数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章第四章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 1 确定下列求积公式中的特定参数 使其代数精度尽量高 并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度 101 2 101 2 1 12 1 2 0 1 0 2 0 3 1 2 3 3 4 0 2 0 h h h h h f x dxA fhA fA f h f x dxA fhA fA f h f x dxff xf x f x dxh ff hahffh 解 求解求积公式的代数精度时 应根据代数精度的定义 即求积公式对于次数不超过 m 的多 项式均能准确地成立 但对于 m 1 次多项式就不准确成立 进行验证性求解 1 若 101 1 0 h h f x dxA fhA fA f h 令 则 1f x 101 2hAAA 令 则 f xx 11 0A hAh 令 则 2 f xx 322 11 2 3 hh Ah A 从而解得 0 1 1 4 3 1 3 1 3 Ah Ah Ah 令 则 3 f xx 3 0 hh hh f x dxx dx 101 0 0A fhA fA f h 故成立 101 0 h h f x dxA fhA fA f h 令 则 4 f xx 45 5 101 2 5 2 0 3 hh hh f x dxx dxh A fhA fA f hh 故此时 101 0 h h f x dxA fhA fA f h 故 101 0 h h f x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度 2 若 2 101 2 0 h h f x dxA fhA fA f h 令 则 1f x 101 4hAAA 令 则 f xx 11 0A hAh 令 则 2 f xx 322 11 16 3 hh Ah A 从而解得 0 1 1 4 3 8 3 8 3 Ah Ah Ah 令 则 3 f xx 22 3 22 0 hh hh f x dxx dx 101 0 0A fhA fA f h 故成立 2 101 2 0 h h f x dxA fhA fA f h 令 则 4 f xx 22 45 22 64 5 hh hh f x dxx dxh 5 101 16 0 3 A fhA fA f hh 故此时 2 101 2 0 h h f x dxA fhA fA f h 因此 2 101 2 0 h h f x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度 3 若 1 12 1 1 2 3 3f x dxff xf x 令 则 1f x 1 12 1 2 1 2 3 3f x dxff xf x 令 则 f xx 12 0123xx 令 则 2 f xx 22 12 2123xx 从而解得 或 1 2 0 2899 0 5266 x x 1 2 0 6899 0 1266 x x 令 则 3 f xx 11 3 11 0f x dxx dx 12 1 2 3 30ff xf x 故不成立 1 12 1 1 2 3 3f x dxff xf x 因此 原求积公式具有 2 次代数精度 4 若 2 0 0 2 0 h f x dxh ff hahffh 令 则 1f x 0 h f x dxh 2 0 2 0 h ff hahffhh 令 则 f xx 2 00 22 1 2 1 0 2 0 2 hh f x dxxdxh h ff hahffhh 令 则 2 f xx 23 00 232 1 3 1 0 2 0 2 2 hh f x dxx dxh h ff hahffhhah 故有 332 11 2 32 1 12 hhah a 令 则 3 f xx 34 00 2444 1 4 1111 0 2 0 12244 hh f x dxx dxh h ff hhffhhhh 令 则 4 f xx 45 00 2555 1 5 1111 0 2 0 12236 hh f x dxx dxh h ff hhffhhhh 故此时 2 0 1 0 2 0 12 h f x dxh ff hhffh 因此 2 0 1 0 2 0 12 h f x dxh ff hhffh 具有 3 次代数精度 2 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分 1 2 0 1 2 1 0 9 1 2 6 0 1 8 4 1 2 10 3 4 4 4sin 6 x x dx n x e dx n x xdx n dn 解 2 1 1 8 0 1 84 x nabhf x x 复化梯形公式为 7 8 1 2 0 11140 2 k k h Tf af xf b 复化辛普森公式为 77 81 01 2 4 2 0 11157 6 k k kk h Sf af xf xf b 1 2 1 1 2 10 0 1 10 x e nabhf x x 复化梯形公式为 9 10 1 2 1 39148 2 k k h Tf af xf b 复化辛普森公式为 99 101 01 2 4 2 1 45471 6 k k kk h Sf af xf xf b 3 4 1 9 2 nabhf xx 复化梯形公式为 3 4 1 2 17 22774 2 k k h Tf af xf b 复化辛普森公式为 33 41 01 2 2 4 2 17 32222 6 4 6 0 4sin 636 k k kk h Sf af xf xf b nabhf x 复化梯形公式为 5 6 1 2 1 03562 2 k k h Tf af xf b 复化辛普森公式为 55 61 01 2 4 2 1 03577 6 k k kk h Sf af xf xf b 3 直接验证柯特斯教材公式 2 4 具有 5 交代数精度 证明 柯特斯公式为 01234 7 32 12 32 7 90 b a ba f x dxf xf xf xf xf x 令 则 1f x 01234 90 7 32 12 32 7 90 b a ba f x dx ba f xf xf xf xf xba 令 则 f xx 22 22 01234 1 2 1 7 32 12 32 7 902 bb aa f x dxxdxba ba f xf xf xf xf xba 令 则 2 f xx 233 33 01234 1 3 1 7 32 12 32 7 903 bb aa f x dxx dxba ba f xf xf xf xf xba 令 则 3 f xx 344 44 01234 1 4 1 7 32 12 32 7 904 bb aa f x dxx dxba ba f xf xf xf xf xba 令 则 4 f xx 455 55 01234 1 5 1 7 32 12 32 7 905 bb aa f x dxx dxba ba f xf xf xf xf xba 令 则 5 f xx 566 66 01234 1 6 1 7 32 12 32 7 906 bb aa f x dxx dxba ba f xf xf xf xf xba 令 则 6 f xx 01234 0 7 32 12 32 7 90 h ba f x dxf xf xf xf xf x 因此 该柯特斯公式具有 5 次代数精度 4 用辛普森公式求积分并估计误差 1 0 x e dx 解 辛普森公式为 4 62 baab Sf aff b 此时 0 1 x abf xe 从而有 1 1 2 1 14 0 63233 6 See 误差为 4 4 0 4 1802 11 0 00035 0 1 1802 ba ba R ff e 5 推导下列三种矩形求积公式 2 2 3 2 2 224 b a b a b a f f x dxba f aba f f x dxba f bba abf f x dxba fba 证明 1 f xf afxaa b 两边同时在上积分 得 a b bb aa f x dxba f afxa dx 即 2 2 2 b a f f x dxba f aba f xf bfbxa b 两边同时在上积分 得 a b bb aa f x dxba f afbx dx 即 2 2 2 3 22222 b a f f x dxba f bba abababfab f xffxxa b 两连边同时在上积分 得 a b 2 22222 bbb aaa abababfab f x dxba ffxdxxdx 即 3 224 b a abf f x dxba fba 6 若用复化梯形公式计算积分 问区间应人多少等分才能使截断误差不 1 0 x Ie dx 0 1 超过 若改用复化辛普森公式 要达到同样精度区间应分多少等分 5 1 10 2 0 1 解 采用复化梯形公式时 余项为 2 12 n ba Rfh fa b 又 1 0 x Ie dx 故 0 1 xx f xefxe ab 22 1 1212 n e Rfhfh 若 则 5 1 10 2 n Rf 25 6 10h e 当对区间进行等分时 0 1 1 h n 故有 5 10212 85 6 e n 因此 将区间 213 等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时 余项为 4 4 1802 n ba h Rffa b 又 x f xe 4 4 4 4 1 28802880 x n fxe e Rfhfh 若 则 5 1 10 2 n Rf 45 1440 10h e 当对区间进行等分时 0 1 1 n h 故有 1 5 4 1440 10 3 71n e 因此 将区间 8 等分时可以满足误差要求 7 如果 证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大 并说 0fx b a If x dx I 明其几何意义 解 采用梯形公式计算积分时 余项为 3 12 T f Rbaa b 又且 0fx ba 0 T R 又1 T RT IT 即计算值比准确值大 其几何意义为 为下凸函数 梯形面积大于曲边梯形面积 0fx 8 用龙贝格求积方法计算下列积分 使误差不超过 5 10 1 0 2 0 3 2 0 2 1 2 sin 3 1 x e dx xxdx xx dx 解 1 0 2 1 x Ie dx k 0 k T 1 k T 2 k T 3 k T 00 7717433 10 72806990 7135121 20 71698280 71328700 7132720 30 71420020 71327260 71327170 7132717 因此0 713727I 2 0 2 sinIxxdx k 0 k T 1 k T 0 3 451313 6 10 1 8 628283 7 10 4 446923 21 10 因此0I 3 2 0 3 1Ixx dx k 0 k T 1 k T 2 k T 3 k T 4 k T 5 k T 014 2302495 111 171369910 1517434 210 443796910 201272510 2045744 310 266367210 207224010 207620710 2076691 410 222270210 207571210 207594310 207593910 2075936 510 211260710 207590910 207592210 207592210 207592210 2075922 因此10 2075922I 9 用的高斯 勒让德公式计算积分2 3n 3 1 sin x exdx 解 3 1 sin x Iexdx 令 则 1 3 x 2tx 1 1 t 用的高斯 勒让德公式计算积分2n 0 5555556 0 7745967 0 7745967 0 8888889 0 10 9484 Ifff 用的高斯 勒让德公式计算积分3n 0 3478548 0 8611363 0 8611363 0 6521452 0 3399810 0 3399810 10 95014 Iff ff 10 地球卫星轨道是一个椭圆 椭圆周长的计算公式是 22 2 0 1 sin c Sad a 这是是椭圆的半径轴 c 是地球中心与轨道中心 椭圆中心 的距离 记 h 为近地点距a 离 H 为远地点距离 R 6371 km 为地球半径 则 2 2 2 aRHhcHh 我国第一颗地球卫星近地点距离 h 439 km 远地点距离 H 2384 km 试求卫星轨道的周 长 解 6371 439 2384RhH 从而有 22 2 0 2 27782 5 2972 5 41 sin aRHh cHh c Sad a k 0 k T 1 k T 2 k T 01 564640 11 5646461 564648 21 5646461 5646461 564646 1 564646 48708 I Skm 即人造卫星轨道的周长为 48708km 11 证明等式 35 24 sin 3 5 n nnn 试依据的值 用外推算法求的近似值 sin 3 6 12 nn n 解 若 sin f nn n 又 35 11 sin 3 5 xxxx 此函数的泰勒展式为 35 35 24 sin 11 3 5 3 5 f nn n n nnn nn k n T 当时 3n sin2 598076n n 当时 6n sin3n n 当时 12n sin3 105829n n 由外推法可得 n 0 n T 1 n T 2 n T 32 598076 63 0000003 133975 93 1058293 1411053 141580 故3 14158 12 用下列方法计算积分 并比较结果 3 1 dy y 1 龙贝格方法 2 三点及五点高斯公式 3 将积分区间分为四等分 用复化两点高斯公式 解 3 1 dy I y 1 采用龙贝格方法可得 k 0 k T 1 k T 2 k T 3 k T 4 k T 01 333333 11 1666671 099259 21 1166671 1000001 099259 31 1032111 0987261 0986411 098613 41 0997681 0986201 0986131 0986131 098613 故有1 098613I 2 采用高斯公式时 3 1 dy I y 此时 1 3 y 令则 xyz 1 1 x 1 1 1 2 1 2 Idx x f x x 利用三点高斯公式 则 0 5555556 0 7745967 0 7745967 0 8888889 0 1 098039 Ifff 利用五点高斯公式 则 0 2369239 0 9061798 0 9061798 0 4786287 0 5384693 0 5384693 0 5688889 0 1 098609 Iff fff 3 采用复化两点高斯公式 将区间四等分 得 1 3 1234 1 522 53 11 522 5 IIIII dydydydy yyyy 作变换 则 5 4 x y 1 1 1 1 1 5 1 5 0 5773503 0 5773503 0 4054054 Idx x f x x Iff 作变换 则 7 4 x y 1 2 1 2 1 7 1 7 0 5773503 0 5773503 0 2876712 Idx x f x x Iff 作变换 则 9 4 x y 1 3 1 3 1 9 1 9 0 5773503 0 5773503 0 2231405 Idx x f x x Iff 作变换 则 11 4 x y 1 4 1 4 1 11 1 11 0 5773503 0 5773503 0 1823204 Idx x f x x Iff 因此 有 1 098538I 13 用三点公式和积分公式求在 和 1 2 处的导数值 并估计误 2 1 1 f x x 1 0 1