结构可靠度计算方法(一次二阶矩).ppt

southwestjIaotongunIversIty 西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity 隧道与地下结构可靠度 课程第三讲结构可靠度计算方法 龚伦副教授 主要内容 基本概念一次二阶矩理论的中心点法一次二阶矩理论的验算点法 JC法 映射变换法实用分析法 southwestjIaotongwnIversIty 一 基本概念 西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity 现代的结构可靠度理论是以概率论和数理统计学为基础发展起来的 要解决的中心问题是围绕着怎样描述和分析可靠度 以及研究影响可靠度各基本变量的概率模型 1 解决的问题 结构可靠度计算方法分精确法和近似法两种 精确法 求解结构的失效概率pf的方法 通常称为全概率法 近似法 一次二阶矩计算方法等 虽然是近似的 但仍属概率法 2 计算方法 结构功能函数大多是非线性函数 且非线性不是很强的条件下 但又不能直接精确积分计算得到结构的可靠度 而通过计算结构可靠指标 近似得到结构可靠度的计算方法 在通常情况下 结构功能函数的一阶矩 均值 和二阶矩 方差 较容易得到 故称之为一次二阶矩法 3 一次二阶矩法 一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时 采用均值和标准差的数学模型 求解结构的可靠指标 结构可靠度的方法 该法将功能函数在某点用泰勒级数展开 使之线性化 然后求解结构的可靠度 因此称为一次二阶矩 southwestjIaotongwnIversIty 二 一次二阶矩理论的中心点法 西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity 中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法 其基本思想 首先 将非线性功能函数在随机变量的平均值 中心点 处作泰勒级数展开 并保留至一次项 然后 近似计算功能函数的平均值和标准差 1 一次二阶矩中心点法 设X1 X2 Xn是结构中n个相互独立的随机变量 其平均值为 标准差为 功能函数将功能函数Z在平均值P X1 X2 Xn 处展开且保留至一次项 即 3 1 2 推导过程 ZL平均值和方差为 3 2 结构可靠指标为 3 3 可靠指标 的几何意义是什么 证明如下功能函数泰勒级数展开至一次项 即 3 4 假定正态变换 即 3 5 3 几何意义 将 3 5 式代入 3 4 式 得 3 6 3 6 式为一个超平面方程 点P X1 X2 Xn 到平面的距离为 3 7 中心点法 验算点法 极限方程曲面 可靠区 均值点 显然 点P X1 X2 Xn 到平面的距离d 就是所求的可靠指标值 两者是相等的 P 优点 计算简便 缺点 对于非线性功能函数 均值点一般在可靠区内 而不在极限边界上 选择不同极限状态方程 数学表达式不同 同样物理含义 得到的可靠指标不同 例如 p30例3 1 适用条件 结果比较粗糙 适用于可靠度要求不高的情况 如钢筋混凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析 4 优缺点 例题1 设X1 X2 Xn是结构中n个相互独立的随机变量 其平均值为 xi i 1 2 n 标准差为 xi i 1 2 n 功能函数Z g X1 X2 Xn 求结构可靠指标 解 将功能函数Z在随机变量的平均值处泰勒级数展开 且保留一次项 即 5 举例 ZL的平均值和方差为 结构可靠指标为 例题2 某结构构件正截面强度的功能函数为Z g R S R S 其中抗力R服从对数正态分布 R 100kNm R 0 12 荷载效应S服从极值I型分布 S 50kNm S 0 15 试用中心点法求结构失效概率Pf 解 结构可靠指标结构失效概率 southwestjIaotongwnIversIty 三 一次二阶矩理论的验算点法 西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity JC法是Hasofer Lind Rackwitz和Fiessler Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法 适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标的计算 通俗易懂 计算精度又能满足工程实际需要 国际结构安全度联合委员会 JCSS 推荐使用 故称为JC法 我国 建筑结构设计统一标准 GBJ68 84 和 铁路工程结构设计统一标准 GB50216 94 中都规定采用JC法进行结构可靠度计算 1 验算点法 JC法 将P X 1 X 2 X n 定义为验算点 设计点 故称之为验算点法 又因为是在中心点法的基础上改进的 故称为一次二阶矩的改进方法 数学推导过程如下 设X1 X2 Xn i 1 2 n 为基本变量 且相互独立 则极限状态功能函数方程为 3 8 将极限方程用泰勒级数在P X 1 X 2 X n 点上展开 取一次项 可得极限方程为 3 9 2 推导过程 设 3 10 有 3 11 将 3 11 代入 3 9 得 3 12 Z的平均值为 3 13 验算点在极限边界上 即又 3 14 将 3 14 代入 3 13 得 3 15 2 1按定义推导 Z的标准差 Z为 3 16 则可靠指标 为 3 17 随机变量满足正态分布 即 3 18 其中 3 19 由 3 12 得 3 19 此为超平面方程 均值点P X1 X2 Xn 到超平面的距离d为 3 20 2 2按几何意义推导 各变量的方向余弦为 3 21 显然 两种方法得到的结果是一致的 将 3 8 与 3 18 联立 求得 和各变量值 再代入到 3 8 和 3 18 且联立求解 得到新的一组 和各变量值 直到满足下式为止 即 3 22 迭代结束 计算完成 2 3迭代过程 两个随机变量为正态分布时 其极限方程为 标准化变换 极限状态方程变为 3 23 3 24 3 25 3 正态分布时的推导过程 式中 将 3 25 变为标准法线式直线方程 3 26 3 27 是坐标系中原点到极限状态直线的距离 其中P 为垂足 在验算点法中 的计算就转化为求的长度 两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点 非正态分布时 可采取以下三种方法 当量正态化法 JC法 映射变换法实用分析法JC法为当量正态化法 将原来非正态分布随机变量Xi用等效正态分布代替 要求满足以下2个条件 原函数值F xi 与当量正态函数值F xi 相等原概率密度值f xi 与当量正态分布概率密度值f xi 相等 4 非正态分布时 JC法的等效正态分布图 原分布FXi xi fXi xi 等效正态分布F Xi xi f Xi xi O 条件 1 和 2 的数学表达式为 3 20 3 21 由 3 20 得 3 22 由 3 21 得 3 23 4 1当量正态化法 JC法 由 3 22 得 3 24 将 3 24 代入 3 23 得 3 25 由 3 24 和 3 25 得 3 26 将 3 26 代入 3 18 3 19 和 3 20 进行迭代计算 就可求解随机变量非正态分布的可靠度问题 显然 JC法通过当量变换 使得非正态分布的随机变量满足正态分布要求 进而应用满足正态分布的方法进行迭代计算 求解非正态分布随机变量的可靠度问题 李云贵 1993 提出映射变换法 具体数学过程如下 设结构中的n个相互独立的随机变量为X1 X2 Xn 其概率分布函数为Fi xi i 1 2 n 概率密度函数为fi xi i 1 2 n 极限状态方程为Zx g X1 X2 Xn 0 3 27 映射变换 3 28 则 3 29 4 2映射变换法 将 3 29 代入 3 27 得 3 30 由于Yi是一个标准正态随机变量 则 3 31 于是 3 32 3 33 3 34 其中 3 35 对于常用的几种概率 1 Xi服从正态分布 3 36 2 Xi服从对数正态分布 3 37 3 Xi服从极值I型分布 3 38 式中 Paloheimo和Hannus 1972 在赫尔辛基工程力学学术讨论会提出了分位值法 有的著作中是中国铁科院姚明初 1993 提出的分位值法 本文认为仍然是Paloheimo和Hannus 1972 提出的 所谓分位值法就是映射变换法的另一种表述 n个独立随机变量X1 X2 Xn 结构极限状态方程为 3 39 映射变换 3 40 则有 3 41 4 3分位值法 将 3 39 在点进行泰勒级数展开且保留一次项 即 3 42 于是有 3 43 其中 3 44 是基本变量对应分位概率为的分位值 3 45 各变量的 分项可靠指标 可用 3 45 求解得到 于是得到 设计值 即 3 46 变量Xi的 设计值 与变量Xi的标准值Xik之比定义为分项系数 即 3 47 JC法 举例 例题 已知极限状态方程 1 2 随机变量f W均服从正态分布 f 38 f 0 1 W 54 W 0 05 求 两个极限状态方程条件下的 及f和W的验算点之值f W 解 1 首先求 1 式条件下的 及f和W的验算点之值f W 由 3 得 由 4 得 4 1 将上式代入 1 式 得 4 2 将 4 2 代入 4 1 得由于为常数 所以不需要迭代就求解出 f W 对于极限状态方程 1 若采用中心点求解可靠指标 得当极限状态方程为线性方程时 采用验算点法与中心点法求解得到的结果是一致的 2 按极限状态方程 2 求解 及f和W的验算点之值f W 由 3 式 得由 4 1 得 将上式代入 2 式 得 5 显然 5 式的求解需要采用迭代法求解 2 1第一次迭代取将上式代入