数学建模(航空公司的预定票策略).

数学建模竞赛数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开的 资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规 则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从 A B 中选择一项填写 B 我们的队号为 11 参赛队员 1 电子 0903 徐路源 2 数学 0901 王璐璐 3 数学 0901 张乐孝 指导教师或指导教师组负责人 数模组 日期 2010 年 8 月 10 日 评阅编号 由评阅老师评阅前进行编号 数学建模竞赛数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 评阅编号 评阅记录 评 阅 人 评 分 备 注 0 预测机票价格和预定数量限额最优问题预测机票价格和预定数量限额最优问题 摘要摘要 本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题 建立了两个模型 分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额 首先我们根据所给的 2005 年 10 月 2010 年 3 月期间 每月经济舱机票平均价格 单位 元 数据 通过 Matlab 软件用函数去拟合 所得函数即为机票预订价格的数学 模型 可表示为 f x a1 exp x b1 c1 2 a2 exp x b2 c2 2 a3 exp x b3 c3 2 a4 exp x b4 c4 2 a5 exp x b5 c5 2 a6 exp x b6 c6 2 但在预测中发现 由模型所得参考价格不合实际 单方面拟合出的模型并不具有 实际价值 之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题 通过与实 际价格的比较 发现其误差较小且置信度较高 所以我们得到的机票预定价格的数学 模型即为 12 2 sin 4632 0 12 2 cos 9938 0 12 2 sin 0239 58 12 2 cos 9355 492690 7 3877 638 x x xx x x yt 价格随时间呈周期性变化 每过一个周期价格略有上升 这与人民经济生活水平提高 分不开的 最后 我们搜集了一些数据来佐证我们模型的价值 根据实际情况 制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好两方面 来考虑 社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过某一给定 值来衡量 则这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解 我们假设每位乘客不 按时前来登机的概率为 p 是否前来登机是相互独立的 则不按时前来登机的乘客数服 从二项分布 又因为订票需付一定量的定金 且在飞机起飞前 48 小时内取消预订会没 收全部订金 对此 我们分情况讨论 由概率分布知识可得利润 S 关于预定量限额 M 的函数为 由利润最大化 利用 Matlab 软件求出 M 的最优解 通过检验和灵敏度分析 由模 型得出的机票预订限额置信度较高 查阅资料得 此限额较符合实际情况 最后 我 们根据我们建立的模型对其进行优化 由实际可能出现的情况增设某类旅客 学生 旅游者 的减价票 规定迟到则机票作废 在此基础上再建立一个模型 分别求此时 飞机的参考价格和预定限额 关键字 曲线拟合 趋势外推 周期波动 概率分布 利润最大关键字 曲线拟合 趋势外推 周期波动 概率分布 利润最大 1 一 问题重述一 问题重述 航空公司对机票一般采取预定策略 客户可以通过电话或互联网预定 这种预定 具有很大的不确定性 客户很可能由于各种原因取消预定 航空公司为了争取最大利 润 一方面要争取客户 另一方面要降低因客户取消预定遭受的损失 为此 航空公 司采用一些措施 首先 要求客户提供信用卡号 预付一定数量的定金 如果客户在 飞机起飞前 48 小时内取消预定 定金将如数退还 否则定金将被没收 其次 航空公 司采用变动价格 根据市场需求情况调整机票价格 一般来说旺季机票价格比较高 淡季价格略低 1 建立机票预定价格的数学模型 并对以下实例作分析 表 1 给出了某某航空 公司某条航线 2005 年 10 月 2010 年 3 月期间 每月经济舱机票平均价格 单位 元 用模型说明价格变动的规律 并据此估计未来一年内的经济舱机票的参考价格 收集 更多的数据来佐证模型的价值 要求注明出处 2 在旺季 航空公司往往可以预定出超过实际座位数的机票数 以减低客户取 消预定时航空公司的损失 但这样做可能会带来新的风险 万一届时有超出座位数的 客户出现 航空公司要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷 为此航空公司还会承担 信誉风险 某条航线就一中机型 有头等舱 20 座 经济舱 300 座 每天一班航班 为 该航线制定合理的预定策略 并论证理由 表 某航空公司某条航线 2005 年 10 月 2010 年 3 月经济舱月平均价格 单位 元 时间价格时间价格时间价格 2005 106562007 048022008 101068 2005 115262007 058782008 11996 2005 125022007 067942008 12804 2006 014822007 079262009 01794 2006 024982007 0810182009 02832 2006 036322007 099482009 03902 2006 046882007 1010162009 04972 2006 057202007 119162009 051014 2006 066402007 128242009 06916 2006 076882008 017382009 07986 2006 087682008 028062009 081124 2006 097362008 038722009 09948 2006 108022008 048942009 101056 2006 117262008 059662009 11872 2006 126722008 068782009 12796 2007 017322008 0710282010 01884 2007 026622008 0811002010 02808 2007 037802008 099782010 03856 2 二 背景二 背景 航空公司订座的特点是 旅客可以在飞机起飞前一百多天里向购票处或航空公司 订票 由于离飞机起飞时间较长 以及旅客行为的不确定性 往往航空公司会售出超 过实际座位数的票数 即超售 在订座决策中 航空公司面临 2 种风险 空座风险和 超售风险 以航班客座容量为临界点 如果超售的结果 即实际到达机场的已预定座 位的旅客人数 少于航班容量 会造成座位剩余 这就是空座风险 如果决策结果多 于航班容量 造成有些旅客被拒绝登机 从而带来超售风险 合理的超售可以减少空 位损失 但要确定合理的超售数额 却是十分困难的 超售是航空公司收益管理的一项重要内容 这是解决所谓的 No Show 问题 提高 航空公司效益的重要技术手段 同时也有许多理论问题甚至法律问题需要研究 在实 际航运中 航空公司发现经常发生已购票的乘客没有乘机 叫做 No Show 使得一些 座位空着虚飞 而一些想旅行的和一些有急事临时到达机场 叫做 Co Show 的旅客 却因购不到票而不能成行 这不仅浪费了航空公司的生产资源 同时也浪费了社会资 源 根据对历史销售和离港数据进行分析 可以预测旅客的 No Show 率和 Co Show 率 然后确定超售率进行机票销售 这样做不但可以充分利用热线航班的座位 提高航空 公司的收益 同时也使得其他想乘机旅行人员能够成行 可以说是各方都受益的好事 德国汉莎航空公司在超售方面所做的工作非常出色 每年能为公司多创造 5 的收益 因此对超售的研究一直为航空公司所重视 但超售预测不可能十分准确 因此可能发 生所谓的 DB Denied Boarding 问题 即实 No Show 率低于 Co Show 率时 便发生了 已购票并来乘机的旅客上不了飞机的问题 这常常引起旅客的不满甚至航空公司与旅 客的冲突 航空公司采取补偿 DB 旅客以化解矛盾的做法 但这样的补偿常常是机票价 格的两倍以上 发生 DB 航空公司的成本迅速上升 这也是航空公司不愿意看到的 因此超售是一把双刃剑 如何解决好 No Show 率和 DB 这一对矛盾 一直是航空公司和 学术界都十分关心的问题 目前研究的较多的是机票超售模型是静态的 对于一个航班从开始销售之日到飞 机起飞时 超售的数量保持不变 这样将完全忽略机票实际销售情况 超售实际上完 全溶于机票销售过程中 在机票销售过程中 航空公司的订座系统一面接受旅客的订 票 一面接受旅客的取消订票或是改签其他航班 显然机票的预定速度应大大超过取 消速率 在飞机起飞前某时刻将达到或接近飞机的容量 此时航空公司就将面临超售 问题 一般来说 航空公司可以控制订票的流量 当已定机票超过理想的数量时 就 不再接受订票的请求 但是由于订票需求的不确定性 目前被拒绝的需求未来不再出 现 而未来的取消还继续发生 则到飞机起飞时将产生空座 造成航班收益下降 因 此机票的超售是一个动态的决策过程 这一过程依赖于当前的销售状态 未来的需求 分布 机票取消分布和起飞时的 NO SHOW 率 3 三 符号说明三 符号说明 r 飞行费用 为常数 n1 飞机头等舱容量 为常数 n2 飞机经济舱容量 为常数 g1 头等舱机票价格 为常数 g2 经济舱机票价格 为常数 111nmm 头等舱预定票数量的限额 为常数 222nmm 经济舱预定票数量的限额 为常数 p 每位乘客没来登机且未在 48 小时之前取消订票的概率 k1 头等舱中定了票没有登机的乘客 k2 经济舱中定了票没有登机的乘客 b1 每位头等舱被挤掉者获得的赔偿金 为常数 b2 每位经济舱被挤掉者获得的赔偿金 为常数 S 平均利润 l 机票订金占机票价格的比重 X 月份 初始值为 x 1 四 模型假设四 模型假设 1 各位乘客是否按时前来登机是相互独立的 这适用于单独行动的商人 游客 2 每趟飞机预定票数量都大于飞机的实际座位数 3 飞行费用与乘客人数无关 为一个固定的常数 4 头等舱与经济舱顾客未按时取消订票的概率相等 4 五 问题分析与建立模型五 问题分析与建立模型 1 方法一 分析 由所给数据 用 Matlab 软件来拟合函数 再根据函数来预测经 济舱机票的参考价格 记 2005 年 10 月份为 x 1 则 05 年 11 月份为 x 2 以此类推 即 2005 年 10 月为第一个月份 如 x 10 则表示 06 年 7 月 拟合结果如下 由求解报告得知 数学模型为 f x a1 exp x b1 c1 2 a2 exp x b2 c2 2 a3 exp x b3 c3 2 a4 exp x b4 c4 2 a5 exp x b5 c5 2 a6 exp x b6 c6 2 a1 258 1 4931 5447 b1 11 84 21 32 45 c1 5 754 30 07 41 58 a2 763 3 4 991e 006 4 989e 006 b2 9 738 2804 2823 c2 35 18 6 951e 004 6 958e 004 5 a3 1400 7 956e 004 8 236e 004 b3 27 96 3 621 59 55 c3 6 392 96 3 109 1 a4 1255 3 937e 005 3 962e 005 b4 61 28 1 531e 010 1 531e 010 c4 1 48e 004 2 162e 012 2 162e 012 a5 3 035e 008 2 53e 013 2 53e 013 b5 162 7 08e 005 7 083e 005 c5 29 06 1 042e 005 1 043e 005 a6 1285 9 511e 004 9 254e 004 b6 28 36 20 3 36 43 c6 4 848 32 56 42 25 Goodness of fit SSE 2 234e 005 R square 0 8267 Adjusted R square 0 7448 RMSE 78 78 置信度为 95 根据模型 由 Matlab 软件求得未来一年经济舱机票参考价格如下表所示 时间价格 2010 04716 2010 05614 2010 06480 2010 07307 2010 0885 2010 09 198 2010 10 2010 11 2010 12 2011 01 2011 02 2011 03 预测的机票价格从 2010 年 9 月起变成了负数 显然与实际不符合 所以该模型并不能 帮助我们解决实际问题 方法二 分析 我们产用最小二乘法中趋势外推法的周期波动模型来解题 季节型时 间数列以日历时间为波动周期 循环型时间数列波动周期往往大于一年 且不稳定 尽管两者有所区别 但都呈周期性波动 因此宜以正弦曲线为基础 经修正波幅与周 期拟合波动规律 正弦曲线预测模型的一般形式为 6 只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后 求解六元一次方程组 得 代 xx 50 入预测方程即可开始预测 用 Matlab 软件求出此问题中模型的系数 具体程序见附录一 解得系数 4632 0 9938 0 0239 58 9355 49 2690 7 3877 638 5 4 3 2 1 0 x x x x x x 则未来一年内的经济舱机票的参考价格可按如下模型计算 7 6 sin 4632 0 6 cos 9938 0 6 sin 0239 58 6 cos 9355 492690 7 3877 638 x x xx x x yt 用此模型我们得出的模型曲线如下 红色折线为实际票价走势 蓝色为通过计算 得到的模型曲线 用 Matlab 软件根据模型给出未来一年内的经济舱机票的参考价格 具体程序见附录二 时间价格 2010 04989 2010 051065 2010 061137 2010 071187 2010 081204 2010 091184 2010 101134 2010 111069 2010 121009 2011 01970 2011 02968 2011 031002 8 比较方法二与方法一 显然用方法一所求的模型十分繁杂 具体计算时又非常得 不方便 而方法二所求的的模型简洁明了 便于计算 且置信度较高 所以舍弃方法 一所求模型 综上所述 机票预定价格的数学模型为 638 38777 269049 9355 cos 6 58 0239sin 0 9938 cos 0 4632 sin 666 t x x xxx x y 2 分析 开展预定票业务时 对于一次航班 若公司限制预定票的数量恰好等于飞 机的容量 那么由于总会有一些定了机票的乘客很可能由于各种原因取消预定不按时 前来登机 致使飞机因不满员飞行而利润降低 甚至亏本 所以 航空公司往往会预 定出超过实际座位数的机票数 以减低客户取消预定时航空公司的损失 然而 这样 做也存在着潜在的风险 当持票前来的乘客超过飞机容量时 必然会引起那些不能飞 走的乘客 本文简称被挤掉者 的抱怨 公司不管如何补救 也会导致声誉受损和一 定的经济损失 如客源减少 付给一定的赔偿金等 所以 航空公司必须综合考虑经济利益和社会声誉 确定预定票数量的最佳限额 建立模型 1 公司的经济利益可以用平均利润 S 来衡量 每次航班的利润 S 为机票收入扣除飞行 费用和可能发生的赔偿金再加上一部分乘客因为没有在 48 小时之前取消订票而交上的 订金 设 头等舱中预定出了张票 飞机起飞时 有位没有按时前来登机 经济 m1k1 舱中预定出了张票 飞机起飞时 有位没有按时前来登机 且每位客户在 48 小 m2k2 时之前便取消预订的概率为 于是在 48 小时之内没有取消预订的概率p 已知预交的订金占机票价格的 1pp l 9 头等舱 11111111 1 1111111111 22222222 2 22222222222 12 1 K i mk gk pg lmkn s n gmnk bk pg lmkn mkgk pg lmkn s n gmnk bk pg lmkn p k p 经济舱 总利润 s m s s r 由假设1 不按时登机且未在48小时之前退票的乘客数符从二项分布 于是概率 111 1111 222 2222 1 111111111 0 1 222222222 0 1122 0 1 SS 3 3 iii i i m k im mnm kk kkmn mnm kk kkmn m iki k kk kkC pqqp S mn gmkn b pmk g p n gmkn b pmkg p k gk gplr k pm 平均利润 即的期望 为 化简 式 并注意到 11 1 22 2 1 11111111 0 1 22222222 0 1122 1 2 4 S m mn k k mn k k iiii pi S mq m ggbmkn p q m ggbmknp k gk gplr n g r pm 可得 当给定后可以求得使得最大 2 公司从社会声誉考虑 应该要求被挤掉的乘客尽量少 而由于被挤掉者的数量是随 机的 可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标 记被挤掉的乘客数超 过 j 人的概率为 因为被挤掉的乘客数超过 j 等价于 m 位预定票的乘客中不 m p j 按时前来登机的不超过 m n j 1 人 所以 5 1 0 jnm k ki pp m 对于给定的 n j 显然当 m n j 时不会有被挤掉的乘客 即 0 而当 m 变大时 m p j 单调增加 m p j 综上 S m 和 虽然是这个优化问题的两个目标 但是可以将不超过某 m p j m p j 给定值作为约束条件 以 S m 为单目标函数来求解 10 七 模型求解与结果的分析检验和误差分析七 模型求解与结果的分析检验和误差分析 模型无法解析地求解 我们设定几组数据 用 matlab 软件作数值计算 结果如下 我们查阅资料 得知下列数据比较符合实际情况 设 12 12 12 12 25 330 20 300 1500 1000 3000 2000 10 0 1 mm nn gg bb r lp 万元 求得最大利润为 20 12 万元 当 时 12 30 350mm 求得最大利润为 21 52 万元 由于实际中有诸多因素不确定 可对超售票数造成影响 如天气状况对起飞成本 的影响 旺季时票价产生不正常波动 所以通过分析和检验 用 matlab 软件计算得知 当 12 mm在区间 21 35 内 在区间 318 366 内变化时 都可能求得最大利润 八 模型的优化八 模型的优化 对机票预定限额模型的优化 考虑到不同客源的实际需求 如商业界 文艺界人士喜欢这种无约束条件的预订 票业务 他们宁愿接受更高的票价 而不按时前来登机的可能性较大 游客与按时上 下班的雇员 会愿意以不按时前来登机则机票失效为代价 换取较低额的票价 所以 航空公司为了降低风险 可以把上述第 2 类乘客作为基本客源 对他们降低票价 但 购票时即付款 不能按时前来登机即机票作废 设预订票数量 m 中有 t 张是专门预售给第二类乘客的 其折扣票价为 因为第二类乘客身份的特殊性 所以只考虑他们购买经济舱的情况 当 1 1 g m t 位第 1 类乘客中有 k 位不按时前来登机时每次航班的利润 s 为 只对于经济舱 1 1 g 11 1111 11 1111 1111 111111111 111111111111 1 m11111111111111 0 1 S S kmktk kmt mnmt kkmn tgmkt gmkn s tgnt gmkn bmkn k pCp qqp ttgmkt gnt gmkn b 位乘客不按时前来登机的概率为 平均利润为 11 111 11 1 111111 1 111111111 1 1111 11111 1 r k mt k kmn mn k k p tgmkt gpr qm grgbmkn pp t g gggrn tgnt gr 正常票价 折扣票价 利润调节因子 1 且机票按照 来定价 如 60 就表示飞机60 的满员率就不亏本 与 飞行费用间的关系为 于是 单位费用 11 1 1 1111111 0 11 1 1 1 1 1 tJm mn k k j j J mqmp tbgmkn p nt P m 获得的平均利润为 约束条件被挤掉的乘客数超过j 人的概率p m 不变 取 0 75 t 50 100 150 其它结果同上 计算结果表明 当增加时 和 均有所减少 12 1111 11 1111 1111 111111111 111111111111 1 m11111111111111 0 1 S S kmktk kmt mnmt kkmn tgmkt gmkn s tgnt gmkn bmkn k pCp qqp ttgmkt gnt gmkn b 位乘客不按时前来登机的概率为 平均利润为 11 111 11 1 111111 1 111111111 1 1111 11111 1 r k mt k kmn mn k k p tgmkt gpr qm grgbmkn pp t g gggrn tgnt gr 正常票价 折扣票价 利润调节因子 1 且机票按照 来定价 如 60 就表示飞机60 的满员率就不亏本 与 飞行费用间的关系为 于是 单位费用 11 1 1 1111111 0 11 1 1 1 1 1 tJm mn k k j j J mqmp tbgmkn p nt P m 获得的平均利润为 约束条件被挤掉的乘客数超过j 人的概率p m 不变 取 0 75 t 50 100 150 其它结果同上 计算结果表明 当增加时 和 均有所减少 九 模型的评价与推广九 模型的评价与推广 对机票预测价格模型的评价与推广 优点 通过图形就可以看出其价格的走势与实际相似度很高 运用最小二乘法构 造方程组解相关系数 并全面考虑截距 波动周期 波动幅度是使其精确度较高的主 要原因 运用该模型可以在实际中较为准确地估计未来机票的价格 缺点 不难发现每个周期过后 价格都略有增长 但实际中价格不可能永远增长 下去 而且该模型无法估计非正常的数据 比如在旺季机票的价格可能比平常会高出 好几倍 在这种情况下就很难做出准确的预测 在随时间的增长中 误差也会越来越 大 所以在预测时可以不去考虑比较早时期的信息 只考虑要预测时间就近的 30 组数 据这样会提高预测的准确度 对机票预定量限额模型的评价与推广 评价 模型中把头等舱与经济舱的情况都做了考虑 而且是在不同的情况下做的 在基本合理的假设下对一个两目标的问题做了简化处理 即使这样 得到的模型也无 法解析地求解 幸而 数值计算的结果以满足我们对问题进行分析的要求 推广 与航空公司的预定票策略相似的事件在日常商务活动中并不少见 旅馆 汽车出租公司等为争夺顾客也可以如此处理 13 十 参考文献十 参考文献 1 赵 静 但 琦 数学建模与数学实验 第 2 版 高等教育出版社 2004 2 姜启源 谢金星 叶 俊 数学模型 第三版 高等教育出版社 2005 3 陈怀琛 吴大正 高西全 MATLAB 及在电子信息课程中的应用 第 2 版 电 子工业出版社 2003 4 鞠彦兵 冯允成 王爱华 航空客运超售风险研究 北京航空航天大学学报 第 25 卷 第 5 期 第 1 页 2002 年 10 月 14 十一 附录十一 附录 附录一附录一 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 y 656 526 502 482 498 632 688 720 640 688 768 736 802 726 672 732 662 780 802 878 794 926 1018 948 1016 916 824 738 806 872 894 966 878 1028 1100 978 1 068 996 804 794 832 902 972 1014 916 986 1124 948 1056 872 796 884 808 856 x1 x x2 cos pi x 6 x3 sin pi x 6 x4 x cos pi x 6 x5 x sin pi x 6 A 54 sum x1 sum x2 sum x3 sum x4 sum x5 sum x1 sum x1 x1 sum x1 x 2 sum x1 x3 sum x1 x4 sum x1 x5 sum x2 sum x1 x2 sum x2 x2 sum x2 x3 sum x2 x4 sum x2 x5 sum x3 sum x1 x3 sum x2 x3 sum x3 x3 s um x3 x4 sum x3 x5 sum x4 sum x1 x4 sum x2 x4 sum x3 x4 sum x4 x4 sum x4 x5 sum x5 sum x1 x5 sum x2 x5 sum x3 x5 sum x4 x5 sum x5 x5 b sum y sum x1 y sum x2 y sum x3 y