高三数列大题放缩法的应用

第 1 页 共 34 页 2015 年年 10 月月 31 日日 nksage 的高中数学组卷的高中数学组卷 一 解答题 共一 解答题 共 21 小题 小题 1 2014 浙江 已知数列 an 和 bn 满足 a1a2a3 an n N 若 an 为等比 数列 且 a1 2 b3 6 b2 求 an和 bn 设 cn n N 记数列 cn 的前 n 项和为 Sn i 求 Sn ii 求正整数 k 使得对任意 n N 均有 Sk Sn 2 2015 广东 数列 an 满足 a1 2a2 nan 4 n N 1 求 a3的值 2 求数列 an 的前 n 项和 Tn 3 令 b1 a1 bn 1 an n 2 证明 数列 bn 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2 2lnn 3 2013 广东 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 1 n N 1 求 a2的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 4 2014 广东 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn满足 Sn2 n2 n 3 Sn 3 n2 n 0 n N 1 求 a1的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 5 2013 广东 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 4Sn an 12 4n 1 n N 且 a2 a5 a14构成等比数列 1 证明 a2 第 2 页 共 34 页 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 6 2012 广东 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 2Sn an 1 2n 1 1 n N 且 a1 a2 5 a3成等差数列 1 求 a1的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 7 2015 重庆 在数列 an 中 a1 3 an 1an an 1 an2 0 n N 若 0 2 求数列 an 的通项公式 若 k0 N k0 2 1 证明 2 2 8 2014 天津 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数 设集合 M 0 1 2 q 1 集合 A x x x1 x2q xnqn 1 xi M i 1 2 n 当 q 2 n 3 时 用列举法表示集合 A 设 s t A s a1 a2q anqn 1 t b1 b2q bnqn 1 其中 ai bi M i 1 2 n 证明 若 an bn 则 s t 9 2012 重庆 设数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn 1 a2Sn a1 其中 a2 0 求证 an 是首项为 1 的等比数列 若 a2 1 求证 并给出等号成立的充要条件 10 2013 秋 梁子湖区校级月考 已知函数 I 若 x 0 时 f x 0 求 的最小值 II 设数列 an 的通项 an 1 11 2011 广东 设 b 0 数列 an 满足 a1 b an n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n an 1 第 3 页 共 34 页 12 2011 天津 已知数列 an 与 bn 满足 bn 1an bnan 1 2 n 1 bn n N 且 a1 2 求 a2 a3的值 设 cn a2n 1 a2n 1 n N 证明 cn 是等比数列 设 Sn为 an 的前 n 项和 证明 n n N 13 2011 重庆 设实数数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn 1 an 1Sn n N 若 a1 S2 2a2成等比数列 求 S2和 a3 求证 对 k 3 有 0 ak 14 2011 湖南 已知函数 f x x3 g x x 求函数 h x f x g x 的零点个数 并说明理由 设数列 an n N 满足 a1 a a 0 f an 1 g an 证明 存在常数 M 使 得对于任意的 n N 都有 an M 15 2011 浙江 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1 a1 R 且 成等 比数列 求数列 an 的通项公式 对 n N 试比较与的大小 16 2011 浙江 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1为 a a R 设数列的前 n 项和 为 Sn 且 成等比数列 求数列 an 的通项公式及 Sn 记 An Bn 当 n 2 时 试比较 An与 Bn的 大小 第 4 页 共 34 页 17 2009 江西 各项均为正数的数列 an a1 a a2 b 且对满足 m n p q 的正整数 m n p q 都有 1 当时 求通项 an 2 证明 对任意 a 存在与 a 有关的常数 使得对于每个正整数 n 都有 18 2008 安徽 设数列 an 满足 a1 0 an 1 can3 1 c n N 其中 c 为实数 1 证明 an 0 1 对任意 n N 成立的充分必要条件是 c 0 1 2 设 证明 an 1 3c n 1 n N 3 设 证明 19 2008 江西 数列 an 为等差数列 an为正整数 其前 n 项和为 Sn 数列 bn 为等比 数列 且 a1 3 b1 1 数列是公比为 64 的等比数列 b2S2 64 1 求 an bn 2 求证 20 2006 上海 已知有穷数列 an 共有 2k 项 整数 k 2 首项 a1 2 设该数列的前 n 项和为 Sn 且 an 1 a 1 Sn 2 n 1 2 2k 1 其中常数 a 1 1 求证 数列 an 是等比数列 2 若 a 数列 bn 满足 bn n 1 2 2k 求数 列 bn 的通项公式 3 若 2 中的数列 bn 满足不等式 b1 b2 b2k 1 b2k 4 求 k 的值 21 2002 北京 数列 xn 由下列条件确定 x1 a 0 xn 1 n N 证明 对 n 2 总有 xn 证明 对 n 2 总有 xn xn 1 若数列 xn 的极限存在 且大于零 求xn的值 第 5 页 共 34 页 2015 年年 10 月月 31 日日 nksage 的高中数学组卷的高中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 21 小题 小题 1 2014 浙江 已知数列 an 和 bn 满足 a1a2a3 an n N 若 an 为等比 数列 且 a1 2 b3 6 b2 求 an和 bn 设 cn n N 记数列 cn 的前 n 项和为 Sn i 求 Sn ii 求正整数 k 使得对任意 n N 均有 Sk Sn 考点 数列与不等式的综合 数列的求和 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 先利用前 n 项积与前 n 1 项积的关系 得到等比数列 an 的第三项的 值 结合首项的值 求出通项 an 然后现利用条件求出通项 bn i 利用数列特征进行分组求和 一组用等比数列求和公式 另一组用裂 项法求和 得出本小题结论 ii 本小题可以采用猜想的方法 得到结论 再 加以证明 解答 解 a1a2a3 an n N 当 n 2 n N 时 由 知 令 n 3 则有 b3 6 b2 a3 8 an 为等比数列 且 a1 2 an 的公比为 q 则 4 由题意知 an 0 q 0 q 2 n N 又由 a1a2a3 an n N 得 第 6 页 共 34 页 bn n n 1 n N i cn Sn c1 c2 c3 cn ii 因为 c1 0 c2 0 c3 0 c4 0 当 n 5 时 而 0 得 所以 当 n 5 时 cn 0 综上 对任意 n N 恒有 S4 Sn 故 k 4 点评 本题考查了等比数列通项公式 求和公式 还考查了分组求和法 裂项求和法 和猜想证明的思想 证明可以用二项式定理 还可以用数学归纳法 本题计算 量较大 思维层次高 要求学生有较高的分析问题解决问题的能力 本题属于 难题 2 2015 广东 数列 an 满足 a1 2a2 nan 4 n N 1 求 a3的值 2 求数列 an 的前 n 项和 Tn 3 令 b1 a1 bn 1 an n 2 证明 数列 bn 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2 2lnn 考点 数列与不等式的综合 数列的求和 菁优网版权所有 专题 创新题型 点列 递归数列与数学归纳法 第 7 页 共 34 页 分析 1 利用数列的递推关系即可求 a3的值 2 利用作差法求出数列 an 的通项公式 利用等比数列的前 n 项和公式即可 求数列 an 的前 n 项和 Tn 3 利用构造法 结合裂项法进行求解即可证明不等式 解答 解 1 a1 2a2 nan 4 n N a1 4 3 1 1 2a2 4 2 解得 a2 a1 2a2 nan 4 n N a1 2a2 n 1 an 1 4 n N 两式相减得 nan 4 4 n 2 则 an n 2 当 n 1 时 a1 1 也满足 an n 1 则 a3 2 an n 1 数列 an 是公比 q 则数列 an 的前 n 项和 Tn 2 21 n 3 bn 1 an b1 a1 b2 1 a2 b3 1 a3 bn 1 an Sn b1 b2 bn 1 a1 1 a2 1 an 1 a1 a2 an 1 Tn 第 8 页 共 34 页 1 2 21 n 2 1 设 f x lnx 1 x 1 则 f x 即 f x 在 1 上为增函数 f 1 0 即 f x 0 k 2 且 k N 时 f ln 1 0 即 ln ln 即 lnn 2 1 2 2lnn 即 Sn 2 1 lnn 2 2lnn 点评 本题主要考查数列通项公式以及前 n 项和的计算 以及数列和不等式的综合 利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键 考查学生的计算能力 综 合性较强 难度较大 3 2013 广东 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 1 n N 1 求 a2的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 考点 数列与不等式的综合 等差数列与等比数列的综合 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 1 利用已知 a1 1 n N 令 n 1 即可求出 2 利用 an Sn Sn 1 n 2 即可得到 nan 1 n 1 an n n 1 可化为 再利用等差数列的通项公式即可得出 3 利用 2 通过放缩法 n 2 即可证 明 第 9 页 共 34 页 解答 解 1 当 n 1 时 解得 a2 4 2 当 n 2 时 得 整理得 nan 1 n 1 an n n 1 即 当 n 1 时 所以数列 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 所以 即 所以数列 an 的通项公式为 n N 3 因为 n 2 所以 当 n 1 2 时 也成立 点评 熟练掌握等差数列的定义及通项公式 通项与前 n 项和的关系 an Sn Sn 1 n 2 裂项求和及其放缩法等是解题的关键 4 2014 广东 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn满足 Sn2 n2 n 3 Sn 3 n2 n 0 n N 1 求 a1的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 考点 数列与不等式的综合 数列递推式 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 点列 递归数列与数学归纳法 分析 1 本题可以用 n 1 代入题中条件 利用 S1 a1求出 a1的值 第 10 页 共 34 页 2 利用 an与 Sn的关系 将条件转化为 an的方程 从而求出 an 3 利用放缩法 将所求的每一个因式进行裂项求和 即可得到本题结论 解答 解 1 令 n 1 得 即 S1 3 S1 2 0 S1 0 S1 2 即 a1 2 2 由得 an 0 n N Sn 0 当 n 2 时 又 a1 2 2 1 3 由 2 可知 n N 当 n 1 时 显然有 当 n 2 时 所以 对一切正整数 n 有 点评 本题考查了数列的通项与前 n 项和的关系 裂项求和法 还用到了放缩法 计算量较大 有一定的思维难度 属于难题 第 11 页 共 34 页 5 2013 广东 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 4Sn an 12 4n 1 n N 且 a2 a5 a14构成等比数列 1 证明 a2 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 考点 数列与不等式的综合 等差数列与等比数列的综合 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 1 对于 令 n 1 即可证明 2 利用 且 n 2 两式相减即可求出通项公式 3 由 2 可得 利 用 裂项求和 即可证明 解答 解 1 当 n 1 时 2 当 n 2 时 满足 且 an 0 an 1 an 2 当 n 2 时 an 是公差 d 2 的等差数列 a2 a5 a14构成等比数列 解得 a2 3 由 1 可知 a1 1 a2 a1 3 1 2 an 是首项 a1 1 公差 d 2 的等差数列 数列 an 的通项公式 an 2n 1 3 由 2 可得式 第 12 页 共 34 页 点评 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式 裂项求和 通项与前 n 项和的关系 an Sn Sn 1 n 2 是解题的关键 6 2012 广东 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 2Sn an 1 2n 1 1 n N 且 a1 a2 5 a3成等差数列 1 求 a1的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 考点 数列与不等式的综合 等差数列的性质 数列递推式 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 1 在 2Sn an 1 2n 1 1 中 令分别令 n 1 2 可求得 a2 2a1 3 a3 6a1 13 又 a1 a2 5 a3成等差数列 从而可求得 a1 2 由 2Sn an 1 2n 1 1 得 an 2 3an 1 2n 1 an 1 3an 2n 由 可知 an 2n 为首项是 3 3 为公比 的等比数列 从而可求 an 3 法一 由 an 3n 2n 3 2 3n 1 3n 2 2 3n 3 22 2n 1 3n 1可得 累加后利用等比数列的求和公式可证得结论 法二 由 an 1 3n 1 2n 1 2 3n 2n 1 2an可得 于是当 n 2 时 累乘得 从而可证得 解答 解 1 在 2Sn an 1 2n 1 1 中 令 n 1 得 2S1 a2 22 1 令 n 2 得 2S2 a3 23 1 第 13 页 共 34 页 解得 a2 2a1 3 a3 6a1 13 又 2 a2 5 a1 a3 解得 a1 1 2 由 2Sn an 1 2n 1 1 得 an 2 3an 1 2n 1 又 a1 1 a2 5 也满足 a2 3a1 21 所以 an 1 3an 2n对 n N 成立 an 1 2n 1 3 an 2n 又 a1 1 a1 21 3 an 2n 3n an 3n 2n 3 法一 an 3n 2n 3 2 3n 1 3n 2 2 3n 3 22 2n 1 3n 1 1 法二 an 1 3n 1 2n 1 2 3n 2n 1 2an 当 n 2 时 累乘得 1 点评 本题考查数列与不等式的综合 考查数列递推式 着重考查等比数列的求和 着 重考查放缩法的应用 综合性强 运算量大 属于难题 7 2015 重庆 在数列 an 中 a1 3 an 1an an 1 an2 0 n N 若 0 2 求数列 an 的通项公式 若 k0 N k0 2 1 证明 2 2 第 14 页 共 34 页 考点 数列与不等式的综合 菁优网版权所有 专题 创新题型 等差数列与等比数列 不等式的解法及应用 分析 把 0 2 代入数列递推式 得到 n N 分析 an 0 后可得 an 1 2an n N 即 an 是一个公比 q 2 的等比数列 从而可得数列的 通项公式 把代入数列递推式 整理后可得 n N 进一步得到 对 n 1 2 k0 求和后放缩可得不等式左边 结合 进一步 利用放缩法证明不等式右边 解答 解 由 0 2 有 n N 若存在某个 n0 N 使得 则由上述递推公式易得 重复上述 过程可得 a1 0 此与 a1 3 矛盾 对任意 n N an 0 从而 an 1 2an n N 即 an 是一个公比 q 2 的等比数列 故 证明 由 数列 an 的递推关系式变为 变形为 n N 由上式及 a1 3 0 归纳可得 3 a1 a2 an an 1 0 对 n 1 2 k0求和得 第 15 页 共 34 页 另一方面 由上已证的不等式知 得 2 综上 2 2 点评 本题考查了数列递推式 考查了等比关系的确定 训练了放缩法证明数列不等式 属难度较大的题目 8 2014 天津 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数 设集合 M 0 1 2 q 1 集合 A x x x1 x2q xnqn 1 xi M i 1 2 n 当 q 2 n 3 时 用列举法表示集合 A 设 s t A s a1 a2q anqn 1 t b1 b2q bnqn 1 其中 ai bi M i 1 2 n 证明 若 an bn 则 s t 考点 数列与不等式的综合 数列的求和 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 点列 递归数列与数学归纳法 分析 当 q 2 n 3 时 M 0 1 A x xi M i 1 2 3 即可得到集合 A 由于 ai bi M i 1 2 n an bn 可得 an bn 1 由题意可得 s t a1 b1 a2 b2 q 1 q qn 2 qn 1 再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 解答 解 当 q 2 n 3 时 M 0 1 A x xi M i 1 2 3 可得 A 0 1 2 3 4 5 6 7 第 16 页 共 34 页 证明 由设 s t A s a1 a2q anqn 1 t b1 b2q bnqn 1 其中 ai bi M i 1 2 n an bn an bn 1 可得 s t a1 b1 a2 b2 q 1 q qn 2 qn 1 0 s t 点评 本题考查了考查了集合的运算及其性质 等比数列的前 n 项和公式 不等式的 基本性质等基础知识与基本技能方法 考查了推理能力和计算能力 属于难 题 9 2012 重庆 设数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn 1 a2Sn a1 其中 a2 0 求证 an 是首项为 1 的等比数列 若 a2 1 求证 并给出等号成立的充要条件 考点 数列与不等式的综合 等比数列的前 n 项和 等比关系的确定 数列与函数的 综合 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分析 根据 Sn 1 a2Sn a1 再写一式 两式相减 即可证得 an 是首项为 1 的等 比数列 当 n 1 或 2 时 等号成立 设 n 3 a2 1 且 a2 0 由 I 知 a1 1 所以要证的不等式可化为 n 3 即证 n 2 a2 1 时 等号成立 再证明 a2 1 且 a2 1 时 0 即可证得结论 解答 证明 Sn 1 a2Sn a1 Sn 2 a2Sn 1 a1 可得 an 2 a2an 1 第 17 页 共 34 页 a2 0 Sn 1 a2Sn a1 S2 a2S1 a1 a2 a2a1 a2 0 a1 1 an 是首项为 1 的等比数列 当 n 1 或 2 时 等号成立 设 n 3 a2 1 且 a2 0 由 知 a1 1 所以要证的不等式可 化为 n 3 即证 n 2 a2 1 时 等号成立 当 1 a2 1 时 与同为负 当 a2 1 时 与同为正 a2 1 且 a2 1 时 0 即 上面不等式 n 分别取 1 2 n 累加可得 综上 等号成立的充要条件是 n 1 或 2 或 a2 1 点评 本题考查等比数列的证明 考查不等式的证明 考查叠加法的运用 需要一定 的基本功 属于中档题 10 2013 秋 梁子湖区校级月考 已知函数 I 若 x 0 时 f x 0 求 的最小值 II 设数列 an 的通项 an 1 考点 数列与不等式的综合 利用导数求闭区间上函数的最值 数列的求和 菁优网版权所有 专题 压轴题 转化思想 导数的综合应用 等差数列与等比数列 分析 I 由于已知函数的最大值是 0 故可先求出函数的导数 研究其单调性 确 定出函数的最大值 利用最大值小于等于 0 求出参数 的取值范围 即可求得其 第 18 页 共 34 页 最小值 II 根据 I 的证明 可取 由于 x 0 时 f x 0 得出 考察发现 若取 x 则可得出 以此为依据 利用放缩法 即可得到结论 解答 解 I 由已知 f 0 0 f x f 0 0 欲使 x 0 时 f x 0 恒成立 则 f x 在 0 上必为减函数 即在 0 上 f x 0 恒成立 当 0 时 f x 0 在 0 上恒成立 为增函数 故不合题意 若 0 时 由 f x 0 解得 x 则当 0 x f x 0 所以当 0 x 时 f x 0 此时不合题意 若 则当 x 0 时 f x 0 恒成立 此时 f x 在 0 上必为减 函数 所以当 x 0 时 f x 0 恒成立 综上 符合题意的 的取值范围是 即 的最小值为 II 令 由 I 知 当 x 0 时 f x 0 即 取 x 则 于是 a2n an 第 19 页 共 34 页 ln2n lnn ln2 所以 点评 本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法 解题的关键是充 分利用已有的结论再结合放缩法 本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想 有一定的难度 11 2011 广东 设 b 0 数列 an 满足 a1 b an n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n an 1 考点 数列与不等式的综合 数列递推式 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 1 首先要根据条件变形递推公式得 然后通过换元的方 法分析得数列是等比数列 其中 从而可以求得数列 bn 的通项公式 进而即可求得数列 an 的通项公式 2 首先要利用基本不等式获得 b2n b2n 1 2 bn 1 2n 1 bn 1 2n 1 b 22n 1 22n n 2n 1 bn 然后对数列 an 的 通项公式变形然后利用所获得的不等式放缩化简即可获得问题的解答 解答 解 1 由题意知 设 则 设 则 当 b 2 时 第 20 页 共 34 页 为首项是 公差是 的等差数列 an 2 当 b 2 时 令 是等比数列 又 综上可知 当 b 2 时 an 2 当 b 2 时 2 当 b 2 时 由 1 知命题显然成立 当 b 2 时 将以上 n 个式子相加得 b2n b2n 1 2 bn 1 2n 1 bn 1 2n 1 b 22n 1 22n n 2n 1 bn 第 21 页 共 34 页 综上可知 点评 本题考查的是数列的递推公式问题 在解答的过程当中充分体现了转化的思想 换元的思想 基本不等式的利用以及放缩法 值得同学们体会和反思 12 2011 天津 已知数列 an 与 bn 满足 bn 1an bnan 1 2 n 1 bn n N 且 a1 2 求 a2 a3的值 设 cn a2n 1 a2n 1 n N 证明 cn 是等比数列 设 Sn为 an 的前 n 项和 证明 n n N 考点 数列与不等式的综合 等比关系的确定 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 推出 bn的表达式 分别当 n 1 时 求出 a2 当 n 2 时 解出 a3 8 设 cn a2n 1 a2n 1 n N 利用等比数列的定义 证明 cn 是等比数列 求出 S2n a2n S2n 1 a2n 1 求出 的表达式 然后求出 的表达式 利用放缩法证明结果 解答 解 由 bn n N 可得 bn 第 22 页 共 34 页 又 bn 1an bnan 1 2 n 1 当 n 1 时 a1 2a2 1 可得由 a1 2 a2 当 n 2 时 2a2 a3 5 可得 a3 8 证明 对任意 n N a2n 1 2a2n 22n 1 1 2a2n a2n 1 22n 1 得 a2n 1 a2n 1 3 22n 1 即 cn 3 22n 1 于是 所以 cn 是等比数列 证明 a1 2 由 知 当 k N 且 k 2 时 a2k 1 a1 a3 a1 a5 a3 a7 a5 a2k 1 a2k 3 2 3 2 23 25 22k 3 2 3 22k 1 故对任意的 k N a2k 1 22k 1 由 得 22k 1 2a2k 22k 1 1 所以k N 因此 于是 故 所以 对任意的 n N 第 23 页 共 34 页 n n n n N 点评 本题考查等比数列的定义 等比数列求和等基础知识 考查计算能力 推理论证 能力 综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想 13 2011 重庆 设实数数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn 1 an 1Sn n N 若 a1 S2 2a2成等比数列 求 S2和 a3 求证 对 k 3 有 0 ak 考点 数列与不等式的综合 数列递推式 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分析 由题意 得 S22 2S2 由 S2是等比中项知 S2 2 由 此能求出 S2和 a3 由题设条件知 Sn an 1 an 1Sn Sn 1 an 1 1 且 由此能够证明对 k 3 有 0 an 1 解答 解 由题意 得 S22 2S2 由 S2是等比中项知 S2 0 S2 2 由 S2 a3 a3S2 解得 证明 因为 Sn 1 a1 a2 a3 an an 1 an 1 Sn 由题设条件知 Sn an 1 an 1Sn 第 24 页 共 34 页 Sn 1 an 1 1 且 从而对 k 3 有 ak 因 且 要证 由 只要证 即证 即 此式明显成立 因此 点评 本题考查数列的性质和应用 解题时要认真审题 仔细解答 注意公式的合理 运用 14 2011 湖南 已知函数 f x x3 g x x 求函数 h x f x g x 的零点个数 并说明理由 设数列 an n N 满足 a1 a a 0 f an 1 g an 证明 存在常数 M 使 得对于任意的 n N 都有 an M 考点 数列与不等式的综合 根的存在性及根的个数判断 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 分析 由 h x 知 x 0 而 h 0 0 且 h 1 1 0 h 2 6 再研究函数在 0 上的单调性 以确定零点 个数即可 记 h x 的正零点为 x0 即 当 a x0时 由 a1 a 即 a1 x0 而 a2 x0 由此猜测 an x0 当 a x0时 由 知 当 x x1 时 h x 单调递增 h a h x0 0 从而 a2 a 由此猜 测 an a 然后用数学归纳法证明 解答 解 由 h x 知 x 0 而 h 0 0 且 h 1 1 0 h 2 6 则 x 0 为 h x 的一个零点 且 h x 在 1 2 内有零点 h x 至少有两个零点 第 25 页 共 34 页 由 h x 记 则 当 x 0 时 g x 单调递增 故可判断出 h x 在 0 仅有一 个零点 综上所述 h x 有且只有两个零点 记 h x 的正零点为 x0 即 1 当 a x0时 由 a1 a 即 a1 x0 而 a2 x0 由此猜测 an x0 下面用数学归纳法证明 当 n 1 时 a1 x0 成立 假设当 n k 时 ak x0成立 则当 n k 1 时 由 知 ak 1 x0 因此当 n k 1 时 ak 1 x0成立 故对任意的 n N an x0成立 2 当 a x0时 由 知 当 x x0 时 h x 单调递增 h a h x0 0 从而 a2 a 由此猜测 an a 下面用数学归纳法证明 当 n 1 时 a1 a 成立 假设当 n k 时 ak a 成立 则当 n k 1 时 由 知 ak 1 a 因此当 n k 1 时 ak 1 a 成立 故对任意的 n N an a 成立 综上所述 存在常数 M 使得对于任意的 n N 都有 an M 点评 本题考查数列的性质和运用 解题时要注意不等式性质的合理运用和数学归纳 法的证明过程 15 2011 浙江 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1 a1 R 且 成等 比数列 求数列 an 的通项公式 对 n N 试比较与的大小 考点 数列与不等式的综合 数列的求和 等比数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由 成等比数列 利用等比数列的性质及等差数列的通项公 式列出关于首项和公差的方程 根据公差 d 不为 0 解得公差 d 与首项相等 第 26 页 共 34 页 然后根据首项和公差写出数列的通项公式即可 设 Tn 与根据 中求得的通项公式表示出 然后利用等比数列的前 n 项和的公式求出 Tn 即可比较出两者的大小关 系 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d 由题意可知 即 a1 d 2 a1 a1 3d 从而 a1d d2 因为 d 0 所以 d a1 故 an nd na1 记 Tn 由 an na1 得 2na1 则 Tn 1 Tn 1 从而 当 a1 0 时 Tn 当 a1 0 时 Tn 点评 此题考查学生掌握等比数列的性质 利用运用等比数列的通项公式及前 n 项和 的公式化简求值 是一道中档题 16 2011 浙江 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1为 a a R 设数列的前 n 项和 为 Sn 且 成等比数列 求数列 an 的通项公式及 Sn 记 An Bn 当 n 2 时 试比较 An与 Bn的 大小 考点 数列与不等式的综合 数列的求和 等差数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 点列 递归数列与数学归纳法 分析 设出等差数列的公差 利用等比中项的性质 建立等式求得 d 则数列的 通项公式和前 n 项的和可得 利用 的 an和 Sn 代入不等式 利用裂项法和等比数列的求和公式 整理 An与 Bn 最后对 a 0 和 a 0 两种情况分情况进行比较 第 27 页 共 34 页 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d 由 2 得 a1 d 2 a1 a1 3d 因为 d 0 所以 d a1 a 所以 an na Sn 解 An 1 2n 1a 所以 为等比数列 公比为 Bn 1 当 n 2 时 2n Cn0 Cn1 Cnn n 1 即 1 1 所以 当 a 0 时 An Bn 当 a 0 时 An Bn 点评 本题主要考查了等差数列的性质 涉及了等差数列的通项公式 求和公式以及 数列的求和的方法 综合考查了基础知识的运用 17 2009 江西 各项均为正数的数列 an a1 a a2 b 且对满足 m n p q 的正整数 m n p q 都有 1 当时 求通项 an 2 证明 对任意 a 存在与 a 有关的常数 使得对于每个正整数 n 都有 考点 数列与不等式的综合 菁优网版权所有 专题 综合题 压轴题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 1 由 令 m 1 p 2 q n 1 并将代入化简 可得数列是首项 为 公比为 的等比数列 从而可求数列的通项 第 28 页 共 34 页 2 记为 bm n 则 考察 函数 则在定义域上有 从而对 n N bn 1 g a 恒成立 结 合 即可得证 解答 1 解 由得 将代入化简得 所以 故数列是首项为 公比为 的等比数列 从而 即 2 证明 由题设的值仅与 m n 有关 记为 bm n 则 考察函数 则在定义域上有 第 29 页 共 34 页 故对 n N bn 1 g a 恒成立 又 注意到 解上式得 取 即有 点评 本题考查数列递推式 考查赋值法的运用 考查不等式的证明 考查学生分析 解决问题的能力 难度较大 18 2008 安徽 设数列 an 满足 a1 0 an 1 can3 1 c n N 其中 c 为实数 1 证明 an 0 1 对任意 n N 成立的充分必要条件是 c 0 1 2 设 证明 an 1 3c n 1 n N 3 设 证明 考点 数列与不等式的综合 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 分析 1 先证明必要性 a2 0 1 c 0 1 再证明充分性 设 c 0 1 对 n N 用数学归纳法证明 an 0 1 2 设 当 n 1 时 a1 0 结论成立 当 n 2 时 an can 13 1 c 1 an c 1 an 1 1 an 1 an 12 所以 1 an 1 an 12 3 且 1 an 1 0 由 此能够导出 an 1 3c n 1 n N 3 设 当 n 1 时 结论成立 当 n 2 时 an2 1 3c n 1 2 1 2 3c n 1 3c 2 n 1 1 2 3c n 1 所以 第 30 页 共 34 页 解答 解 1 必要性 a1 0 a2 1 c 又 a2 0 1 0 1 c 1 即 c 0 1 充分性 设 c 0 1 对 n N 用数学归纳法证明 an 0 1 当 n 1 时 a1 0 0 1 假设 ak 0 1 k 1 则 ak 1 cak3 1 c c 1 c 1 且 ak 1 cak3 1 c 1 c 0 ak 1 0 1 由数学归纳法知 an 0 1 对所有 n N 成立 2 设 当 n 1 时 a1 0 结论成立 当 n 2 时 an can 13 1 c 1 an c 1 an 1 1 an 1 an 12 由 1 知 an 1 0 1 所以 1 an 1 an 12 3 且 1 an 1 0 1 an 3c 1 an 1 1 an 3c 1 an 1 3c 2 1 an 2 3c n 1 1 a1 3c n 1 an 1 3c n 1 n N 3 设 当 n 1 时 结论成立 当 n 2 时 由 2 知 an 1 3c n 1 0 an2 1 3c n 1 2 1 2 3c n 1 3c 2 n 1 1 2 3c n 1 a12 a22 an2 a22 an2 n 1 2 3c 3c 2 3c n 1 n 1 2 n 1 2 点评 本题考查数列和不等式的综合应用 解题时要认真审题 注意挖掘题设中的隐 第 31 页 共 34 页 含条件 合理地选用证明方法 19 2008 江西 数列 an 为等差数列 an为正整数 其前 n 项和为 Sn 数列 bn 为等比 数列 且 a1 3 b1 1 数列是公比为 64 的等比数列 b2S2 64 1 求 an bn 2 求证 考点 数列与不等式的综合 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 证明题 综合题 分析 1 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则 d 为正整数 an 3 n 1 d bn qn 1 依题意有 由此可导出 an与 bn 2 Sn 3 5 2n 1 n n 2 所以 然后用裂项求和法进行 求解 解答 解 1 设 an 的公差为 d bn 的公比为