高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)

1 46 考纲要求考纲要求 1 圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用 掌握椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 了解圆锥曲线的简单应用 理解数形结合的思想 2 曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 基本知识回顾 1 椭圆 椭圆 椭圆的定义 设 F1 F2 是定点 称焦点 P 为动点 则满足 PF1 PF2 2a 其中 a 为定值 且 2a F1F2 的动点 P 的轨迹称为椭圆 符号表示 PF1 PF2 2a 2a F1F2 椭圆的标准方程和几何性质 焦点在 x 轴上的椭圆焦点在 y 轴上的椭圆 标准方程 1 a b 0 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 2 2 a y 2 2 b x 范围 x a a yb b xb b ya a 图形 对称性对称轴 x 轴 y 轴 对称中心 原点 顶点 12 12 0 0 0 0 AaA a BbB b 12 12 0 0 0 0 AaAa Bb Bb 轴长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b 焦距F1F2 2c 2 46 离心率 e 0 1 c e a a b c 关系222 abc 例题例题 例例 1 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的大小为 变式变式 1 已知 12 F F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的两个焦点 p为椭圆C上的一 点 且 若 12 PFF 的面积为 9 则b 21 PFPF 例例 2 若点 P 到点 F 4 0 的距离比它到定直线 x 5 0 的距离小 1 则 P 点的轨迹方程是 A y2 xB y2 xC y2 16xD y2 32x16 32 变式变式 2 动圆与定圆 A x 2 2 y2 1 外切 且与直线 x 1 相切 则动圆圆心 P 的轨 迹是 A 直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 变式变式 3 抛物线的顶点在原点 焦点在 y 轴上 其上的点到焦点的距离为 5 3 mP 则抛物线方程为 A B C D yx8 2 yx4 2 yx4 2 yx8 2 变式变式 4 在抛物线 y2 2x 上有一点 P 若 P 到焦点 F 与到点 A 3 2 的距离之和最小 则点 P 的坐标是 课后作业课后作业 1 已知椭圆 1 F1 F2分别为它的左右焦点 CD 为过 F1的弦 则 F2CD 的 16 2 x 9 2 y 周长是 A 10 B 12 C 16 D 不能确定 3 46 2 设为双曲线上的一点 是该双曲线的两个焦点 若P 2 2 1 12 y x 12 FF 则的面积为 12 3 2PFPF 12 PFF A B C D 6 31212 324 3 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 答案 答案 例题例题 例例 1 2 120 解 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 12 120FPF 故应填 2 120 变式变式 1 3 解 依题意 有 aPFPF2 21 18 21 PFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 2 2 2 2 1 4cPFPF 故有 b 3 例例 2 C 变式变式 2 D 变式变式 3 D 变式变式 4 2 2 课后作业课后作业 1 C 2 B 3 解 直线 2 1lx 为抛物线 2 4yx 的准线 由抛物线的定义知 P 到的距离等 2 l 于 P 到抛物线的焦点的距离 故本题化为在抛物线 2 4yx 上找一个点 0 1F P使得P到点和直线 2 l的距离之和最小 最小值为到直线 0 1F 0 1F 1 4 360lxy 的距离 即 故选择 A 2 5 604 min d 2 双曲线 双曲线 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1 F2 称为焦点 的距离的差的绝对值等于常数 2a 4 46 0 2a F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 符号表示 PF1 PF2 2a 0 2a F1F2 双曲线的标准方程和几何性质 焦点在 x 轴上的双曲线焦点在 y 轴上的双曲线 标准方程 1 a 0 b 0 2 2 a x 2 2 b y 1 a 0 b 0 2 2 a y 2 2 b x 范围 x a a yb b xb b ya a 图形 对称性对称轴 x 轴 y 轴 对称中心 原点 顶点 12 0 0 AaA a 12 0 0 AaAa 轴实轴 A1A2的长为 2a 虚轴 B1B2的长为 2b 焦距F1F2 2c 离心率 e 1 c e a a b c 关系222 cab 例例题题 例例 3 如果方程表示焦点在轴上的椭圆 那么实数的取值范围是 22 2xky xk A B C D 0 0 2 1 0 1 变式变式 5 双曲线的一个焦点为 那么的值是 22 88kxky 0 3 k A 1 B 1 C D 65 3 65 3 变式变式 6 曲线的离心率 e 1 2 则 k 的取值范围是 1 4 22 k yx A 0 B 3 0 C 12 0 D 60 12 5 46 例例 4 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 变式变式 7 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A B C D 2 2 3 3 2 1 3 1 变式变式 8 设分别是双曲线 22 22 1 xy ab 的左 右焦点 若双曲线上存在点 12 FF A 使 且 则双曲线的离心率为 12 90F AF 12 3AFAF A B C D 5 2 10 2 15 2 5 变式变式 9 双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的两个焦点为 F1 F2 若 P 为其上一点 且 PF1 2 PF2 则双曲线离心率的取值范围为 A 1 3 B C 3 D 1 3 3 例例 5 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的 渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 变式变式 10 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐 近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 变式变式 11 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点到渐近线的距离为 A 2 3 B 2 C 3 D 1 答答案案 例题例题 例例 3 C 变式变式 5 B 变式变式 6 C 例例 4 B 解 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 6 46 变式变式 7 B 解 因为 再由有 从而可得 a b cP 2 60 21PF Fa a b 2 3 2 故选 B 3 3 a c e 变式变式 8 B 变式变式 9 B 例例 5 C 解 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐近线方程为xx a b y 2 2 变式变式 10 C 解 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是 2 22 yx 于是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 则 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 变式变式 11 解 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点 4 0 到渐近线3yx 的距离为 340 2 3 2 d 选 A 3 抛物线 抛物线 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 定点 F 不在定直线 l 上 抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppyx 0 2 2 ppyx 图形 y o F x y F o x y o x y o x F 顶点坐标原点 O 0 0 对称性关于 x 轴对称关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于 y 轴对称 焦点 p 2 0 p 2 0 p 2 0 p 2 0 离心率e 1 F 7 46 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 知识拓展 抛物线焦点弦的性质 设 AB 是过抛物线焦点 F 的弦 若 则 0 2 2 ppxy 11 A x y 22 B xy 1 2 12 4 p x x 2 12 y yp 2 弦长丨 AB 丨 为弦 AB 的倾斜角 12 xxp 2 2p sin 3 112 FAFBp 4 以弦 AB 为直径的圆与准线相切 5 A O 与 B 在准线上的射影 B 三点共线 B O 与 A 在准线上的射影 A 三点共线 例例题题 例例 6 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2 4x 的焦点 与抛物线相交于两点 A B 则线 段 AB 的长是 变式变式 12 抛物线 y2 2x 上的两点 A B 到焦点 F 的距离之和是 5 则线段 AB 的中 点 M 的横坐标是 变式变式 13 设过抛物线的焦点 F 的弦为 PQ 则以 PQ 为直径的圆与抛物线的准线的 位置关系是 A 相交B 相切C 相离D 以上答案均有可能 变式变式 14 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则p 课课后后作作业业 1 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 A 2 B 3 C 3 2 D 1 2 双曲线 的左 右焦点分别是 过作倾斜 22 22 1 xy ab 0a 0b 12 FF 1 F 角为的直线交双曲线右支于点 若垂直于轴 则双曲线的离心率30 M 2 MFx 为 8 46 A B C D 632 3 3 3 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线的距离为 6 则该双曲线 的离心率为 4 已知双曲线的离心率为 焦点是 则双曲线方程为 2 4 0 4 0 A B C D 22 1 412 xy 22 1 124 xy 22 1 106 xy 22 1 610 xy 5 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 A 2 0 B 0 C 4 0 D 0 2 4 6 设分别是双曲线的左 右焦点 若点在双曲线上 且 12 FF 2 2 1 9 y x P 则 0 21 PFPF 12 PFPF A B C D 102 1052 5 7 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且BFx 轴 直线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 8 已知抛物线的焦点为 点 2 2 0 ypx p F 111222 P xyP xy令令令 在抛物线上 且 则有 333 P xy令 213 2xxx A B 123 FPFPFP 222 123 FPFPFP C D 213 2 FPFPFP 2 213 FPFPFP 答答案案 例题例题 例例 6 8 变式变式 12 2 变式变式 13 B 变式变式 14 2 解 由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx 联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 9 46 又 2 22 1 1 3 482 4 p ABpp 课后作业课后作业 1 解 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 参照选项知而应选 D 2 B 3 3 4 A 5 解 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选 B 6 B 7 D 对于椭圆 因为2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace 8 C 10 46 解圆锥曲线常用方法解圆锥曲线常用方法 1 韦达定理的应用 韦达定理的应用 例题例题 例例 1 在平面直角坐标系中 已知椭圆的左焦点为xOy 22 1 22 1 0 xy Cab ab 且点在上 1 1 0 F 0 1 P 1 C 1 求椭圆的方程 1 C 2 设直线 与椭圆和抛物线相切 求直线 的方程 l 1 C 2 2 4Cyx l 课后作业课后作业 1 双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆 0 3 222 rryx相切 则 r A 3 B 2 C 3 D 6 2 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点 1 2 xy 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 3 已知 F1 F2是椭圆的两个焦点 过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A B 两点 若 ABF2是正三角形 则这个椭圆的离心率是 A B C D 3 3 3 2 2 3 2 2 答案 例例 1 解 1 依题意 c 1 1 分 则 2 分1 22 ba 11 46 设椭圆方程为 3 分 1 1 2 2 2 2 b y b x 将点坐标代入 解得 4 分 1 0 P 1 2 b 所以 2111 22 ba 故椭圆方程为 5 分 1 2 2 2 y x 2 设所求切线的方程为 6 分mkxy 1 2 2 2 y x mkxy 消除 y 7 分 22 12 4 4 222 1 mkkm 化简得 12 22 km 8 分 同理 联立直线方程和抛物线的方程得 xy mkxy 4 2 消除 y 得 0 42 222 mxkmxk 9 分04 42 222 2 mkkm 化简得 10 分 1 km 将 代入 解得 012 24 kk 解得 2 2 2 2 1 2 1 22 kkkk或者舍去 故 12 分 21 21 mkmk时 当时 当 故切线方程为 14 分2 2 2 2 2 2 xyxy或者 课后作业课后作业 1 A 0 22 4 12 222 mkmxxk 12 46 2 D 解 双曲线的一条渐近线为 由方程组 1 2 2 2 2 b y a x x a b y 1 2 xy x a b y 消去 y 得有唯一解 所以 01 2 x a b x04 2 a b 所以 故选 D 2 a b 51 2 22 a b a ba a c e 3 解 设由 ABF2是正三角形知所以椭圆的离 1 1 AF 2 2 AF 12 3 FF 心率 故选 A 12 12 23 23 FFcc e aaAFAF 2 圆锥曲线弦长问题 圆锥曲线弦长问题 例题例题 例例 2 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距 2 2 2 2 b y a x 3 6 离为 3 1 求椭圆 C 的方程 2 设直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 3 求 AOB 面积的最大值 课后作业课后作业 1 设 P 是椭圆短轴的一个端点 为椭圆上的一个动点 求 2 2 2 11 x ya a Q 的最大值 PQ 2 已知椭圆的中心在坐标原点 O 焦点在 x 轴上 椭圆的短轴端点和焦点所组成 13 46 的四边形为正方形 两准线间的距离为 4 1 求椭圆的方程 2 直线 l 过点 P 0 2 且与椭圆相交于 A B 两点 当 AOB 面积取得最大值时 求直线 l 的方程 答案 答案 例题例题 例例 2 解 1 设椭圆的半焦距为 依题意 c 3 3 6 a a c 1 b 所求椭圆方程为 2 2 1 3 x y 2 设 11 A x y 22 B xy 当轴时 ABx 3AB 当与轴不垂直时 设直线的方程为 ABxABykxm 由已知 得 2 3 2 1 m k 22 3 1 4 mk 把代入椭圆方程 ykxm 整理得 222 31 6330kxkmxm 13 6 2 21 k km xx 2 12 2 3 1 31 m x x k 13 112 13 36 11 2 2 2 2 22 22 12 2 2 k m k mk kxxkAB 22222 2222 12 1 31 3 1 91 31 31 kkmkk kk 2 42 2 2 121212 33 0 34 1 9612 36 96 k k kk k k 当且仅当 即时等号成立 当时 2 2 1 9k k 3 3 k 0k 3AB 综上所述 当最大时 面积取最大值 max 2AB ABAOB max 133 222 SAB 14 46 课后作业课后作业 1 解 依题意可设 P 0 1 Q x y 则 PQ 又因为 Q 在椭圆上 22 1 yx 所以 222 1yax 222222 2 121121ayyayyyaPQ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1a aa ya 因为 a 1 若 a 则 1 当时 PQ 取最大值1 y 2 2 1 1 a 2 1 1 a y 1 1 2 22 a aa 若 1 a0 椭圆方程为 抛物线方程为 如图 4 所示 过点 F 0 b 2 作1 2 2 2 2 2 b y b x 8 2 byx 轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为 G 已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦x 点 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设 A B 分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点 P 使得 ABP 为直角三角形 若存在 请指出共有几个这样的 点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 3 2009 广东理 19 已知曲线 C 与直线 l 交于两点和 且 2 xy 02 yx AA yxA BB yxB BA xx 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 含边界 为 D 设点 是 L 上的任一点 且点 P 与点 A 和点 B 均不重合 tsP 1 若点 Q 是线段 AB 的中点 试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程 2 若曲线 G 与 D 有公共点 试求 a 的最小值 0 25 51 42 222 ayyaxx 33 46 4 2010广东理20 已知双曲线的左 右顶点分别为 点 是双曲线上 1 2 2 2 y x 1 A 2 A 11 yxP 11 yxQ 不同的两个动点 1 求直线与交点的轨迹的方程 PA1QA2E 2 若过点 的两条直线和与轨迹 E 都只有一个交点 且 求 的 0 hH 1 h 1 l 2 l 21 ll h 值 5 2010 广东理 21 设 是平面直角坐标系上的两点 现定义由点 A 到点 B 的一种折线 11 yxA 22 yxBxOy 距离为 对于平面上给定的不同两点 BA 1212 yyxxBA xOy 11 yxA 22 yxB 1 若点是平面上的点 试证明 yxCxOy BABCCA 2 在平面上是否存在点 同时满足xOy yxC BABCCA BCCA 若存在 请求出所有符合条件的点 若不存在 请予以证明 34 46 6 2011广东理19 设圆与两圆 中的一个内切 另一个外切 C4 5 22 yx4 5 22 yx 1 求的圆心轨迹的方程 CL 2 已知点 且为上动点 求的最大值及此时点 5 54 5 53 M 0 5 FPLFPMP 的坐标 P 7 2011广东理21 在平面直角坐标系上 给定抛物线 实数 满足 xOyL 2 4 1 xy pq04 2 qp 1 x 是方程的两根 记 2 x0 2 qpxx max 21 xxqp 1 过点 作的切线交轴于点 证明 对线段上的任一点 4 1 2 00 ppA 0 0 pLyBAB 有 qpQ 2 0 p qp 2 设是定点 其中 满足 过作的两条切线 baMab04 2 ba0 a baML 1 l 切点分别为 与轴分别交于 线段上 2 l 4 1 2 11 ppE 4 1 2 22 pp E 1 l 2 lyF F EF 异于两端点的点集记为 证明 X 2 1 21 p bappXbaM 35 46 3 设 当点取遍时 求的最小值 4 5 1 4 1 1 2 xyxyyxD qpD qp 记为 和最大值 记为 min max 8 2012 广东理 20 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C1 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 e 且椭圆 3 2 C 上的点到 Q 0 2 的距离的最大值为 3 1 求椭圆 C 的方程 2 在椭圆 C 上 是否存在点 M m n 使得直线 l mx ny 1 与圆 O x2 y2 1 相交于不同的 两点 A B 且 OAB 的面积最大 若存在 求出点 M 的坐标及相对应的 OAB 的面积 若不存 在 请说明理由 36 46 文科 1 2013年年文文科科20题题 已知抛物线的顶点为原点 其焦点到直线的距离C 0 0Fcc 20l xy 为 设为直线 上的点 过点作抛物线的两条切线 其中为切点 3 2 2 PlPC PA PB A B 1 求抛物线的方程 C 2 当点为直线 上的定点时 求直线的方程 00 P xylAB 3 当点在直线 上移动时 求的最小值 PlAFBF 解析 1 依题意 解得 负根舍去 023 2 22 c d 1c 抛物线的方程为 C 2 4xy 2 设点 11 A xy 22 B xy 00 yxP 由 即得 2 4xy 2 1 4 yx y 1 2 x 抛物线在点处的切线的方程为 CAPA 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 2 11 4 1 xy 1 1 2 yx x y 点在切线上 00 yxP 1 l 10 1 0 2 yx x y 同理 20 2 0 2 yx x y 综合 得 点的坐标都满足方程 1122 A x yB xy yx x y 00 2 37 46 经过两点的直线是唯一的 1122 A x yB xy 直线 的方程为 即 AB yx x y 00 200 220 x xyy 3 由抛物线的定义可知 12 1 1AFyBFy 所以 121212 111AFBFyyyyy y 联立 消去得 2 00 4 220 xy x xyy x 222 000 20yyxyy 22 1200120 2 yyxyy yy 00 20 xy 2 222 000000 21 221AFBFyyxyyy 2 2 000 19 22 5 2 22 yyy 当时 取得最小值为 0 1 2 y AFBF 9 2 38 46 2 2012年年文文科科20题题 在平面直角坐标系中 已知椭圆的左焦点 xoy 22 1 22 1 0 xy Cab ab 1 1 0 F 令 且在在上 0 1 P令 1 C 1 求的方程 1 C 2 设直线 同时与椭圆和抛物线相切 求直线 的方程l 1 C 2 2 4Cyx l 解析 1 由题意得 22 1 12 1bcababc 故椭圆的方程为 1 C 2 2 1 2 x y 2 设直线 直线 与椭圆相切 l xm l1 C 2m 直线与抛物线相切 得 不存在 2 2 4Cyx 0m m 设直线 l ykxm 直线 与椭圆相切两根相等 l1 C 222 12 4220kxkmxm 22 1 021mk 直线与抛物线相切两根相等 2 2 4Cyx 222 2 2 0k xkmxm 2 01km 解得 或 2 2 2 km 22 2 2 22 kml yx 39 46 3 2011年年文文科科21题题 在平面直角坐标系中 直线交轴于点 A 设是 上一点 M 是线段xOy 2l x xPl OP 的垂直平分线上一点 且满足 MPO AOP 1 当点 P 在 上运动时 求点 M 的轨迹 E 的方程 l 2 已知 T 1 1 设 H 是 E 上动点 求 的最小值 并给出此时点 H 的坐标 HOHT 3 过点 T 1 1 且不平行与 y 轴的直线 l1与轨迹 E 有且只有两个不同的交点 求直线 的斜率 k 的取值范围 1 l 21 本小题满分 14 分 解 1 如图 1 设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线 交 OP 于点 Q MPQAOPMPlMOMP 且 因此即 22 2 xyx 2 4 1 1 yxx 另一种情况 见图 2 即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧 MQ 为线段 OP 的垂直平分线 MPQMOQ 又 MPQAOPMOQAOP 因此 M 在轴上 此时 记 M 的坐标为 x 0 x 为分析的变化范围 设为 上任意点 0 M xx中 2 Pa l aR 40 46 由 MOMP 即 得 22 2 xxa 2 1 11 4 xa 故的轨迹方程为 0 M x 0 1yx 综合 和 得 点 M 轨迹 E 的方程为 2 4 1 1 0 1 xx y x 2 由 1 知 轨迹 E 的方程由下面 E1和 E2两部分组成 见图 3 2 1 4 1 1 Eyxx 2 0 1 Eyx 当时 过 作垂直于 的直线 垂足为 交 E1于 1 HE l T 3 1 4 D 41 46 再过 H 作垂直于 的直线 交 l l H 于 因此 抛物线的性质 HOHH 该等号仅当重合 或 H 与 D 重合 3HOHTHHHTTT HT 与 时取得 当时 则 2 HE 153 HOHTBOBT 综合可得 HO HT 的最小值为 3 且此时点 H 的坐标为 3 1 4 3 由图 3 知 直线的斜率不可能为零 1 l k 设 1 1 1 0 lyk xk 故的方程得 1 1 1 1 xyE k 代入 2 44 80 yy kk 因判别式 2 2 1644 482280 kkk 所以与 E 中的 E1有且仅有两个不同的交点 1 l 又由 E2和的方程可知 若与 E2有交点 1 l 1 l 则此交点的坐标为有唯一交点 12 111 0 1 0 2 kk klE kk 且即当时与 从而表三个不同的交点 1 0k k 1 l 因此 直线的取值范围是 1 lk斜率 1 0 2 42 46 4 2010年年文文科科21题题 已知曲线 点是曲线上的点 n 1 2 2 n Cynx 0 0 nnnnn P xyxy n C 1 试写出曲线在点处的切线的方程 并求出与轴的交点的坐标 n C n P n l n ly n Q 2 若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值 试求试点的坐标 0 0 O n l nn PQ n P nn xy 3 设与为两个给定的不同的正整数 与是满足 2 中条件的点的坐标 mk n x n y n P 解析 1 的切线斜率 的方程为 2ynx n l2 nn knx n l2 nnn yynxxx 当 x 0 时 2 nn ynxy 0 n Qy 2 原点 O 到的距离 n l 2 22 41 41 nn n n nxy d ny n x 222 44 n nnnnn y PQxyy n 223 1 41 4816 nn nn nnn nnn yyd PQ nyyy yyny nn 111 4 1 82 16 816 n n ny ny 此时 11 16 4 nn n nyy nyn 2 2 11 24 nn xx nn 11 24 n P nn 3 1 1 1 2 s n n n mx kymsks 43 46 1 11 1 2 s n mk msks n 1 11 44 s n mk msks nn 1 1 11 2 s n mkmsks n 1 1 2 11 s n mks nmk 而 11 11 11 11 mksmkmks mkmkmk mkmks s mk 11 1 21 nn nnn 得证 1 1 10 21 32 1 2 s n ss n s 44 46 5 2009年年文文科科19题题 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在轴上 离心率为 两个焦点分别为和 椭圆x 2 3 1 F 2 F G 上一点到和的距离之和为 12 圆 的圆心为点 1 F 2 F k C02142 22 ykxyx Rk k A 1 求椭圆 G 的方程 2 求的面积 21F FAk 3 问是否存在圆包围椭圆 G 请说明理由 k C 解析 1 设椭圆 G