高中数学知识点公式大全

1 高中数学知识点必修 1 5 必修 1 数学知识点 第一章 集合与函数概念 1 1 1 集合 1 把研究的对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 集合三要素 确定性 互异性 无序性 2 只要构成两个集合的元素是一样的 就称这两个集合相等 3 常见集合 正整数集合 或 整数集合 有理数集合 实数集合 N NZQ R 4 集合的表示方法 列举法 描述法 1 1 2 集合间的基本关系 1 一般地 对于两个集合 A B 如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素 则 称集合 A 是集合 B 的子集 记作 BA 2 如果集合 但存在元素 且 则称集合 A 是集合 B 的真子集 记作 BA Bx Ax A B 3 把不含任何元素的集合叫做空集 记作 并规定 空集合是任何集合的子集 4 如果集合 A 中含有 n 个元素 则集合 A 有个子集 n 2 1 1 3 集合间的基本运算 1 一般地 由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合 称为集合 A 与 B 的并集 记 作 BA 2 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称为 A 与 B 的交集 记 作 BA 3 全集 补集 U C Ax xUxU 且 1 2 1 函数的概念 1 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 使对于集合 A 中的任意一f 个数 在集合 B 中都有惟一确定的数和它对应 那么就称为集合x xfBAf A 到集合 B 的一个函数 记作 Axxfy 2 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系 值域 如果两个函数的定义域相同 并且 对应关系完全一致 则称这两个函数相等 1 2 2 函数的表示法 1 函数的三种表示方法 解析法 图象法 列表法 1 3 1 单调性与最大 小 值 1 注意函数单调性证明的一般格式 解 设且 则 baxx 21 21 xx 21 xfxf 1 3 2 奇偶性 2 1 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就称 xfx xfxf 函数为偶函数 偶函数图象关于轴对称 xfy 2 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就称 xfx xfxf 函数为奇函数 奇函数图象关于原点对称 xf 第二章 基本初等函数 2 1 1 指数与指数幂的运算 1 一般地 如果 那么叫做 的次方根 其中 axn xan Nnn 1 2 当为奇数时 naa nn 当为偶数时 naa nn 3 我们规定 mn m n aa 1 0 mNnma 0 1 n a a n n 4 运算性质 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rs s r 0 Qrbabaab rr r 0 0 2 1 2 指数函数及其性质 1 记住图象 1 0 aaay x 2 2 1 对数与对数运算 1 xNNa a x log 2 aa N a log 3 01log a 1log a a 3 4 当时 0 0 1 0 NMaa NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog MnM a n a loglog 5 换底公式 a b b c c a log log log 0 1 0 1 0 bccaa 6 a b b a log 1 log 1 0 1 0 bbaa 2 2 2 对数函数及其性质 1 记住图象 1 0log aaxy a 2 3 幂函数 1 几种幂函数的图象 第三章 函数的应用 3 1 1 方程的根与函数的零点 1 方程有实根 0 xf 函数的图象与轴有交点 xfy x 函数有零点 xfy 2 性质 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 xfy ba 4 那么 函数在区间内有零点 即存在 使 0 bfaf xfy ba bac 得 这个也就是方程的根 0 cfc 0 xf 3 1 2 用二分法求方程的近似解 1 掌握二分法 3 2 1 几类不同增长的函数模型 3 2 2 函数模型的应用举例 1 解决问题的常规方法 先画散点图 再用适当的函数拟合 最后检验 必修 2 数学知识点 1 空间几何体的结构 常见的多面体有 棱柱 棱锥 棱台 常见的旋转体有 圆柱 圆锥 圆台 球 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分 这样的多面体叫做棱台 2 空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影 中心投影的投影线交于一点 把在一束平行光线照 射下的投影叫平行投影 平行投影的投影线是平行的 3 空间几何体的表面积与体积 圆柱侧面积 lrS 2 侧面 圆锥侧面积 lrS 侧面 圆台侧面积 lRlrS 侧面 体积公式 5 hSV 柱体 hSV 3 1 锥体 hSSSSV 下下上上台体 3 1 球的表面积和体积 32 3 4 4RVRS 球球 第二章 点 直线 平面之间的位置关系 1 公理 1 如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4 公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行 5 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 6 线线位置关系 平行 相交 异面 7 线面位置关系 直线在平面内 直线和平面平行 直线和平面相交 8 面面位置关系 平行 相交 9 线面平行 判定 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 性质 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 10 面面平行 判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 11 线面垂直 定义 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线 那么就说这条直线和这个平面垂直 判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 12 面面垂直 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 判定 一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面垂直 性质 两个平面互相垂直 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 第三章 直线与方程 1 倾斜角与斜率 12 12 tan xx yy k 2 直线方程 点斜式 00 xxkyy 斜截式 bkxy 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 一般式 0 CByAx 6 3 对于直线 有 222111 bxkylbxkyl 21 21 21 bb kk ll 和相交 1 l 2 l 12 kk 和重合 1 l 2 l 21 21 bb kk 1 2121 kkll 4 对于直线 有 0 0 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 1221 1221 21 CBCB BABA ll 和相交 1 l 2 l 1221 BABA 和重合 1 l 2 l 1221 1221 CBCB BABA 0 212121 BBAAll 5 两点间距离公式 2 12 2 1221 yyxxPP 6 点到直线距离公式 22 00 BA CByAx d 第四章 圆与方程 1 圆的方程 标准方程 2 22 rbyax 一般方程 0 22 FEyDxyx 2 两圆位置关系 21O Od 外离 rRd 外切 rRd 7 相交 rRdrR 内切 rRd 内含 rRd 3 空间中两点间距离公式 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxPP 必修 3 数学知识点 第一章 算法 1 算法三种语言 自然语言 流程图 程序语言 2 算法的三种基本结构 顺序结构 选择结构 循环结构 3 流程图中的图框 起止框 输入输出框 处理框 判断框 流程线等规范表示方法 4 循环结构中常见的两种结构 当型循环结构 直到型循环结构 5 基本算法语句 赋值语句 有时也用 输入输出语句 INPUT PRINT 条件语句 If Then Else End If 循环语句 Do 语句 Do Until End While 语句 While WEnd 算法案例 辗转相除法 同余思想 第二章 统计 1 抽样方法 简单随机抽样 总体个数较少 系统抽样 总体个数较多 分层抽样 总体中差异明显 注意 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本 每个个体被抽到的机会 概率 均 为 N n 8 2 总体分布的估计 一表二图 频率分布表 数据详实 频率分布直方图 分布直观 频率分布折线图 便于观察总体分布趋势 注 总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1 茎叶图 茎叶图适用于数据较少的情况 从中便于看出数据的分布 以及中位数 众位数等 个位数为叶 十位数为茎 右侧数据按照从小到大书写 相同的药重复写 3 总体特征数的估计 平均数 n xxxx x n 321 取值为的频率分别为 则其平均数为 n xxx 21 n ppp 21 nnp xpxpx 2211 注意 频率分布表计算平均数要取组中值 方差与标准差 一组样本数据 n xxx 21 方差 2 1 2 1 n i i xx n s 标准差 2 1 1 n i i xx n s 注 方差与标准差越小 说明样本数据越稳定 平均数反映数据总体水平 方差与标准差反映数据的稳定水平 线性回归方程 变量之间的两类关系 函数关系与相关关系 制作散点图 判断线性相关关系 线性回归方程 最小二乘法 abxy 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 注意 线性回归直线经过定点 yx 第三章 概率 1 随机事件及其概率 事件 试验的每一种可能的结果 用大写英文字母表示 必然事件 不可能事件 随机事件的特点 随机事件 A 的概率 1 0 AP n m AP 9 2 古典概型 基本事件 一次试验中可能出现的每一个基本结果 古典概型的特点 所有的基本事件只有有限个 每个基本事件都是等可能发生 古典概型概率计算公式 一次试验的等可能基本事件共有 n 个 事件 A 包含了其中的 m 个基本事件 则事件 A 发生的概率 n m AP 3 几何概型 几何概型的特点 所有的基本事件是无限个 每个基本事件都是等可能发生 几何概型概率计算公式 的测度 的测度 D d AP 其中测度根据题目确定 一般为线段 角度 面积 体积等 4 互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件 如果事件任意两个都是互斥事件 则称事件彼此互斥 n AAA 21 n AAA 21 如果事件 A B 互斥 那么事件 A B 发生的概率 等于事件 A B 发生的概率的和 即 BPAPBAP 如果事件彼此互斥 则有 n AAA 21 2121nn APAPAPAAAP 对立事件 两个互斥事件中必有一个要发生 则称这两个事件为对立事件 事件的对立事件记作AA 1 1 APAPAPAP 对立事件一定是互斥事件 互斥事件未必是对立事件 必修 4 数学知识点 第一章 三角函数 1 1 1 任意角 1 正角 负角 零角 象限角的概念 2 与角终边相同的角的集合 Zkk 2 1 1 2 弧度制 1 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 2 r l 3 弧长公式 R Rn l 180 10 4 扇形面积公式 lR Rn S 2 1 360 2 1 2 1 任意角的三角函数 1 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 yxP x y xy tan cos sin 2 设点为角终边上任意一点 那么 设 00 y xA 2 0 2 0 yxr r y0 sin r x0 cos 0 0 tan x y 3 在四个象限的符号和三角函数线的画法 sin cos tan 4 诱导公式一 其中 tan2tan cos2cos sin2sin k k k Zk 5 特殊角 0 30 45 60 90 180 270 的三角函数值 6 4 3 sin cos tan 1 2 2 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 1cossin 22 2 商数关系 cos sin tan 1 3 三角函数的诱导公式 1 诱导公式二 tantan coscos sinsin 2 诱导公式三 tantan coscos sinsin 3 诱导公式四 11 tantan coscos sinsin 4 诱导公式五 sin 2 cos cos 2 sin 5 诱导公式六 sin 2 cos cos 2 sin 1 4 1 正弦 余弦函数的图象 1 记住正弦 余弦函数图象 2 能够对照图象讲出正弦 余弦函数的相关性质 定义域 值域 最大最小值 对称轴 对称中心 奇偶性 单调性 周期性 3 会用五点法作图 1 4 2 正弦 余弦函数的性质 1 周期函数定义 对于函数 如果存在一个非零常数 T 使得当取定义域内的每 xfx 一个值时 都有 那么函数就叫做周期函数 非零常数 T 叫做 xfTxf xf 这个函数的周期 1 4 3 正切函数的图象与性质 1 记住正切函数的图象 12 2 能够对照图象讲出正切函数的相关性质 定义域 值域 对称中心 奇偶性 单调性 周期性 1 5 函数的图象 xAysin 1 能够讲出函数的图象和函数的图象之间的平移伸缩变xysin bxAy sin 换关系 2 对于函数 有 振幅 A 周期 初相 相位 0 0sin AbxAy 2 T 频率 x 2 1 T f 1 6 三角函数模型的简单应用 1 要求熟悉课本例题 第二章 平面向量 2 1 1 向量的物理背景与概念 1 了解四种常见向量 力 位移 速度 加速度 2 既有大小又有方向的量叫做向量 2 1 2 向量的几何表示 1 带有方向的线段叫做有向线段 有向线段包含三个要素 起点 方向 长度 2 向量的大小 也就是向量的长度 或称模 记作 长度为零的向量叫做ABABAB 零向量 长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量 3 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 或共线向量 规定 零向量与任意向量平 行 2 1 3 相等向量与共线向量 1 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 2 2 1 向量加法运算及其几何意义 1 三角形法则和平行四边形法则 2 ba ba 2 2 2 向量减法运算及其几何意义 1 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量 aa 2 2 3 向量数乘运算及其几何意义 1 规定 实数与向量的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 它的 aa 长度和方向规定如下 aa 当时 的方向与的方向相同 当时 的方向与的方向相反 0 a a0 a a 2 平面向量共线定理 向量与 共线 当且仅当有唯一一个实数 使 0 aab 13 ab 2 3 1 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内 21 e e 任一向量 有且只有一对实数 使 a 21 2211 eea 2 3 2 平面向量的正交分解及坐标表示 1 yxjyi xa 2 3 3 平面向量的坐标运算 1 设 则 2211 yxbyxa 2121 yyxxba 2121 yyxxba 11 y xa 1221 yxyxba 2 设 则 2211 yxByxA 1212 yyxxAB 2 3 4 平面向量共线的坐标表示 1 设 则 332211 yxCyxByxA 线段 AB 中点坐标为 22 2121 yyxx ABC 的重心坐标为 33 321321 yyyxxx 2 4 1 平面向量数量积的物理背景及其含义 1 cosbaba 2 在方向上的投影为 ab cosa 3 2 2 aa 4 2 aa 5 0 baba 2 4 2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 14 1 设 则 2211 yxbyxa 2121 yyxxba 2 1 2 1 yxa 0 2121 yyxxba 2 设 则 2211 yxByxA 2 12 2 12 yyxxAB 2 5 1 平面几何中的向量方法 2 5 2 向量在物理中的应用举例 第三章 三角恒等变换 3 1 1 两角差的余弦公式 1 sinsincoscoscos 2 记住 15 的三角函数值 sin cos tan 12 4 26 4 26 32 3 1 2 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 sinsincoscoscos 2 sincoscossinsin 3 sincoscossinsin 4 tantan1 tantan tan 5 tantan1 tantan tan 3 1 3 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 cossin22sin 变形 2sincossin 2 1 2 22 sincos2cos 1cos2 2 2 sin21 15 变形 1 2 2cos1 cos2 变形 2 2 2cos1 sin 2 3 2 tan1 tan2 2tan 3 2 简单的三角恒等变换 1 注意正切化弦 平方降次 必修 5 数学知识点 第一章 解三角形 1 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 2 余弦定理 cos2 cos2 cos2 222 222 222 Cabbac Baccab Abccba 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 ab cba C ac bca B bc acb A 3 三角形面积公式 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 第二章 数列 1 数列中与之间的关系 n a n S 1 1 1 1 时当 时 当 nSS nS a nn n 2 等差数列 定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个 数列就叫做等差数列 通项公式 dnaan 1 1 求和公式 22 1 1 1 naa d nn naS n n 16 3 等比数列 定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个 数列就叫做等比数列 通项公式 1 1 n n qaa 求和公式 q qa q qaa S n n n 1 1 1 11 第三章 不等式 1 时取等号当且仅当 时 当 ba abbaba 20 2 时取等号当且仅当 时 当 ba abbaRba 2 22 3 变形 2 2 22 2 ba ab ba ab 高中数学知识点总结 1 对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的 确定性 互异性 无序性 如 集合 Ax yxBy yxCx y yxABC lg lg lg 中元素各表示什么 2 进行集合的交 并 补运算时 不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 如 集合 Ax xxBx ax 2 2301 若 则实数 的值构成的集合为BAa 答 10 1 3 3 注意下列性质 集合 的所有子集的个数是 12 12 aaan n 若 2ABABAABB 3 德摩根定律 CCCCCC UUUUUU ABABABAB 4 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法 17 如 已知关于 的不等式的解集为 若且 求实数x ax xa MMMa 5 035 2 的取值范围 3 35 3 0 5 55 5 0 1 5 3 925 2 2 M a a M a a a 5 可以判断真假的语句叫做命题 逻辑连接词有 或 且 和 非 若为真 当且仅当 均为真pqpq 若为真 当且仅当 至少有一个为真pqpq 若为真 当且仅当 为假 pp 6 命题的四种形式及其相互关系是什么 互为逆否关系的命题是等价命题 原命题与逆否命题同真 同假 逆命题与否命题同真同假 7 对映射的概念了解吗 映射 f A B 是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应 元素的唯一性 哪几种对应能构成映射 一对一 多对一 允许 B 中有元素无原象 8 函数的三要素是什么 如何比较两个函数是否相同 定义域 对应法则 值域 9 求函数的定义域有哪些常见类型 例 函数的定义域是y xx x 4 3 2 lg 答 022334 10 如何求复合函数的定义域 如 函数的定义域是 则函数的定f xabbaF xf xfx 0 义域是 答 aa 11 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时 注明函数的定义域了吗 如 求fxexf x x 1 令 则txt 10 18 xt 2 1 f tet t 2 12 1 f xexx x 2 12 10 12 反函数存在的条件是什么 一一对应函数 求反函数的步骤掌握了吗 反解 x 互换 x y 注明定义域 如 求函数的反函数f x xx xx 10 0 2 答 fx xx xx 1 11 0 13 反函数的性质有哪些 互为反函数的图象关于直线 y x 对称 保存了原来函数的单调性 奇函数性 设的定义域为 值域为 则yf x ACaAbCf a bf 1 ba ff afbaf fbf ab 111 14 如何用定义证明函数的单调性 取值 作差 判正负 如何判断复合函数的单调性 则 外层 内层 yf uuxyfx 当内 外层函数单调性相同时为增函数 否则为减函数 fxfx 如 求的单调区间yxx log1 2 2 2 设 由则uxxux 2 2002 且 如图 log1 2 2 11uux u O 1 2 x 19 当 时 又 xuuy log01 1 2 当 时 又 xuuy log12 1 2 15 如何利用导数判断函数的单调性 在区间 内 若总有则为增函数 在个别点上导数等于abf xf x 0 零 不影响函数的单调性 反之也对 若呢 f x 0 如 已知 函数在 上是单调增函数 则 的最大af xxaxa 01 3 值是 A 0B 1C 2D 3 令f xxax a x a 33 33 0 2 则或x a x a 33 由已知在 上为增函数 则 即f x a a 1 3 13 a 的最大值为 3 16 函数 f x 具有奇偶性的必要 非充分 条件是什么 f x 定义域关于原点对称 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x 若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy 注意如下结论 1 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函数 一 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数 若是奇函数且定义域中有原点 则 2f x f 0 0 如 若 为奇函数 则实数f x aa a x x 22 21 为奇函数 又 f xxRRf 000 即 aa a 22 21 01 0 0 20 又如 为定义在 上的奇函数 当 时 f xxf x x x 1101 2 41 求在 上的解析式 f x 11 令 则 xxfx x x 1001 2 41 又为奇函数 f xf x x x x x 2 41 2 14 又 ff x x x x x x x x 00 2 41 10 0 2 41 01 17 你熟悉周期函数的定义吗 若存在实数 在定义域内总有 则为周期TTf xTf xf x 0 函数 T 是一个周期 如 若 则f xaf x 答 是周期函数 为的一个周期 f xTaf x 2 又如 若图象有两条对称轴 f xxaxb 即 f axf axf bxf bx 则是周期函数 为一个周期f xab 2 如 18 你掌握常用的图象变换了吗 f xfxy 与的图象关于轴 对称 21 f xf xx 与的图象关于轴 对称 f xfx 与的图象关于 原点 对称 f xfxyx 与的图象关于 直线对称 1 f xfaxxa 与的图象关于 直线对称2 f xfaxa 与的图象关于 点 对称 20 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab 0 0 注意如下 翻折 变换 f xf x f xf x 如 f xx log 2 1 作出及的图象yxyx loglog 22 11 y y log2x O 1 x 19 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗 k0 y b O a b O x x a 22 一次函数 10ykxb k 反比例函数 推广为是中心 200y k x kyb k xa kO ab 的双曲线 二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbxc aa x b a acb a 顶点坐标为 对称轴 b a acb a x b a2 4 42 2 开口方向 向上 函数ay acb a 0 4 4 2 min ay acb a 0 4 4 2 向下 max 应用 三个二次 二次函数 二次方程 二次不等式 的关系 二次方程 axbxcxxyaxbxcx 2 12 2 00 时 两根 为二次函数的图象与 轴 的两个交点 也是二次不等式解集的端点值 axbxc 2 00 求闭区间 m n 上的最值 求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 一元二次方程根的分布问题 如 二次方程的两根都大于axbxck b a k f k 2 0 0 2 0 y a 0 O k x1 x2 x 一根大于 一根小于kkf k 0 指数函数 401yaaa x 对数函数 501yx aa a log 23 由图象记性质 注意底数的限定 y y ax a 1 0 a1 1 O 1 x 0 a1 e 1 0 e0 d 0 解不等式组 an 0 an 1 0 可得Sn 达最大值时的n的值 当a1 0 解不等式组 an 0 an 1 0 可得Sn 达最小值时的n的值 5 若an bn 是等差数列 Sn Tn 分别为an bn 的前n项和 则 6 若 是等差数列 则 是等比数列 若 是等 1m2 1m2 m m T S b a n a n a a n a 比数列且 则 是等差数列 0 n a n a alog 48 等比数列中的重要性质 1 若 则 2 qpnm qpnm aaaa k S 成等比数列 kk SS 2kk SS 23 49 你是否注意到在应用等比数列求前 n 项和时 需要分类讨论 时 1 q 时 1 naSn 1 q q qa S n n 1 1 1 50 等比数列的一个求和公式 设等比数列的前 n 项和为 公比为 则 n a n Sq n m mnm SqSS 51 等差数列的一个性质 设是数列的前 n 项和 为等差数列的充要条 n S n a n a 件是 a b 为常数 其公差是 2a bnanSn 2 52 你知道怎样的数列求和时要用 错位相减 法吗 若 其中是等 nnn bac n a 差数列 是等比数列 求的前 n 项的和 n b n c 53 用求数列的通项公式时 你注意到了吗 1 nnn SSa 11 Sa 54 你还记得裂项求和吗 如 1 11 1 1 nnnn 四 排列组合 二项式定理 55 解排列组合问题的依据是 分类相加 分步相乘 有序排列 无序组合 56 解排列组合问题的规律是 相邻问题捆绑法 不邻问题插空法 多排问题单排法 定位问题优先法 多元问题分类法 有序分配问题法 选取问题先排后排法 至多至 少问题间接法 还记得什么时候用隔板法 57 排列数公式是 组合数公式是 排列数与组合数的关系是 m n m n CmP 组合数性质 m n C mn n C m n C 1 m n C m n C 1 n r r n C 0 n 2 61 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr 五 立体几何 58 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化 线 线线 面面 面 线 线 线 面面 面 垂直常用向量来证 59 作出二面角的平面角主要方法是什么 定义法 三垂线法 三垂线法 一定平 面 二作垂线 三作斜线 射影可见 60 二面角的求法主要有 解直角三角形 余弦定理 射影面积法 法向量 61 求点到面的距离的常规方法是什么 直接法 等体积变换法 法向量法 62 你记住三垂线定理及其逆定理了吗 63 有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角 常常与经度及纬度联系在一 起 你还记得经度及纬度的含义吗 经度是面面角 纬度是线面角 64 你还记得简单多面体的欧拉公式吗 V F E 2 其中 V 为顶点数 E 是棱数 F 为面数 棱的两种算法 你还记得吗 多面体每面为 n 边形 则 E 多面 2 nF 体每个顶点出发有 m 条棱 则 E 2 mV 六 解析几何 65 设直线方程时 一般可设直线的斜率为 k 你是否注意到直线垂直于 x 轴时 斜 率 k 不存在的情况 例如 一条直线经过点 且被圆截得 2 3 325 22 yx 的弦长为 8 求此弦所在直线的方程 该题就要注意 不要漏掉 x 3 0 这一解 66 定比分点的坐标公式是什么 起点 中点 分点以及值可要搞清 线段的定比分点坐标公式 设 P x y P1 x1 y1 P2 x2 y2 且 则 21 PPPP 1 1 21 21 yy y xx x 中点坐标公式 2 2 21 21 yy y xx x 若 则 ABC 的重心 G 的坐标是 332211 yxCyxByxA 62 33 321321 yyyxxx 67 在利用定比分点解题时 你注意到了吗 1 68 在解析几何中 研究两条直线的位置关系时 有可能这两条直线重合 而在立体 几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合 69 直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截矩式 一般式 以及各种形式的 局限性 如点斜式不适用于斜率不存在的直线 70 对不重合的两条直线 有0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 1221 1221 21 CACA BABA ll0 212121 BBAAll 71 直线在坐标轴上的截矩可正 可负 也可为 0 72 直线在两坐标轴上的截距相等 直线方程可以理解为 但不要忘记当 a 01 b y a x 时 直线 y kx 在两条坐标轴上的截距都是 0 也是截距相等 73 两直线和的距离公式 d 0 1 CByAx0 2 CByAx 74 直线的方向向量还记得吗 直线的方向向量与直线的斜率有何关系 当直线 L 的方向 向量为 x0 y0 时 直线斜率 k 当直线斜率为 k 时 直线的m 方向向量 m 75 到角公式及夹角公式 何时用 76 处理直线与圆的位置关系有两种方法 1 点到直线的距离 2 直线方程与圆的 方程联立 判别式 一般来说 前者更简捷 77 处理圆与圆的位置关系 可用两圆的圆心距与半径之间的关系 78 在圆中 注意利用半径 半弦长 及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的 几何性质 79 在利用圆锥曲线统一定义解题时 你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序 两 个定义常常结伴而用 有时对我们解题有很大的帮助 有关过焦点弦问题用第二定义 可能更为方便 焦半径公式 椭圆 PF1 PF2 双曲线 PF1 PF2 其中 F1为左焦点 F2为右焦点 抛物线 PF x0 2 p 80 在用圆锥曲线与直线联立求解时 消元后得到的方程中要注意 二次项的系数是否为 零 判别式的限制 求交点 弦长 中点 斜率 对称 存在性问题都在0 下进行 0 81 椭圆中 a b c 的关系为 离心率 e 准线方程为 焦点到相应 准线距离为 双曲线中 a b c 的关系为 离心率 e 准线方程 为 焦点到相应准线距离为 82 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦 83 你知道吗 解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化 特别是一些很不起 眼的条件 有时起着关键的作用 如 点在曲线上 相交 共线 以某线段为直径的 63 圆经过某点 夹角 垂直 平行 中点 角平分线 中点弦问题等 圆和椭圆参数方 程不要忘 有时在解决问题时很方便 数形结合是解决解几问题的重要思想方法 要 记得画图分析哟 84 你注意到了吗 求轨迹与求轨迹方程有区别的 求轨迹方程可别忘了寻求范围呀 85 在解决有关线性规划应用问题时 有以下几个步骤 先找约束条件 作出可行域 明 确目标函数 其中关键就是要搞清目标函数的几何意义 找可行域时要注意把直线方 程中的 y 的系数变为正值 如 求 2 5a 2b 4 3 3a b0 时 若 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当 a0 1 则的周期 T a axfxf xf 2 0 axfxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 或 则的周期 T 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 则的周期 T 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 且 则 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 的周期 T 4a xf 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则的周期 T 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 则的周期 T 6a axfxfaxf xf 30 分数指数幂 1 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 31 根式的性质 1 n n aa 2 当为奇数时 n nn aa 70 当为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 32 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性 质 对于无理数指数幂都适用 33 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 36 设函数 记 若的定义域为 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xfR 则 且 若的值域为 则 且 对于的情形 需要单独检0 a0 xfR0 a0 0 a 验 37 对数换底不等式及其推广 若 则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 当时 在和上为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 当时 在和上为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论 设 且 则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 则对于时间的总产值 有pxy 1 xyNp 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 71 40 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 等比差数列 的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款 按揭贷款 每次还款元 贷款元 次还清 每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 44 常见三角不等式 1 若 则 0 2 x sintanxxx 2 若 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 45 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 72 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a b tan b a 48 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且sin yx cos yx A 0 0 的周期 函数 A 为常数 2 T tan yx 2 xkkZ 且 A 0 0 的周期 T 51 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 52 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 73 53 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 54 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZ a s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特别地 有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a 2 第一分配律 a a a 3 第二分配律 a b a b 58 向量的数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b a b 3 a b c a c b c 59 平面向量基本定理 如果 e1 e 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且 只有一对实数 1 2 使得 a 1e1 2e2 不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 60 向量平行的坐标表示 设 a b 且 b0 则 ab b0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 53 a 与 b 的数量积 或内积 a b a b cos 61 a b 的几何意义 74 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 62 平面向量的坐标运算 1 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a 则a x yR xy 5 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 63 两向量的夹角公式 a b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 64 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 65 向量的平行与垂直 设 a b 且 b0 则 11 x y 22 xy A bb a 1221 0 x yx y ab a0 a b 0 1212 0 x xy y 66 线段的定比分公式 设 是线段的分点 是实数 且 则 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 67 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重心的 11 A x y 22 B x y 33 C x y 坐标是 123123 33 xxxyyy G 68 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后图形上的对应点为 且的 F P x y PP 坐标为 h k 69 按向量平移 的几个结论 1 点按向量 a 平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 函数的图象按向量 a 平移后得到图象 则的函数解析式为 yf x C h k C C yf xhk 3 图象按向量 a 平移后得到图象 若的解析式 则的函数解 C h kCC yf x C 析式为 yf xhk 75 4 曲线 按向量 a 平移后得到图象 则的方程为C 0f x y h k C C 0f xh yk 5 向量 m 按向量 a 平移后得到的向量仍然为 m x y h k x y 70 三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 71 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取