高中数学恒成立与存在性问题(难)

高中恒成立问题总结高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法 函数性质法 主参换位法 分 离参数法 数形结合法 核心思想 1 恒成立问题的转化 恒成立 af x maxaf x minaf xaf x 恒成立 2 能成立问题的转化 能成立 af x minaf x maxaf xaf x 能成立 3 恰成立问题的转化 若在 D 上恰成立在 D 上的最小值 AxfDx xfAxf min 若在 D 上恰成立 在 D 上的最大值 Dx Bxf xfBxf max 4 设函数 对任意的 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf minmin 设函数 对任意的 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf maxmax 设函数 存在 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf minmax 设函数 存在 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf maxmin 5 若不等式在区间 D 上恒成立 则等价于在区间 D 上函数和图象 f xg x yf x 在函数图象上方 yg x 若不等式在区间 D 上恒成立 则等价于在区间 D 上函数和图象 f xg x yf x 在函数图象下方 yg x 6 常见二次函数 若二次函数 或 在 R 上恒成立 则有 或 2 0 0f xaxbxc a 0 0 0 a 0 0 a 若二次函数 或 在指定区间上恒成立 可以利用 2 0 0f xaxbxc a 0 韦达定理以及根的分布等知识求解 一一 主参换位法主参换位法 例例 1 对于满足40 p的一切实数 不等式34 2 pxpxx恒成立 试求x的取 值范围 二二 二次不等式恒成立问题二次不等式恒成立问题 例例 2 已知关于x的不等式03 1 4 54 22 xmxmm对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 例例 3 已知函数 若对于任一实数 与 2 22 41 f xmxm xg xmx x f x 的值至少有一个为正数 则实数的取值范围是 g xm A 0 2 B 0 8 C 2 8 D 0 例例 4 已知函数 在恒有 求实数的取值范围 2 22f xxkx 1x f xk k 三 分离参数法三 分离参数法 形如 af x 或 af x 型不等式 是恒成立问题中最基本的类型 它的理论 基础是 xfa 在Dx 上恒成立 则 max xfa Dx xfa 在Dx 上恒 成立 则 min xfa Dx 许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型 例例 5 5 当时 不等式恒成立 则的取值范围是 1 2 x 2 40 xmx m 例例 6 已知二次函数xaxxf 2 若 1 0 x时 恒有1 xf 求a的取值范围 例例 7 设函数 f x mx2 mx 1 m 0 若对于 x 1 3 f x m 5 恒成立 求 m 的取 值范围 例例 8 若不等式 x2 ax 2 0 在区间 1 5 上有解 则 a 的取值范围是 A B 23 5 23 5 1 C 1 D 23 5 四 数形结合四 数形结合 对于型问题 利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处 f xg x 理 例例 9 若对任意 不等式恒成立 则实数的取值范围是xR xax a A B C D 1a 1a 1a 1a 三三 绝对值不等式恒成立问题绝对值不等式恒成立问题 例例 10 对于任意实数x 不等式axx 21恒成立 求实数a的取值范围 例例 11 若对任意 不等式恒成立 则实数的取值范围是xR xax a A B C D 1a 1a 1a 1a 四四 含对数含对数 指数不等式恒成立问题指数不等式恒成立问题 例例 12 当 2 1 0 x时 不等式xx a log 2 恒成立 求a的取值范围