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文档简介

立体几何中的向量方法 距离问题 一 求点到平面的距离 一般方法 利用定义先作出过这个点到平面的垂线段 再计算这个垂线段的长度 还可以用等积法求距离 向量法求点到平面的距离 其中为斜向量 为法向量 二 直线到平面的距离 其中为斜向量 为法向量 l 三 平面到平面的距离 四 异面直线的距离 注意 是与都垂直的向量 点到平面的距离 直线到平面的距离 平面到平面的距离 异面直线的距离 四种距离的统一向量形式 例题 1 求B1到面A1BE的距离 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求下列问题 例题 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求下列问题 2 求D1C到面A1BE的距离 例题 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求下列问题 3 求面A1DB与面D1CB1的距离 例题 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求下列问题 4 求异面直线D1B与A1E的距离 F E B1 C1 D1 D C A 练习1 已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是B1C1和C1D1的中点 求点A1到平面DBEF的距离 B x y z A1 练习2 已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离 B1 C1 D1 D C A B x y z A1 练习3 已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 求直线DA1和AC间的距离 B1 C1 D1 D C A B x y z A1 小结 利用法向量来解决上述立体几何题目 最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置 完全依靠计算就可以解决问题 但是也有局限性 用代数推理解立体几何题目 关键就是得建立空间直角坐标系 把向量通过坐标形式表示出来 所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如 正 长 方体 直棱柱 正棱锥等 练习4 如图在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC 1 ACB 900 AA1 求B1到平面A1BC的距离 x y z 练习5 如图在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC AB 1 AA1 求B1到平面A1BC的距离 B1 A1 B C1 A C x y z M 练习6 已知正方形ABCD的边长为4 CG 平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离 G B D A C E F x y z S A B C N M O 练习7 在三棱锥S ABC中 ABC是边长为4的正三角形 平面SAC垂直平面ABC SA SC M N分别为AB SB
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