苏教版九年级数学全册知识点汇总汇总

第一章第一章 教学内容 教学内容 证明 二 重点 重点 直角三角形 线段垂直平分线与角平分线的证明 难点 难点 证明逆命题的真假 角平分线的证明及其对逆命题的理解 易错点 易错点 线段的垂直平分线和角平分线的定理及逆定理的判别 第二章第二章 教学内容 教学内容 一元一次方程 重点 重点 用配方法 公式法 分解因式法解一元一次方程 难点 难点 黄金分割点的理解 用配方法解方程 易错点 易错点 利用因式分解法和公式法解方程 第三章第三章 教学内容 教学内容 证明 三 重点 重点 特殊的平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质与判定 难点 难点 特殊的平行四边形的证明 易错点 易错点 各定理之间的判别 第四章第四章 教学内容 教学内容 视图与投影 重点 重点 某物体的三视图与投影 难点 难点 理解平行投影与中心投影的区别 易错点 易错点 三视图的理解 中心投影与平行投影的区别 第五章第五章 教学内容 教学内容 反比例函数 重点 重点 反比例函数的表达式 反比例函数的图像的概念与性质 难点 难点 反比例函数的运用 猜想 证明与拓展 易错点 易错点 主要区别反比例函数与 x 轴和与 y 轴无限靠近 第六章第六章 教学内容 教学内容 频率与概率 定义和命题 定义和命题 频率与概率的概念 难点 难点 理解用频率去估计概率 易错点 易错点 频率是样本中才出现的 概率是整体中出项的 苏教版九年级数学上知识点汇总 第一章 图形与证明 二 1 1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称 三线合一 等腰三角形的 两底角相等 简称 等边对等角 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称 等角对等边 1 2 直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简称 HL 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 直角三角形中 30 的角所对的直角边事斜 边的一半 1 3 平行四边形的性质与判定 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理 1 平行四边形的对边相等 定理 2 平行四边 形的对角相等 定理 3 平行四边形的对角线互相平分 判定 从边 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 从角 两组 对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 矩形的性质与判定 定义 有一个角的直角的平行四边形是矩形 定理 1 矩形的 4 个角都是直角 定理 2 矩形的对角线 相等 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 判定 1 有三个角是直角的四边形是矩形 2 对角线相等的平行四边形是矩形 菱形的性质与判定 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 定理 1 菱形的 4 边都相等 定理 2 菱形的对角线相互垂直 并且每一条对角线平分一组对角 判定 1 四条边都相等的四边形是菱 形 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形的性质与判定 正方形的 4 个角都是直角 4 条边都相等 对角线相等且互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 正方形即是特殊的矩形 又是特殊的菱形 它具有矩形和菱形的所有性质 判定 1 有一个角是直角的 菱形是正方形 2 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 1 4 等腰梯形的性质与判定 定义 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 定理 1 等腰梯形同一底上的两底角相等 定理 2 等腰梯形的 两条对角线相等 判定 1 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 2 对角线相等的梯形是等腰梯形 1 5 中位线 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底的一 半 中点四边形 依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形 中点四边形一定是平 行四边形 原四边形对角线 中点四边形 相等 菱形 互相垂直 矩形 相等且互相垂直 正方形 第二章 数据的离散程度 2 1 极差 一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差 计算公式 极差 最大值 最小值 极差是刻画数据离散程度的一个统计量 可以反映一组数据的变化范围 一般说 极差越小 则说明数据 的波动幅度越小 2 2 方差 各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差 记作 S2 巧用方差公式 1 基本公式 S2 n1 X1 X 2 X2 X 2 Xn X 2 2 简化公式 S2 n1 X12 X22 Xn2 nX 2 也可写成 S2 n1 X12 X22 Xn2 X 2 3 简化 S2 n1 X 12 X 22 X n2 nX 2 也可写成 S2 n1 X 12 X 22 X n2 X 2 标准差 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 记作 S 意义 1 极差 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征 常用来比较两组数据的波动大小 我们 通常研究的是这组数据的个数相等 平均数相等或比较接近的情况 2 方差较大的波动较大 方差较小 的波动较小 3 方差大 标准差就大 方差小 标准差就小 因此标准差同样反映数据的波动大小 注意 对两组数据来说 极差大的那一组不一定方差大 反过来 方差大的极差也不一定大 第三章 二次根式 3 1 二次根式 定义 一般地 式子 a 0 叫做二次根式 a 叫做被开方数 有意义条件 当 a 0 时 有意义 当 a 0 时 无意义 性质 1 0 a 0 2 2 a a 0 3 2 a a a 0 a a 0 3 2 二次根式的乘除法 法则 a b ab a 0 b 0 a 0 b 0 化简 ab a b a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 第四章 一元二次方程 4 1 概念 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 一般形式是 aX2 bX c 0 a b c 是常数 a 0 其中 aX2 称为二次项 a 称为二次项系数 bX 称为一次 项 b 称为一次项系数 c 称为常数项 4 2 解法 1 直接开平方 2 配方法 先把一元二次方程变形为 X h 2 k 的形式 其中 h k 都是常数 如果 k 0 再通过直接 开平方法求出方程的解 3 公式法 求根公式 一元二次方程 aX2 bX c 0 a 0 当 b2 4ac 0 时 它的根是 0 4 因式分解法 根的判别式 一元二次方程 aX2 bX c 0 a 0 的根的情况可由 b2 4ac 来判定 因此 b2 4ac 叫做一元二次方程根的 判别式 当 b2 4ac 0 时 方程有两个不相等的实数根 当 b2 4ac 0 时 方程有两个相等的实数根 X1 X2 当 b2 4ac 0 时 方程没有实数根 反之 也成立 一元二次方程应用题步骤 设 找 列 解 验 答 第五章 中心对称图形 二 5 1 圆 定义 圆是定点的距离等于定长的点的集合 其中 定点叫做圆心 定长叫做半径 与圆有关的概念 1 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 2 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧 每条弧都叫 做半圆 大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧 3 定点在圆上的角叫做圆心角 4 圆心相同 半径不相等的两个圆叫做同心圆 能够互相重合的两个圆叫做等圆 在同圆或等圆中 能 够互相重合的弧叫做等弧 点与圆的位置关系 在平面内 点与圆有 3 中位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 如果设 O 的半径为 r 点 P 到圆 心 O 的距离为 d 那么 点 P 在圆内 d r 点 P 在圆上 d r 点 P 在圆外 d r 5 2 圆的对称性 圆是中心对称图形 圆心是对称中心 圆是轴对称图形 过圆心的任意一条直线都是它的对称轴 圆心角 弧 弦之间的关系 等对等定理 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分 别相等 5 3 圆周角 概念 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 定理 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半 圆心与圆周角的位置关系分为 三种情况 圆心在角的一边上 圆心在角的内部 圆心在角的外部 推论 1 直径 或半圆 所对的圆 周角是直角 2 90 的圆周角对的弦是直径 5 4 确定圆的条件 条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 三角形的外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆 这个圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点 这个点叫做三角形的外心 这个三角形叫做圆的内接 三角形 5 5 直线与圆的位置关系 1 直线与圆有两个公共点时 叫做直线与圆相交 d r 2 直线与圆有唯一的公共点 叫做直线与圆相切 这条直线叫做圆的切线 这个公共点叫做切点 d r 3 直线与圆没有公共点时 叫做直线与圆相离 d r 直线与圆的位置关系可以用它们的交 点的个数来区分 也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分 它们的结果是一致的 切线的性质与判定 判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线 性质 圆的切线垂直于过切点的半径 1 经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 3 切线 与圆只有一个公共点 切线与圆心的距离等于半径 切线垂直于过切点的半径 内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 它是三角形的三条角平分线的交点 这个三角形叫做圆的外切三角形 5 6 圆与圆的位置关系 性质与判定 如果两圆的半径分别为 R 和 r 圆心距为 d 那么 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 两圆内切 d R r R r 两圆内含 0 d R r R r 连心线的性质 圆是轴对称图形 从上表中可以看出它们都是轴对称图形 沿 O1 O2 所在直线 连心线 对折 发现 两圆相切 直线 O1O2 必过切点 两圆相交 连心线垂直平分它们的公共弦 5 7 正多边形与圆 正多边形概念 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 性质 正多边形都是对称图形 一个正 n 边形共有 n 条对称轴 没条对称轴都通过正 n 边形的中心 一个 正多边形如果有偶数条边 那么它既是轴对称图形 又是中心对称图形 如果一个正多边形是中心对称图 形 那么它的中心就是对称中心 1 边数相同的正多边形相似 2 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 友情提醒 1 边数相同的正多边形相似 这是解与正多边形有关问题常用到的知识 2 任何三角形都有外接圆和内切圆 但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆 过正多 边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆 作正多边形 作半径为 R 的正 n 边形的关键是 n 等分圆 这就要学习两种方法 1 用量角器等分圆 可以作任意正多边形 这是近似作法 具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数 即正 n 边形的圆心角为 然后依次用量角器将圆等分 顺次连接各分点 就作出正 n 边形 2 用尺规等分圆 作正方形和正六边形 具体地说 先作出两条互相垂直的直径 将圆四等分 顺次 连 接各分点 就做出正方形 用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦 将圆六等分 顺次连接各等分点 就作出正六边形 友情提醒 在作正多边形时 要从圆周上某一点开始连续截取等弧 否则 易产生误差 5 8 弧长及扇形的面积 圆的周长公式 C 2 R 其中 是圆的周长与直径的比值 称为圆周率 弧长公式 l 其中 表示 1 的圆心角的倍数 它不带单位 R 为圆的半径 l 为 n 的圆心角所对的弧 长 扇形面积公式 1 条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 圆心角为 n 的扇形面积的计算公式为 S 扇形 弧长为 l 的扇形面积的计算公式为 S 扇形 lR 公式 中的 n 应理解为 1 的圆心角的倍数 不带单位 同时要注意与弧长 l 公式进行比较 避免混淆 公式 与三角形面积公式相类似 在 S lR 中 把扇形看成一个曲边三角形 把弧长 l 看作底 R 看作高 这样对比 有助于理解与记忆公式 5 9 圆锥侧面积和全面积 圆锥的侧面展开 圆锥的侧面展开图是扇形 这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 l 2 r 这个扇形的半径等于圆锥的母线长 l 母线 这个扇形的圆心角 360 这个扇形的面积等于圆锥的侧面积 S 侧面积 S 扇形 2 r l r l 圆锥与圆柱的比较 圆柱 由一个矩形旋转得到 如矩形 ADD G 绕直线 AB 旋转一周 S 侧 2 rh S 全 S 侧 2S 底 2 rh 2 r2 V r2h 圆锥 由一个直角三角形旋转得到 如 Rt SOA 绕直线 SO 旋转一周 S 侧 r S 全 S 侧 S 底 r r2 V r2h 2 直角三角形全等的判定 HL 4 等腰梯形的性质和判定 5 中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 1 等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3 平行四边形 平行四边形的性质和判定 4 个判定定理 矩形的性质和判定 3 个判定定理 菱形的性质和判定 3 个判定定理 正方形的性质和判定 2 个判定定理 注意 注意 1 1 解决梯形问题的基本思路 通过分割分割和拼接拼接转化成三角形三角形和平行四边形平行四边形进行解决 即需要掌握常作的辅助线 常作的辅助线 2 2 梯形的面积公式 梯形的面积公式 中位线长 中位线长 lhhbaS 2 1 l 九年级数学全册知识点总结九年级数学全册知识点总结 上册上册 第一章 图形与证明 二 第一章 图形与证明 二 一 知识框架 一 知识框架 二二 知识详解知识详解 2 2 1 1 等腰三角形的判定 性质及推论 等腰三角形的判定 性质及推论 性质 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 推论 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 即 三线合一 2 2 2 2 等边三角形的性质及判定定理 等边三角形的性质及判定定理 性质定理 等边三角形的三个角都相等 并且每个角都等于 60 度 等边三角形的三条边都满 足 三线合一 的性质 等边三角形是轴对称图形 有 3 条对称轴 判定定理 有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形 或者三个角都相等的三角形是等边 三角 2 2 3 3 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 形 1 线段垂直平分线的性质及判定 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 判定 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 2 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 3 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点 A B 为圆心 以大于 AB 的一半长为半径作弧 两弧交于点 M N 作直线 MN 则 直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线 2 2 4 4 角平分线 角平分线 1 角平分线的性质及判定定理 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定 在一个角的内部 且到角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 2 三角形三条角平分线的性质定理 性质 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 3 如何用尺规作图法作出角平分线 2 2 5 5 直角三角形 直角三角形 1 勾股定理及其逆定理 定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 2 直角三角形全等的判定定理 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 2 62 6 几种特殊四边形的性质 几种特殊四边形的性质 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 菱形 对边平行 四条边 都相等 对角相等 对角线互相垂直平分 每一条对角 线平分一组对角 正方形 对边平行 四条边 都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 每一 条对角线平分一组对角 等腰梯形 两条底边平行 两 腰相等 同一底上的两个 角相等 对角线相等 F E D CB A 2 7 2 7 几种特殊四边形的判定方法几种特殊四边形的判定方法 平行四边形 1 两组对边分别平行 2 两组对边分别相等 3 一组对边平行且相 等 4 两条对角线互相平分 5 两组对角分别相等 矩形 1 有三个角是直角 2 是平行四边形 并且有一个角是直角 3 是 平行四边形 并且两条对角线相等 菱形 1 四条边都相等 2 是平行四边形 并且有一组邻边相等 3 是平 行四边形 并且两条对角线互相垂直 正方形 1 是矩形 并且有一组邻边相等 2 是菱形 并且有一个角是直角 等腰梯形 1 是梯形 并且两条腰相等 2 是梯形 并且同一底上的两个角相等 3 是梯形 并且对角线相等 2 82 8 三角形的中位线 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 区别三角形的中位线与三角形的中线 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 2 92 9 梯形的中位线 梯形的中位线 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 注意 中位线是两腰中点的连线 而不是两底中点的连线 梯形中位线的性质 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 第二章 数据的离散程度第二章 数据的离散程度 一 知识点复习 一 知识点复习 1 1 极差 极差 一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差 计算公式 极差 最大值 最小值 极差是刻画数据离散程度的一个统计量 可以反映一组数据的变化范围 一般说 极差越小 则说明数据 的波动幅度越小 2 2 方差方差 各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差 记作 S2 巧用方差公式 1 基本公式 S2 X1 Error Error 2 X2 Error Error 2 Xn Error Error 2 n 1 2 简化公式 S2 X12 X22 Xn2 nError Error 2 n 1 也可写成 S2 X12 X22 Xn2 Error Error 2 n 1 3 简化 S2 X 12 X 22 X n2 nError Error 2 n 1 也可写成 S2 X 12 X 22 X n2 Error Error 2 n 1 3 3 标准差 标准差 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 记作 S S 2 2 1 1 xxxx n n 意义意义 1 极差 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征 常用来比较两组数据的波动大小 我们 通常研究的是这组数据的个数相等 平均数相等或比较接近的情况 2 方差较大的波动较大 方差较小的波动较小 3 方差大 标准差就大 方差小 标准差就小 因此标准差同样反映数据的波动大小 注意 注意 对两组数据来说 极差大的那一组不一定方差大 反过来 方差大的极差也不一定大 第三章 二次根式第三章 二次根式 一 知识框架 一 知识框架 运算 概念 性质 定义 形如 0 a a 最简二次根式 1 被开方数不含分母 2 被开方数中不含能开尽方的因数或因 式 2 2 0 0 0 0 0 aa a aa a abab ab aa ab bb A 为实数 加减法 先将二次根式化成最简的二 次根式 再将被开方数相同的二次根 式进行合并 乘法 0 0 abab ab A 除法 0 0 aa ab bb 混合运算 二次根 式 第四章 一元二次方程第四章 一元二次方程 一 知识框架 一 知识框架 二 知识详解 二 知识详解 1 1 一元二次方程定义 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 二 二 一元二次方程的一般形式 它的特征是 等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式 等式右边 0 0 2 acbxax 是零 其中叫做二次项 a 叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b 叫做一次项系数 c 叫做常数项 2 ax 2 2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 1 直接开平方法 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程 当时 bax 2 0 bbax 当 b 0 时 方程没有实数根 bax 一元二次方程 一元二次方程的概念 一元二次方 程的解法 直接配方法 因式分解法 配方法 公式法 一元二次方 程的探索 一元二 次方程 的根的 情况 2 0 0 axbxca 2 0 0 axbxca 方程有两个不0 相等的实根 0 时 方程有两个相等的实 根 时 方程无0 实根 一元二 次方程 的根与 系数的 关系 方程的 2 0 0 axbxca 两根为 则 12 x x 12 b xx a 12 c x x a A 一元二次方程的应用 数量关系 等量关系 列一元二次方程 解应用题 2 4 2 bbac x a 2 配方法 一般步骤 1 方程两边同时除以 a 将二次项系数化为 1 0 0 2 acbxax 2 将所得方程的常数项移到方程的右边 3 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 4 配方 化成bax 2 5 开方 当时 当 b 0 时 方程没有实数根 0 bbax 3 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法 它是解一元二次方程的一般方法 一元二次方程的求根公式 0 0 2 acbxax 04 2 4 2 2 acb a acbb x 4 因式分解法 一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法 3 3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 根的判别式 1 定义 一元二次方程中 叫做一元二次方程 0 0 2 acbxaxacb4 2 的根的判别式 0 0 2 acbxax 2 性质 当 0 时 方程有两个不相等的实数根 当 0 时 方程有两个相等acb4 2 acb4 2 的实数根 当 0 时 方程没有实数根 acb4 2 4 4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是 那么 0 0 2 acbxax 21 xx a b xx 21 a c xx 21 应将每千克小型西瓜的售价降低多少元 解 设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元 根据题意 得 20024 40 1 0 200 23 x x 解得 1 x 0 2 2 x 0 3 答 应将每千克小型西瓜的售价降低 0 2 或 0 3 元 第五章 中心对称图形二 圆的有关知识 第五章 中心对称图形二 圆的有关知识 一 知识框架 一 知识框架 圆 与圆有关的位置关系 圆的定义 弧 弦等概念 基本性质 垂径定理及其推论圆的对称性 弧 弦 弦心距 圆心角关系定理及其推论 圆周角定理及其推论 确定圆的条件 不共线的三点确定一个圆 三角形的外接圆 点和圆的位置关系 点在圆上dr 点在圆外dr 点在圆内dr 直线与圆的位置关系 相交dr 相切dr 相离dr 相 判 定 性 质 切线长定理三角形的内切圆 圆 与 圆 的 位 置 关 系相交 相切 相离 外离dRr 内含dRr 外切dRr 内切dRr 相切的两 圆的连心 线过切点 相交RrdRr 相交的两 圆的连心 线垂直平 分相交弦 正多边形与圆 正多边形和圆 正多边形的有关计算 圆内接正多边形作 法 等份圆 扇形的弧长 面积 圆锥 圆内接正多边形 正多边形的半径 边心距 正多边形的内角 中心角 外角 正多边形的周长 面积 正三 六 十二边形 正四 八边形 180 n R l 2 1 3602 n R SlR 扇形 其中 为弧长 R 为半径l SS 侧展开的扇形 SSS 侧全底 侧面积 全面积 轴截面 二 知识点详解 二 知识点详解 一 圆的概念一 圆的概念 集合形式的概念集合形式的概念 1 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的外部 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3 圆的内部 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念轨迹形式的概念 1 圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心 定长为半径的圆 补充 2 垂直平分线 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 3 角的平分线 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 4 到直线的距离相等的点的轨迹是 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线 5 到两条平行线距离相等的点的轨迹是 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 二 点与圆的位置关系二 点与圆的位置关系 1 点在圆内 点在圆内 dr C 2 点在圆上 点在圆上 dr B 3 点在圆外 点在圆外 dr A 三 直线与圆的位置关系三 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d 四 圆与圆的位置关系四 圆与圆的位置关系 外离 图 1 无交点 dRr 外切 图 2 有一个交点 dRr 相交 图 3 有两个交点 RrdRr 内切 图 4 有一个交点 dRr 内含 图 5 无交点 dRr 图 1 r R d 图 3 rR d 五 垂径定理五 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦 所对的弧 r d d C B A O 图 2 r R d 图 4 r R d 图 5 r R d 推论推论 1 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧弧 弧弧ABABCD CEDE BC BDAC AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 推论推论 2 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 六 圆心角定理六 圆心角定理 圆心角定理 同圆或等圆中 相等的圆心角所对的 弦相等 所对的弧相等 弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理 即上述 四个结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOBDOE ABDE 弧弧OCOF BA BD 七 圆周角定理七 圆周角定理 1 1 圆周角定理 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 2 2 圆周角定理的推论 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 或 是直径OAB90C 90C AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定 理 八 圆内接四边形八 圆内接四边形 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 外角等于它的内对角 即 在 中 四边形是内接四边形OABCD 180CBAD 180BD DAEC 九 切线的性质与判定定理九 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端 是 的切线MNOA MNOAMNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 O E DC B A O C D A B F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O E D C B A NM A O E CB AD O 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十 切线长定理十 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点和圆心的连线平分两条切线的 夹角 即 是的两条切线 平分PAPBPAPB POBPA 十一 两圆公共弦定理十一 两圆公共弦定理 圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦 如图 垂直平分 12 OOAB 即 相交于 两点 1 O 2 OAB 垂直平分 12 OOAB 十二 十二 圆内正多边形的计算 1 正三角形 在 中 是正三角形OABC 有关计算在中进行 Rt BOD 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA 十三 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式十三 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式 1 1 扇形 扇形 1 弧长公式 180 n R l 2 扇形面积公式 2 1 3602 n R SlR 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 nRl 扇形面积S 2 2 圆锥侧面展开图 圆锥侧面展开图 1 SSS 侧表底 2 Rrr 2 圆锥的体积 2 1 3 Vr h P B A O B A O1 O2 D C B A O B A O Sl B A O B1 R r C B A O 3 3 圆锥与圆柱的比较 圆锥与圆柱的比较 名称圆柱圆锥 图形 图形的形成过程由一个矩形旋转得到 如矩形 ADD G 绕直 线 AB 旋转一周 由一个直角三角形旋转得到 如 Rt SOA 绕直线 SO 旋转一周 图形的组成两个底面圆和一个侧面一个底面圆和一个侧面 面积 体积的计算公 式 S侧 2 rh S全 S侧 2S底 2 rh 2 r2 V r2h S侧 r S全 S侧 S底 r r2 V r2h 下册下册 第六章第六章 二次函数二次函数 1 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函数 cbacbxaxy 2 0 ayx 2 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向下 a0 a0 a 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 yhx y0 x 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 hx h k cbxaxy 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 4 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 对称轴是直线 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得到顶点为 khxay 2 h 对称轴是直线 khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 对称轴与抛物线的交点是顶点 若已知抛物线上两点 及y值相同 则对称轴方程可以表示为 12 x yxy 12 2 xx x 9 抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy 2 故 时 对称轴为轴 即 同号 时 对称轴在轴 a b x 2 0 by0 a b aby 左侧 即 异号 时 对称轴在轴右侧 0 a b aby 3 的大小决定抛物线