBM PCD 4 1 AP AM 考点 1 空间垂直判定与性质 2 异面直线所成角的计算 3 空间向量的运用 名师点睛 平面与平面垂直的性质的应用 当两个平面垂直时 常作的辅助线是在 其中一个面内作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 进而可以证明线线垂直 必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系 构造 寻找 二面角的平面角或得 到点到面的距离等 6 2016 高考新课标 3 理数 如图 四棱锥中 地面 PABC PA ABCD 为线段上一点 ADBCA3ABADAC 4PABC MAD 试卷第 11 页 总 18 页 为的中点 2AMMD NPC 证明平面 MNAPAB 求直线与平面所成角的正弦值 ANPMN 答案 见解析 8 5 25 解析 试题分析 取的中点 然后结合条件中的数据证明四边形为平行PBTAMNT 四边形 从而得到 由此结合线面平行的判断定理可证 以为坐MNATAA 标原点 以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系 然后通过求直线 AD AP y z 的方向向量与平面法向量的夹角来处理与平面所成角 ANPMNANPMN 试题解析 由已知得 取的中点 连接 由2 3 2 ADAMBPTTNAT 为中点知 NPCBCTN 2 2 1 BCTN 又 故 四边形为平行四边形 于是 BCAD TN AMAAMNTATMN 因为平面 平面 所以平面 ATPAB MNPAB MNPAB 取的中点 连结 由得 从而 且BCEAEACAB BCAE ADAE 5 2 2222 BC ABBEABAE 以为坐标原点 的方向为轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系AAE x xyzA 由题意知 4 0 0 P 0 2 0 M 0 2 5 C 2 1 2 5 N 0 2 4 PM 2 1 2 5 PN 2 1 2 5 AN 试卷第 12 页 总 18 页 设为平面的法向量 则 即 可 nx y z PMN 0 0 PNn PMn 02 2 5 042 zyx zx 取 0 2 1 n 于是 8 5 cos 25 n AN n AN nAN 考点 1 空间直线与平面间的平行与垂直关系 2 棱锥的体积 技巧点拨 1 证明立体几何中的平行关系 常常是通过线线平行来实现 而线线 平行常常利用三角形的中位线 平行四边形与梯形的平行关系来推证 2 求解空间 中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系 利用空间向量中的夹角与距离来处 理 7 2016 高考浙江理数 如图 在三棱台中 平面平面 ABCDEF BCFE ABC BE EF FC 1 BC 2 AC 3 90ACB 求证 EF 平面 ACFD 求二面角 B AD F 的平面角的余弦值 答案 证明见解析 3 4 解析 试题分析 先证 再证 进而可证平面 FC AFC F CFDA 方法一 先找二面角的平面角 再在中计算 即可得二DF A RtQF 面角的平面角的余弦值 方法二 先建立空间直角坐标系 再计算平面DF A 和平面的法向量 进而可得二面角的平面角的余弦值 CA A DF A 试题解析 延长 相交于一点 如图所示 DA CF 因为平面平面 且 所以 CF CA CCA 平面 因此 CA C FC A 又因为 所以F C FFC1 C2 试卷第 13 页 总 18 页 为等边三角形 且为的中点 则C FC FC 所以平面 F CFDA 方法一 过点作 连结 FFQ A Q 因为平面 所以 则平面 所以 F CA F A A QF Q A 所以 是二面角的平面角 QF DF A 在中 得 RtC A C3A C2 3 13 FQ 13 在中 得 RtQF 3 13 FQ 13 F3 3 cosQF 4 所以 二面角的平面角的余弦值为 DF A 3 4 方法二 如图 延长 相交于一点 则为等边三角形 DA CF C 取的中点 则 又平面平面 所以 平面C C CF CA CA 以点为原点 分别以射线 的方向为 的正方向 xz 建立空间直角坐标系 xyz 由题意得 1 0 0 C1 0 0 0 0 3 1 3 0A 13 0 22 13 F 0 22 因此 C0 3 0A 1 3 3A 2 3 0A 设平面的法向量为 平面的法向量为 CA 111 mx y z A 222 nxyz 由 得 取 C0 0 m m A A 1 111 30 330 y xyz 3 0 1m 试卷第 14 页 总 18 页 由 得 取 0 0 n n A A 22 222 230 330 xy xyz 3 2 3n 于是 3 cos 4 m n m n mn 所以 二面角的平面角的余弦值为 DF A 3 4 考点 1 线面垂直 2 二面角 方法点睛 解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角 否则很容易出现错 误 证明线面垂直的关键是证明线线垂直 证明线线垂直常用的方法是直角三角形 等腰三角形的 三线合一 和菱形 正方形的对角线 8 2016 年高考四川理数 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AD BC ADC PAB 90 BC CD AD E 为边 AD 的中点 异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 1 2 E D C B P A 在平面 PAB 内找一点 M 使得直线 CM 平面 PBE 并说明理由 若二面角 P CD A 的大小为 45 求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 答案 详见解析 1 3 解析 试题分析 探索线面平行 根据是线面平行的判定定理 先证明线线平行 再 得线面平行 而这可以利用已知的平行 易得 CD EB 从而知为 DC 和 AB 的交点 M 求线面角 可以先找到这个角 即作出直线在平面内的射影 再在三角形中解 出 也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系 用向量法求出线面角 通过 平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得 试题解析 在梯形 ABCD 中 AB 与 CD 不平行 延长 AB DC 相交于点 M M 平面 PAB 点 M 即为所求的一个点 理由如下 由已知 BC ED 且 BC ED 所以四边形 BCDE 是平行四边形 所以 CD EB 从而 CM EB 又 EB平面 PBE CM平面 PBE 试卷第 15 页 总 18 页 所以 CM 平面 PBE 说明 延长 AP 至点 N 使得 AP PN 则所找的点可以是直线 MN 上任意一点 方法一 由已知 CD PA CD AD PAAD A 所以 CD 平面 PAD 从而 CD PD 所以 PDA 是二面角 P CD A 的平面角 所以 PDA 45 设 BC 1 则在 Rt PAD 中 PA AD 2 过点 A 作 AH CE 交 CE 的延长线于点 H 连接 PH 易知 PA 平面 ABCD 从而 PA CE 于是 CE 平面 PAH 所以平面 PCE 平面 PAH 过 A 作 AQ PH 于 Q 则 AQ 平面 PCE 所以 APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角 在 Rt AEH 中 AEH 45 AE 1 所以 AH 2 2 在 Rt PAH 中 PH 22 PAAH 3 2 2 所以 sin APH AH PH 1 3 方法二 由已知 CD PA CD AD PAAD A 所以 CD 平面 PAD 于是 CD PD 从而 PDA 是二面角 P CD A 的平面角 所以 PDA 45 由 PA AB 可得 PA 平面 ABCD 设 BC 1 则在 Rt PAD 中 PA AD 2 作 Ay AD 以 A 为原点 以 的方向分别为 x 轴 z 轴的正方向 建立如图AD AP 试卷第 16 页 总 18 页 所示的空间直角坐标系 A xyz 则 A 0 0 0 P 0 0 2 C 2 1 0 E 1 0 0 所以 1 0 2 1 1 0 0 0 2 PE EC AP 设平面 PCE 的法向量为 n x y z 由 得 设 x 2 解得 n 2 2 1 0 0 PE EC n n 20 0 xz xy 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 则 sin n AP nAP 222 21 3 22 2 1 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 1 3 z y x M E D C B P A 考点 线线平行 线面平行 向量法 名师点睛 本题考查线面平行 线线平行 向量法等基础知识 考查空间想象能力 分析问题的能力 计算能力 证明线面平行时 可根据判定定理的条件在平面内找一 条平行线 而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得 证明 时