高考数学（精讲+精练+精析）专题4_3 解三角形试题 理（含解析）.doc

专题4.3 解三角形【三年高考】1. 【2016高考新课标3理数】在中，边上的高等于,则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，则 【答案】【解析】因为，且为三角形内角，所以，又因为，所以.3【2016高考上海理数】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.【答案】【解析】由已知，4【2016年高考北京理数】在ABC中，.（1）求 的大小；（2）求 的最大值.5【2016高考新课标1卷】 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面积为,求的周长【解析】（I）由已知及正弦定理得,即故可得,所以（II）由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,从而所以的周长为6. 【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，为边上的点，与的面积分别为和过作于，于，则 【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此7.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】8.【2015高考山东，理16】设.（）求的单调区间；（）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【解析】（I）由题意知 由 可得，由 可得，所以函数 的单调递增区间是 ；单调递减区间是（II）由 得 ，由题意知为锐角，所以 ，由余弦定理： ，可得： ，即： 当且仅当时等号成立.因此 ，所以面积的最大值为9.【2015高考四川，理19】 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.，则，于是.连结AC，同理可得，于是，所以.10. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )A. 5 B. C. 2 D. 1【答案】B11.【2014天津高考理第12题】在中，内角所对的边分别是已知，则的值为_【答案】【解析】因为代入得，由余弦定理得12.【2014高考浙江理第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，（I）求角的大小；（II）若，求的面积. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 解三角形问题，是每年高考必考的知识点之一，题型一般是选择和填空的形式，大题往往结合三角恒等变换，也有单独解三角形,主要考查正弦定理或余弦定理的运用，以及在三角形中运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积求边长等,考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题.今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题, 主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力故在2017年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值预测2017年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力【2017年高考考点定位】高考对解三角形的考查有两种主要形式：一是直接考查正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考查涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题.从涉及的知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势.【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长【备考知识梳理】1直角三角形中各元素间的关系：如图，在中，.（1）三边之间的关系：.（勾股定理）（2）锐角之间的关系：；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义），.2斜三角形中各元素间的关系：如图，在中，为其内角，分别表示的对边.（1）三角形内角和：.（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（为外接圆半径）变形：，;；.（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；.推论：;.变形：;.【规律方法技巧】解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如），由求，由正弦定理求；（2）已知两边和夹角（如），应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况；A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.（4）已知三边，应余弦定理求，再由，求角. (5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用(6)在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题(7)如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一. 余弦定理的重要应用(8)三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.联系完全平方式巧过渡:由则.联系重要不等式求范围：由，则当且仅当等号成立.联系数量积的定义式妙转化：在中，由.(9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的解题时要注意隐含条件【考点针对训练】1. 【2016年山西三校高三联考】已知在 中， 的平分线 把三角形分成面积比为4:3的两部分，则 .【答案】2. 【2016年湖北省八校高三第二次联考】如图，在平面四边形中，.（）求；（）求的长.ACDB(第17题图)【解析】（）在中，由余弦定理得：，即，解得：，或（舍）， 由正弦定理得： 【考点2】利用正余弦定理求三角形面积【备考知识梳理】三角形的面积公式：（1）（分别表示上的高）；（2）；（3）；（4）；（为外接圆半径）（5）；（6）；（7）.（为内切圆半径, ）【规律方法技巧】利用来求的面积是在已知两边及夹角的前提下来求的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，若要把“边”化为“角”，常利用“，;”，若要把“角”化为“边”，常利用，;等；然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量解三角形中，应特别注意问题中的隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式，三角形中的边角关系，内角和定理等例如利用边的值判断隐含条件或，极其隐蔽另外常见的错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等，(2)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论【考点针对训练】1. 【2016届邯郸市一中高三第十研】如图，在中，分别是上一点，满足，若，则的面积为_【答案】2. 【2016届河北省石家庄市高三二模】在中，分别是角所对的边，且满足.（）求的值；（）若，求的面积.【解析】（I）由正弦定理可得： , ，即 ,故 【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状【备考知识梳理】解斜三角形的主要依据是：设的三边为，对应的三个角为.（1）角与角关系：；（2）边与边关系：，；（3）边与角关系：正弦定理 .（为外接圆半径）；余弦定理 ；.它们的变形形式有：，.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.（1）角的变换因为在中，所以；.；（2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r为三角形内切圆半径，p为周长之半.（3）在中，熟记并会证明：成等差数列的充分必要条件是；是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列.【规律方法技巧】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论如何利用余弦定理判定三角形的形状由于与同号，故当时，角为锐角；当时，三角形为直角三角形；当时，三角形为钝角三角形三角形中常见的结论(1) .(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在中，是的充要条件【考点针对训练】1. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知分别是 中角的对边.（1）求的值；（2）圆为的外接圆（在内部）, 的面积为,判断的形状, 并说明理由.【解析】（1）由正弦定理可知, 则,可得.2. 【2016年山西榆林高三月考】如图，已知平面上直线，分别是上的动点，是之间的一定点，到的距离，到的距离，三内角、所对边分别为，且.（1）判断的形状；（2）记，求的最大值.【解析】（1）由正弦定理得：，结合，得，又，所以，且，所以，所以是直角三角形;（2），由（1）得，则，所以时，的最大值为.【考点4】【备考知识梳理】仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(a)2方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图(b)3方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角【规律方法技巧】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的把握解三角形应用题的四步：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用【考点针对训练】1. 【2016届福建厦门双十中学高三下热身考】 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距米，在地听到弹射声音的时间比地晚秒在地测得该仪器至最高点处的仰角为（）求，两地的距离；（）求这种仪器的垂直弹射高度（已知声音的传播速度为340米/秒）2. 【2016届江苏省清江中学高三下学期周练】如图是某设计师设计的型饰品的平面图，其中支架，两两成，且现设计师在支架上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为，且与长成正比，比例系数为（为正常数）；在区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为，且与的面积成正比，比例系数为设，（1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（2）求的最大值及相应的的值【应试技巧点拨】1. 余弦定理的重要应用三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.联系完全平方式巧过渡:由则.联系重要不等式求范围：由，则当且仅当等号成立.联系数量积的定义式妙转化：在中，由.2.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.3. 三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.4. .解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论.二年模拟1. 【2016届山西省四校高三年级第四次联考】 在中， 则= .【答案】【解析】在中，由，则，由正弦定理得.2. 【河北省衡水中学2016届高三七调】在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能【答案】B3. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】已知，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积等于（ ）A1 B C2 D【答案】B【解析】因是等腰三角形,故,又是直角,故，即,也即,所以的面积为,应选B.4. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知的三内角所对边长分别是，若，则角B的大小为（ ）A B C D【答案】D【解析】由得,即,故，故应选D. 5. 【2016届福建厦门双十中学高三下热身考】在中，角所对的边分别为.若，且，则的最大值是（ ）A B C D【答案】B 6. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】在中，是边上的一点，的面积为，则的长为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，可得，即，所以，在中，由余弦定理，解得，所以，所以.在ABC中，由正弦定理可知，可得,故选D. 7. 【2016届广西来宾高中高三5月模拟】如图，平面四边形中，则的面积为_【答案】 8. 【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】在中, 角的对边分别为,且.（1）若,求的值；（2）若的面积为,求.【解析】（1）,由得，解得，.（2）的面积为,则,解得. 9. 【2016届宁夏银川二中高三5月适应性训练】设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足.（1）求B；（2）若，设，求函数的解析式和最大值. 10. 【2016届安徽六安一中高三下学期第三次模拟】已知的内角的对边分别为若且.（1）求角的值.（2）若的面积，试判断的形状.【解析】（1）由，得，由正弦定理，得， 即，在中，所以，又，所以.（2）由得面积，得，由余弦定理，得，所以，所以，此时有，所以为等边三角形. 11. 【湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测2015届高三期中】由下列条件解,其中有两解的是（ ）A B CD 【答案】C【解析】，C有两个解.12.【2014-2015学年度上学期省五校协作体高三期中考试】在中，角所对应的边分别为，已知 ，则=_ .【答案】113.【黄冈中学2014年秋季高三年级11月月考】已知中的内角为，重心为，若，则 .【解析】设为角所对的边，由正弦定理得，则，即，又因为不共线，则, ,即所以，.14.【河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研检测】在中，内角的对边分别为,若的面积为,且，则等于 （ ） (A) (B) (C) (D)【答案】C15.【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】在中，角所对的边分别为，已知（1）求的大小； （2）若，求的取值范围【解析】（1）由条件结合诱导公式得，从而所以，因为，所以（2）由正弦定理得：，所以，所以，因为，所以，即（当且仅当时，等号成立）拓展试题以及解析1. 已知为的三个角所对的边，若，则（ ）A23 B43 C31 D32【答案】C【入选理由】本题主要考查了正弦定理、余弦定理等基础知识，意在考查综合应用和计算能力.本题难度适中，出题有一定的新意,故选此题.2.在中，角所对的边分别为，若是方程的两根，且，则 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为是方程的两根，故，由余弦定理，得，故选C【入选理由】本题主要考查了余弦定理，以及一元二次方程根与系数关系等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力.本题符合高考的要求, 难度适中，故选此题.3.的三个内角、所对的边分别为、，则角的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】在中，由正弦定理化简已知的等式得，即，所以，由正弦定理得，由余弦定理得（当且仅当，即时取等号，因为为的内角，且在