2008年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析

1 2008 年浙江省高考数学试卷 理科 年浙江省高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 5 分 2008 浙江 已知 a 是实数 是纯虚数 则 a A 1B 1C D 考点 复数代数形式的混合运算 菁优网版权所有 分析 化简复数分母为实数 复数化为 a bi a b 是实数 明确分类即可 解答 解 由是纯虚数 则且 故 a 1 故选 A 点评 本小题主要考查复数的概念 是基础题 2 5 分 2008 浙江 已知 U R A x x 0 B x x 1 则 A UB B UA A B x x 0 C x x 1 D x x 0 或 x 1 考点 交 并 补集的混合运算 菁优网版权所有 分析 由题意知 U R A x x 0 B x x 1 然后根据交集的定义和运算法则进行 计算 解答 解 U R A x x 0 B x x 1 CuB x x 1 CuA x x 0 A CuB x x 0 B CuA x x 1 A CuB B CuA x x 0 或 x 1 故选 D 点评 此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算 一元二次不等式 的解法及集合间的交 并 补运算布高考中的常考内容 要认真掌握 并确保得分 3 5 分 2008 浙江 已知 a b 都是实数 那么 a2 b2 是 a b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 菁优网版权所有 专题 常规题型 2 分析 首先由于 a2 b2 不能推出 a b 反之 由 a b 也不能推出 a2 b2 故 a2 b2 是 a b 的既不充分也不必要条件 解答 解 a2 b2 既不能推出 a b 反之 由 a b 也不能推出 a2 b2 a2 b2 是 a b 的既不充分也不必要条件 故选 D 点评 本小题主要考查充要条件相关知识 4 5 分 2008 浙江 在 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 的展开式中 含 x4的项的系数 是 A 15B 85C 120 D 274 考点 二项式定理的应用 菁优网版权所有 分析 本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题 本题可通过选括号 即 5 个括 号中 4 个提供 x 其余 1 个提供常数 的思路来完成 解答 解 含 x4的项是由 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 的 5 个括号中 4 个括号出 x 仅 1 个括号出常数 展开式中含 x4的项的系数是 1 2 3 4 5 15 故选 A 点评 本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项的系数 5 5 分 2008 浙江 在同一平面直角坐标系中 函数 x 0 2 的图象和直线的交点个数是 A 0B 1C 2D 4 考点 函数 y Asin x 的图象变换 菁优网版权所有 分析 先根据诱导公式进行化简 再由 x 的范围求出 的范围 再由正弦函数的图象可 得到答案 解答 解 原函数可化为 y cos x 0 2 x 0 2 当 x 0 2 时 0 其图象如图 与直线 y 的交点个数是 2 个 故选 C 3 点评 本小题主要考查三角函数图象的性质问题 6 5 分 2008 浙江 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则 a1a2 a2a3 anan 1 A 16 1 4 n B 16 1 2 n C 1 4 n D 1 2 n 考点 等比数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 首先根据 a2和 a5求出公比 q 根据数列 anan 1 每项的特点发现仍是等比数列 且首项是 a1a2 8 公比为 进而根据等比数列求和公式可得出答案 解答 解 由 解得 数列 anan 1 仍是等比数列 其首项是 a1a2 8 公比为 所以 故选 C 点评 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用 应善于从题设条件中发现 规律 充分挖掘有效信息 7 5 分 2008 浙江 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 2 则双曲线的离心率是 A 3B 5C D 考点 双曲线的定义 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 先取双曲线的一条准线 然后根据题意列方程 整理即可 解答 解 依题意 不妨取双曲线的右准线 则左焦点 F1到右准线的距离为 右焦点 F2到右准线的距离为 4 可得 即 双曲线的离心率 故选 D 点评 本题主要考查双曲线的性质及离心率定义 8 5 分 2008 浙江 若 则 tan A B 2C D 2 考点 同角三角函数基本关系的运用 菁优网版权所有 分析 本小题主要考查三角函数的求值问题 需要把正弦和余弦化为正切和正割 两边 平方 根据切割的关系进行切割互化 得到关于正切的方程 解方程得结果 解答 解 cos 2sin cos 0 两边同时除以 cos 得 1 2tan 1 2tan 2 5sec2 5 1 tan2 tan2 4tan 4 0 tan 2 故选 B 点评 同角三角函数之间的关系 其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之 间的化简和证明 在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函 数要有意义 9 5 分 2008 浙江 已知 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量 满足 0 则 的最大值是 A 1B 2C D 考点 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题 所给出的两个向量是互 相垂直的单位向量 这给运算带来很大方便 利用数量积为零的条件时要移项变化 解答 解 5 cos 1 1 的最大值是 故选 C 点评 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上 逐步把握数量积的运算律 引导学 生注意数量积性质的相关问题的特点 以熟练地应用数量积的性质 本题也可以利用数形 结合 对应的点 A B 在圆 x2 y2 1 上 对应的点 C 在圆 x2 y2 2 上即可 10 5 分 2008 浙江 如图 AB 是平面 a 的斜线段 A 为斜足 若点 P 在平面 a 内运 动 使得 ABP 的面积为定值 则动点 P 的轨迹是 A 圆B 椭圆 C 一条直线 D 两条平行直线 考点 椭圆的定义 平面与圆柱面的截线 菁优网版权所有 专题 压轴题 转化思想 分析 根据题意 因为三角形面积为定值 从而可得 P 到直线 AB 的距离为定值 分析 可得 点 P 的轨迹为一以 AB 为轴线的圆柱面 与平面 的交线 分析轴线与平面的性质 可得答案 解答 解 本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题 因为三角形面积为定值 以 AB 为底 则底边长一定 从而可得 P 到直线 AB 的距离为定 值 分析可得 点 P 在以 AB 为轴线的圆柱面与平面 的交线上 且 与圆柱的轴线斜交 由平面与圆柱面的截面的性质判断 可得 P 的轨迹为椭圆 故选 B 点评 本题考查平面与圆柱面的截面性质的判断 注意截面与圆柱的轴线的不同位置时 得到的截面形状也不同 二 填空题 共二 填空题 共 7 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 28 分 分 11 4 分 2008 浙江 已知平面内三点 A 2 3 B 4 3 C 5 a 共线 则 a 6 考点 平行向量与共线向量 菁优网版权所有 分析 利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标 将三点共线转化为两向量共线 利用 向量共线的充要条件列出方程求出 a 解答 解 由已知知 所以 2 a 3 6 3 解得 a 6 故答案为 6 点评 本题考查向量坐标的求法 向量共线的坐标形式的充要条件 6 12 4 分 2008 浙江 已知 F1 F2为椭圆 1 的两个焦点 过 F1的直线交椭圆 于 A B 两点 若 F2A F2B 12 则 AB 8 考点 椭圆的简单性质 菁优网版权所有 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 运用椭圆的定义 可得三角形 ABF2的周长为 4a 20 再由周长 即可得到 AB 的 长 解答 解 椭圆 1 的 a 5 由题意的定义 可得 AF1 AF2 BF1 BF2 2a 则三角形 ABF2的周长为 4a 20 若 F2A F2B 12 则 AB 20 12 8 故答案为 8 点评 本题考查椭圆的方程和定义 考查运算能力 属于基础题 13 4 分 2008 浙江 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b C 若 b c cosA acosC 则 cosA 考点 正弦定理的应用 两角和与差的正弦函数 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系 再运用两角和与差的正弦 公式化简可得到sinBcosA sinB 进而可求得 cosA 的值 解答 解 由正弦定理 知 由 b c cosA acosC 可得 sinB sinC cosA sinAcosC sinBcosA sinAcosC sinCcosA sin A C sinB cosA 故答案为 点评 本题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦公式的应用 考查对三角函数公式的 记忆能力和综合运用能力 14 4 分 2008 浙江 如图 已知球 O 的面上四点 A B C D DA 平面 ABC AB BC DA AB BC 则球 O 的体积等于 7 考点 球的体积和表面积 球内接多面体 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 说明 CDB 是直角三角形 ACD 是直角三角形 球的直径就是 CD 求出 CD 即可求出球的体积 解答 解 AB BC ABC 的外接圆的直径为 AC AC 由 DA 面 ABC 得 DA AC DA BC CDB 是直角三角形 ACD 是直角三角形 CD 为球的直径 CD 3 球的半径 R V球 R3 故答案为 点评 本题是基础题 考查球的内接多面体 说明三角形是直角三角形 推出 CD 是球 的直径 是本题的突破口 解题的重点所在 考查分析问题解决问题的能力 15 4 分 2008 浙江 已知 t 为常数 函数 y x2 2x t 在区间 0 3 上的最大值为 2 则 t 1 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 本题应先画出函数的大体图象 利用数形结合的方法寻找解题的思路 画出大体 图象后不难发现函数的最大值只能在 x 1 或 x 3 处取得 因此分情况讨论解决此题 解答 解 记 g x x2 2x t x 0 3 则 y f x g x x 0 3 f x 图象是把函数 g x 图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方得到 其对称轴为 x 1 则 f x 最大值必定在 x 3 或 x 1 处取得 1 当在 x 3 处取得最大值时 f 3 32 2 3 t 2 解得 t 1 或 5 当 t 5 时 此时 f 0 5 2 不符条件 当 t 1 时 此时 f 0 1 f 1 2 符合条件 2 当最大值在 x 1 处取得时 f 1 12 2 1 t 2 解得 t 1 或 3 当 t 3 时 f 0 3 2 不符条件 当 t 1 此时 f 3 2 f 1 2 符合条件 8 综上 t 1 时 故答案为 1 点评 本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化 16 4 分 2008 浙江 用 1 2 3 4 5 6 组成六位数 没有重复数字 要求任何相 邻两个数字的奇偶性不同 且 1 和 2 相邻 这样的六位数的个数是 40 用数字作答 考点 分步乘法计数原理 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 欲求可组成符合条件的六位数的个数 只须利用分步计数原理分三步计算 第一 步 先将 3 5 排列 第二步 再将 4 6 插空排列 第三步 将 1 2 放到 3 5 4 6 形 成的空中即可 解答 解析 可分三步来做这件事 第一步 先将 3 5 排列 共有 A22种排法 第二步 再将 4 6 插空排列 共有 2A22种排法 第三步 将 1 2 放到 3 5 4 6 形成的空中 共有 C51种排法 由分步乘法计数原理得共有 A22 2A22 C51 40 种 答案 40 点评 本题考查的是分步计数原理 分步计数原理 也称乘法原理 完成一件事 需要 分成 n 个步骤 做第 1 步有 m1 种不同的方法 做第 2 步有 m2 种不同的方法 做第 n 步有 mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法 17 4 分 2008 浙江 若 a 0 b 0 且当时 恒有 ax by 1 则以 a b 为坐 标的点 P a b 所形成的平面区域的面积等于 1 考点 二元一次不等式 组 与平面区域 菁优网版权所有 专题 压轴题 图表型 分析 先依据不等式组 结合二元一次不等式 组 与平面区域的关系画出其 表示的平面区域 再利用求最优解的方法 结合题中条件 恒有 ax by 1 得出关于 a b 的不等关系 最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可 解答 解 令 z ax by ax by 1 恒成立 即函数 z ax by 在可行域要求的条件下 zmax 1 恒成立 当直线 ax by z 0 过点 1 0 或点 0 1 时 0 a 1 0 b 1 点 P a b 形成的图形是边长为 1 的正方形 所求的面积 S 12 1 故答案为 1 9 点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合 的思想 属中档题 目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题 这类问题一般要分三步 画出可行域 求出关键点 定出最优解 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 72 分 分 18 12 分 2008 浙江 如图 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直 BCF CEF 90 AD 求证 AE 平面 DCF 当 AB 的长为何值时 二面角 A EF C 的大小为 60 考点 直线与平面平行的判定 与二面角有关的立体几何综合题 菁优网版权所有 专题 计算题 证明题 综合题 分析 过点 E 作 EG CF 并 CF 于 G 连接 DG 证明 AE 平行平面 DCF 内的直线 DG 即可证明 AE 平面 DCF 过点 B 作 BH EF 交 FE 的延长线于 H 连接 AH 说明 AHB 为二面角 A EF C 的 平面角 通过二面角 A EF C 的大小为 60 求出 AB 即可 解答 证明 过点 E 作 EG CF 并 CF 于 G 连接 DG 可得四边形 BCGE 为矩 形 又 ABCD 为矩形 所以 AD EG 从而四边形 ADGE 为平行四边形 故 AE DG 因为 AE 平面 DCF DG 平面 DCF 所以 AE 平面 DCF 解 过点 B 作 BH EF 交 FE 的延长线于 H 连接 AH 由平面 ABCD 平面 BEFG AB BC 得 10 AB 平面 BEFC 从而 AH EF 所以 AHB 为二面角 A EF C 的平面角 在 Rt EFG 中 因为 EG AD 又因为 CE EF 所以 CF 4 从而 BE CG 3 于是 BH BE sin BEH 因为 AB BH tan AHB 所以当 AB 时 二面角 A EF G 的大小为 60 考点 空间点 线 面位置关系 空间向量与立体几何 点评 由于理科有空间向量的知识 在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用 这 为考生选择解题方案提供了方便 但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的 缺陷 那就是空间向量的运算问题 空间向量有三个分坐标 在进行运算时极易出现错误 而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显 所以在复习立体几何时 不要纯 粹以空间向量为解题的工具 要注意综合几何法的应用 点评 本题主要考查空间线面关系 空间向量的概念与运算等基础知识 同时考查空间 想象能力和推理运算能力 19 14 分 2008 浙江 一个袋中有若干个大小相同的黑球 白球和红球 已知从袋中 任意摸出 1 个球 得到黑球的概率是 从袋中任意摸出 2 个球 至少得到 1 个白球的概 率是 若袋中共有 10 个球 从袋中任意摸出 3 个球 记得到白球的个数为 求随机变量 的数学期望 E 求证 从袋中任意摸出 2 个球 至少得到 1 个黑球的概率不大于 并指出袋中哪 种颜色的球个数最少 考点 离散型随机变量及其分布列 等可能事件的概率 离散型随机变量的期望与方 差 菁优网版权所有 专题 计算题 应用题 证明题 压轴题 分析 I 首先根据从袋中任意摸出 2 个球 至少得到 1 个白球的概率是 列出关系式 得到白球的个数 从袋中任意摸出 3 个球 白球的个数为 根据题意得到变量可能的取 值 结合对应的事件 写出分布列和期望 11 II 设出两种球的个数 根据从袋中任意摸出 2 个球 至少得到 1 个黑球的概率不大于 得到两个未知数之间的关系 得到白球的个数比黑球多 白球个数多于 红球的 个数少于 得到袋中红球个数最少 解答 解 记 从袋中任意摸出两个球 至少得到一个白球 为事件 A 设袋中白球的个数为 x 则 得到 x 5 故白球有 5 个 随机变量 的取值为 0 1 2 3 分布列是 的数学期望 证明 设袋中有 n 个球 其中 y 个黑球 由题意得 2y n 2y n 1 故 记 从袋中任意摸出两个球 至少有 1 个黑球 为事件 B 则 白球的个数比黑球多 白球个数多于 红球的个数少于 故袋中红球个数最少 点评 本题主要考查排列组合 对立事件 相互独立事件的概率和随机变量分布列和数 学期望等概念 同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力 20 15 分 2008 浙江 已知曲线 C 是到点和到直线距离相等的 点的轨迹 l 是过点 Q 1 0 的直线 M 是 C 上 不在 l 上 的动点 A B 在 l 上 MA l MB x 轴 如图 求曲线 C 的方程 求出直线 l 的方程 使得为常数 12 考点 轨迹方程 直线的一般式方程 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 I 设 N x y 为 C 上的点 进而可表示出 NP 根据 N 到直线的距离 和 NP 进而可得曲线 C 的方程 II 先设 直线 l y kx k 进而可得 B 点坐标 再分别表示出 QB QM MA 最后根据 QA 2 QM 2 AM 2求得 k 解答 解 I 设 N x y 为 C 上的点 则 N 到直线的距离为 由题设得 化简 得曲线 C 的方程为 II 设 直线 l y kx k 则 B x kx k 从 而 在 Rt QMA 中 因为 所以 13 当 k 2 时 从而所求直线 l 方程为 2x y 2 0 点评 本题主要考查求曲线轨迹方程 两条直线的位置关系等基础知识 考查解析几何 的基本思想方法和综合解题能力 21 15 分 2008 浙江 已知 a 是实数 函数 求函数 f x 的单调区间 设 g a 为 f x 在区间 0 2 上的最小值 i 写出 g a 的表达式 ii 求 a 的取值范围 使得 6 g a 2 考点 利用导数研究函数的单调性 函数解析式的求解及常用方法 利用导数求闭区间 上函数的最值 不等式的证明 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 求出函数的定义域 0 求出 f x 因为 a 为实数 讨论 a 0 x 0 得到 f x 0 得到函数的单调递增区间 若 a 0 令 f x 0 得到函数 驻点讨论 x 取值得到函数的单调区间即可 讨论若 a 0 f x 在 0 2 上单调递增 所以 g a f 0 0 若 0 a 6 f x 在上单调递减 在上单调递增 所以 若 a 6 f x 在 0 2 上单调递减 所以 得到 g a 为分段函数 写出即可 令 6 g a 2 代到第一段上无解 若 0 a 6 解得 3 a 6 若 a 6 解得 则求出 a 的取值范围即可 解答 解 解 函数的定义域为 0 x 0 14 若 a 0 则 f x 0 f x 有单调递增区间 0 若 a 0 令 f x 0 得 当时 f x 0 当时 f x 0 f x