数学必修2---直线与方程典型例题(精)

第 1 页 共 17 页 第三章 直线与方程 3 1 直线的倾斜角与斜率 3 1 1 倾斜角与斜率 知识点归纳知识点归纳 1 直线的倾斜角 2 直线的斜率 3 直线的斜率公式 典型例题典型例题 题型题型 一一 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 例 1 已知直线 的斜率的绝对值等于 则直线的倾斜角为 l3 A 60 B 30 C 60 或 120 D 30 或 150 变式训练变式训练 设直线 过原点 其倾斜角为 将直线 绕原点沿逆时针方向旋转 45 得到直线l l 则的倾斜角为 1 l 1 l A B C 45 135 135 D 当 0 135 时为 当 135 180 时 为45 135 题型题型 二二 求直线的斜率求直线的斜率 例 2 如图所示菱形 ABCD 中 BAD 60 求菱形 ABCD 各边和两条 对角线所在直线的倾斜角和斜率 变式训练变式训练 已知过两点 的直线 l 的倾斜角为 45 求实 22 2 3 A mm 2 3 2 Bmmm 数的值 m 题型题型 三三 直线的倾斜角与斜率的关系直线的倾斜角与斜率的关系 例 3 右图中的直线 l1 l2 l3的斜率分别为 k1 k2 k3 则 A k1 k2 k3B k3 k1 k2 C k3 k2 k1D k1 k3 k2 拓展拓展 一一 三点共线问题三点共线问题 例 4 已知三点 A a 2 B 3 7 C 2 9a 在一条直线上 求实数 a 的值 第 2 页 共 17 页 变式训练变式训练 若三点 P 2 3 Q 3 R 4 共线 那么下列成立的是 ab A B C D 4 5ab 1ba 23ab 23ab 拓展拓展 二二 与参数有关问题与参数有关问题 例 5 已知两点 A 2 3 B 3 0 过点 P 1 2 的直线 与线段 AB 始终有公共点 求直线l 的斜率的取值范围 lk 变式训练 变式训练 已知两点 直线 过定点且与线段 AB 相交 求直线 的斜率 2 3 3 2 AB l 1 1 Pl 的取值范围 k 拓展拓展 三三 利用斜率求最值利用斜率求最值 例 6 已知实数 满足当 2 3 时 求的最大值与最小值 xy28 xy x y x 变式训练变式训练 利用斜率公式证明不等式 且 0 ama ab bmb 0 m 3 1 2 两条直线平行与垂直的判定 知识点归纳知识点归纳 1 直线平行的判定 第 3 页 共 17 页 2 两条直线垂直的判定 注意垂直与 x 轴和 y 轴的两直线 典型例题典型例题 题型题型 一一 两条直线平行关系两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点 M 3 0 N 15 6 经过点 R 2 S 0 试 1 l 2 l 3 2 5 2 判断与是否平行 1 l 2 l 变式训练变式训练 经过点和的直线平行于斜率等于 1 的直线 则的值是 2 Pm 4 Q mm A 4 B 1 C 1 或 3 D 1 或 4 题型题型 二二 两条直线垂直关系两条直线垂直关系 例 2 已知的顶点 其垂心为 求顶点的坐标 ABC 2 1 6 3 BC 3 2 H A 变式训练变式训练 1 的倾斜角为 45 经过点 P 2 1 Q 3 6 问与是否垂直 1 l 2 l 1 l 2 l 2 直线的斜率是方程的两根 则的位置关系是 12 l l 2 310 xx 12 ll与 题型题型 三三 根据直线的位置关系求参数根据直线的位置关系求参数 例 3 已知直线经过点 A 3 a B a 2 3 直线经过点 C 2 3 D 1 a 2 1 l 2 l 1 如果 则求 a 的值 2 如果 则求 a 的值 1 l 2 l 1 l 2 l 题型题型 四四 直线平行和垂直的判定综合运用直线平行和垂直的判定综合运用 第 4 页 共 17 页 例 4 四边形 ABCD 的顶点为 试判断四 2 22 2 A 2 2 B 0 22 2 C 4 2 D 边形 ABCD 的形状 变式训练变式训练 已知 A 1 1 B 2 2 C 3 3 求点 D 使直线 CD AB 且 CB AD 探点探点 一一 数形结合思想数形结合思想 例 5 已知过原点 O 的一条直线与函数 y log8x 的图象交于 A B 两点 分别过点 A B 作 y 轴的平行线与函数 y log2x 的图象交于 C D 两点 1 证明 点 C D 和原点 O 在同一直线上 2 当 BC 平行于 x 轴时 求点 A 的 坐标 探点探点 二二 分类讨论思想分类讨论思想 例 6 的顶点 若为直角三角形 求 m 的值 ABC 5 1 1 1 2 ABCm ABC 第 5 页 共 17 页 3 2 直线的方程 3 2 1 直线的点斜式方程 知识点归纳知识点归纳 1 直线的点斜式方程 2 直线的斜截式方程 典型例题典型例题 题型题型 一一 求直线的方程求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程 1 经过点 斜率是 4 2 经过点 2 5 A 3 1 B 倾斜角是 30 例 2 倾斜角是 在轴上的截距是 3 的直线方程是 135 y 变式训练变式训练 1 已知直线 l 过点 它的倾斜角是直线的两倍 则直线 l 的方程为 3 4 P1yx 2 已知直线 在轴上的截距为 3 且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 求直线ly 的方程 l 第 6 页 共 17 页 3 将直线绕它上面一点 1 沿逆时针方向旋转 15 得到的直线方程是 31yx 3 题型题型 二二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线的方程为的方程为 直线 与平行且与 1 l 2 23 yxl 42yx l 1 l 在轴上的截距相同 求直线 的方程 2 lyl 探究探究 一一 直线恒过定点或者象限问题直线恒过定点或者象限问题 例 4 已知直线 31ykxk 1 求直线恒经过的定点 2 当时 直线上的点都在轴上方 求实数的取值范围 33x xk 探究探究 二二 直线平移直线平移 例 5 已知直线 l y 2x 3 将直线 l 向上平移 2 个单位长度 再向右平移 4 个单位后得到 的直线方程为 第 7 页 共 17 页 3 2 2 直线的两点式方程 知识点归纳知识点归纳 1 直线的两点式方程 2 直线的截距式方程 典型例题典型例题 题型题型 一一 求直线方程求直线方程 例 1 已知 顶点为 求过点且将 面积平分的直线方ABC 2 8 4 0 6 0 ABC BABC 程 变式训练变式训练 1 已知点 A 1 2 B 3 1 则线段 AB 的垂直平分线的方程是 A B C D 425xy 425xy 25xy 25xy 2 已知 则过点的直线 的方程是 1122 234 234xyxy 1122 A x yB xyl A B C D 234xy 230 xy 324xy 320 xy 例 2 求过点 并且在两轴上的截距相等的直线方程 3 2 P 变式训练变式训练 已知直线 l 过点 3 1 且与两轴围成一个等腰直角三角形 则 l 的方程为 题型题型 二二 直线方程的应用直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 如果超过规定 则需要购买 行李票 行李费用 y 元 是行李重量 x 千克 的一次函数 其图象如图所示 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 并说明自变量 x 的取值范围 2 如果某旅客携带了 75 千克的行李 则应当购买多少元行李票 o y x 6 10 6080 第 8 页 共 17 页 探究探究 一一 直线与坐标轴围成的周长及面积直线与坐标轴围成的周长及面积 例 4 已知直线 过点 且与两坐标轴构成面积为 4 的三角形 求直线 的方程 l 2 3 l 探究探究 二二 有关光的反射有关光的反射 例 5 光线从点 A 3 4 发出 经过 x 轴反射 再经过 y 轴反射 光线经过点 B 2 6 求射入 y 轴后的反射线的方程 变式训练变式训练 已知点 点 P 是 x 轴上的点 求当最小时的点 P 的 3 8 A 2 2 BAPPB 坐标 第 9 页 共 17 页 3 2 3 直线的一般式方程 知识点归纳知识点归纳 1 直线的一般式 2 直线平行与垂直的条件 典型例题典型例题 题型题型 一一 灵活选用不同形式求直线方程灵活选用不同形式求直线方程 例 1 根据下列各条件写出直线的方程 并且化成一般式 1 斜率是 经过点 A 8 2 2 经过点 B 4 2 平行于轴 1 2 x 3 在轴和轴上的截距分别是 3 4 经过两点 3 2 xy 3 2 1 P 5 4 2 P 题型题型 二二 直线不同形式之间的转化直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程 并把它化成一般式 斜截式 截距式 过点 5 6 4 8 AB 题型题型 三三 直线一般式方程的性质直线一般式方程的性质 例 3 直线方程的系数 A B C 分别满足什么关系时 这条直线分别有以下0AxByC 性质 1 与两条坐标轴都相交 2 只与 x 轴相交 3 只与 y 轴相交 4 是 x 轴 所在直线 5 是 y 轴所在直线 第 10 页 共 17 页 变式训练变式训练 已知直线 5530laxya 1 求证 不论为何值 直线 总经过第一象限 2 为使直线不经过第二象限 al 求的取值范围 a 题型题型 四四 运用直线平行垂直求参数运用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线 问 m 为何值时 1 l220 xmym 2 l10mxym 1 2 12 ll 12 ll 变式训练变式训练 1 求经过点且与直线平行的直线方程 3 2 A420 xy 2 求经过点且与直线垂直的直线方程 3 0 B250 xy 题型题型 五五 综合运用综合运用 例 5 已知直线 求 m 的值 使得 1 60lxmy 2 2 320lmxym 1 l1和 l2相交 2 l1 l2 3 l1 l2 4 l1和 l2重合 第 11 页 共 17 页 3 3 直线的交点坐标与距离公式 3 3 1 两直线的交点坐标 3 3 2 两点间的距离 知识点归纳知识点归纳 1 两条直线的焦点坐标 2 两点间的距离公式 典型例题典型例题 题型题型 一一 求直线的交点坐标求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系 如果相交 求出交点坐标 1 直线 l1 2x 3y 10 0 l2 3x 4y 2 0 2 直线 l1 l2 1nxyn 2nyxn 题型题型 二二 三条直线交同一点三条直线交同一点 例 2 若三条直线相交于一点 则 k 的值等于2380 1020 xyxykxy 变式训练变式训练 1 设三条直线 交于一点 求 k 的值21 23 345xyxkykxy 2 试求直线关于直线 对称的直线 l 的方程 1 l20 xy 2 l330 xy 第 12 页 共 17 页 题型题型 三三 求过交点的直线问题求过交点的直线问题 例 3 求经过两条直线和的交点 且平行于直线的280 xy 210 xy 4370 xy 直线方程 变式训练变式训练 已知直线 l1 2x 3y 10 0 l2 3x 4y 2 0 求经过 l1和 l2的交点 且与直线 l3 3x 2y 4 0 垂直的直线 l 的方程 题型题型 四四 两点间距离公式应用两点间距离公式应用 例 4 已知点且 则 a 的值为 2 1 3 AB a 5AB 变式训练变式训练 在直线上求一点 使它到点的距离为 并求直线的方程 20 xy P 5 8 MPM 题型题型 五五 三角形的判定三角形的判定 例 5 已知点 判断的类型 1 2 3 4 5 0 ABCABC 第 13 页 共 17 页 探究探究 一一 直线恒过定点问题直线恒过定点问题 例 6 已知直线 求证 无论 a 为何值时直线总经过第一象限 2 31 1ayax 变式训练变式训练 若直线 l y kx与直线 2x 3y 6 0 的交点位于第一象限 求直线 l 的倾3 斜角的取值范围 探究探究 二二 利用对称性求最值问题 和最小 差最大 利用对称性求最值问题 和最小 差最大 例 7 直线 2x y 4 0 上有一点 P 求它与两定点 A 4 1 B 3 4 的距离之差的最大 值 变式训练变式训练 已知 点为直线上的动点 求的最 1 0 1 0 MN P210 xy 22 PMPN 小值 及取最小值时点的坐标 P 第 14 页 共 17 页 3 3 3 点到直线的距离 3 3 4 两条平行直线间的距离 知识点归纳知识点归纳 1 点到直线的距离 2 两条平行间直线的距离 拓展 点关于点 直线对称点的求法 典型例题典型例题 题型题型 一一 利用点到直线距离求参数利用点到直线距离求参数 例 1 已知点到直线的距离为 1 则 a 2 0 aa 30l xy A B C D 2221 21 题型题型 二二 利用点到直线距离求直线的方程利用点到直线距离求直线的方程 例 2 求过直线和的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程 1 110 33 lyx 2 3 0lxy 变式训练变式训练 直线 l 过点 P 1 2 且 M 2 3 N 4 5 到 的距离相等 则直线 的方程是ll 第 15 页 共 17 页 题型题型 三三 利用平行直线间的距离求参数利用平行直线间的距离求参数 例 3 若两平行直线和之间的距离为