高考数学（精讲+精练+精析）专题10_2 双曲线试题 理（含解析）.doc

专题10.2 双曲线【三年高考】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A2【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.3【2016高考天津理数】已知双曲线（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D4【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_.【答案】2【解析】是正方形，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，故填：25【2016高考上海理数】双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 【解析】（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线显然由，得因为与双曲线交于两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为6. 【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B7.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )（A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）【答案】A8.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，【答案】D【解析】依题意，因为，由于，所以当时，所以；当时，而，所以，所以.所以当时，；当时，.9.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a0,b0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、 B、 C、 D、【答案】A10.【2014新课标1，理4】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 （ ）. .3 . .【答案】A【解析】化为标准方程为：，则焦点（，0）到渐近线方程为距离为=，故选A.11. 【2014天津，理5】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】依题意得，所以，双曲线的方程为 ，故选A.12.【2014江西，理20】如图，已知双曲线:()的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，(为坐标原点）.（1） 求双曲线的方程；（2） 过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值 .【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大, 故预测2016年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.另外，要深入理解参数的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2017年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1.双曲线的定义：把平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(). 注意：（1）当时，轨迹是直线去掉线段.(2)当时，轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：（1） 焦点在轴上的双曲线的标准方程为；焦点在y轴上的双曲线的标准方程为.给定椭圆，要根据的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上.(2)双曲线中关系为：.【规律方法技巧】1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.2.求双曲线的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，定性-确定它是双曲线；定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设双曲线的方程为，其中异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.4.若已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的标准方程为（）可避免分类讨论.【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲线的离心率等于,其中一条准线方程，则双曲线 的方程是（ ）A . B C D【答案】B2. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点P，切点为T，的中点为M，则_【答案】【考点2】双曲线的几何性质【备考知识梳理】1.双曲线的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点(c,0)(0，c)焦距|F1F2|2c(c2a2+b2)范围|x|a；yRxR；|y|a顶点实轴顶点(a,0)，虚轴顶点(0，b)实轴顶点(0，a)，虚轴顶点(b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e(1，+)，其中c渐近线2.等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，其标准方程为，离心率为，渐近线为.【规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.双曲线的渐近线方程为，可变形为，即，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为).【考点针对训练】1. 【2016年湖北安庆一中高三一模测试】设点、分别是双曲线（,）的右顶点和右焦点,直线交双曲线的一条渐近线于点若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】D. 解得 .故选D. 2. 【2016年河北石家庄高三二模】已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为_.【答案】【考点3】直线与双曲线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为，直线，将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与双曲线有两个交点.当=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当0时，直线与双曲线无公共点.（2）当=0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础2直线ykxb(k0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| |x1x2| |y1y2|.3对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C D【答案】C 2. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点.若为等边三角形，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】根据双曲线的定义，可得，是等边三角形，即，即，又，中，即，解之得，由此可得双曲线的离心率，故答案为：.【应试技巧点拨】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：双曲线的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式离心率的求法双曲线的离心率就是的值，有些试题中可以直接求出的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于或的方程，通过这个方程解出或，利用公式求出，对双曲线来说，对椭圆来说，.3 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双曲线的定义的运用，以简化运算斜率为的直线与双曲线的交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算4.求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数二年模拟1. 【2016届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆：都相切，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【答案】C2. 【2016年江西省九江市三模】过双曲线的左焦点作圆的切线，且点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ )A B C D【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为，依题意可得，则，即.3. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）A B C D【答案】A4. 【2016年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】依题意,抛物线焦点,设,因为,所以,所以,代入得,所以令,得双曲线的渐近线为,即.5.【2016年湖南师大附中高三三模】已知点P为双曲线1(a0，b0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|，G为三角形PF1F2的内心，若SGPF1SGPF2SGF1F2成立， 则的值为（ ）A. B21 C.1 D.1【答案】D6. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】设双曲线的一条渐近线与直线的一个交点的纵坐标为,若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得，所以，选B.7. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线：的实轴的两个端点为、，点为双曲线上除、外的一个动点，若动点满足,则动点的轨迹为（ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线【答案】C【解析】设,实轴的两个顶点, QAPA，可得同理根据QBPB，可得两式相乘可得,点为双曲线M上除A、B外的一个动点，整理得 故选C8. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为 【答案】9【2016届天津市和平区高三三模】设双曲线的半焦距为，原点到直线的距离等于，则的最小值为 【答案】【解析】由题设原点到直线的距离为,即.而（当且仅当取等号）,所以,即,解之得,即的最小值为. 10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知的边在直角坐标平面的轴上，的中点为坐标原点，若，又点在边上，且满足，以、为焦点的双曲线经过、两点（）求及此双曲线的方程；（）若圆心为的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点，求点横坐标取值范围 11.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）A2 B C D4 【答案】D【解析】双曲线的离心率为2，双曲线的渐近线方程为，不妨设，即，则，焦点到渐近线的距离为，即，解得，则焦距为12.【2015届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟】已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是 （ ） A B C D【答案】D【解析】设，则,所以，因此离心率等于，选D13.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（ ）A. B.3 C. D.【答案】A14. 【山东省济南市2015届高三上学期期末考试】已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D15.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：双曲线是黄金双曲线；若，则该双曲线是黄金双曲线；若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，）且，则该双曲线是黄金双曲线；若经过右焦点且，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为 【答案】【解析】对于，则，所以双曲线是黄金双曲线；对于，整理得，解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于，由勾股定理得，整理得由可知所以双曲线是黄金双曲线；对于由于，把代入双曲线方程得，解得，由对称关系知为等腰直角三角形，即，由可知所以双曲线是黄金双曲线拓展试题以及解析1.已知是双曲线的左、右焦点，直线与双曲线两条渐近线的左、右交点分别为，若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【入选理由】本题考查双曲线的方程及其几何性质,直线与双曲线的位置关系,面积公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.2.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（ ）A. B. C. D.