解三角形完整讲义

1 正余弦定理知识要点 正余弦定理知识要点 1 正弦定理 或变形 2 sinsinsin abc R ABC sin sin sina b cABC 2 余弦定理 或 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cbabaC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac bac C ab 3 解斜三角形的常规思维方法是 1 已知两角和一边 如 A B C 由 A B C 求 C 由正弦定理求 a b 2 已知两边和夹角 如 a b c 应用余弦定理求 c 边 再应用正弦定理先求较短边 所对的角 然后利用 A B C 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如 a b A 应用正弦定理求 B 由 A B C 求 C 再由正弦定理或余弦定理求 c 边 要注意解可能有多种情况 4 已知三边 a b c 应余弦定理求 A B 再由 A B C 求角 C 4 判定三角形形状时 可利用正余弦定理实现边角转化 统一成边的形式或角的形式 5 解三角形问题可能出现一解 两解或无解的情况 这时应结合 三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解 6 已知三角形两边 a b 这两边夹角 C 则 S 1 2 absinC 7 三角学中的射影定理 在 ABC 中 AcCabcoscos 8 两内角与其正弦值 在 ABC 中 BABAsinsin 例题 在锐角三角形 ABC 中 有 B A cosA sinB 且 cosB sinA B cosA sinB 且 cosBsinB 且 cosB sinA D cosAsinA 2 9 三角形内切圆的半径 特别地 2S r abc 2 abc r 斜 直 正弦定理正弦定理 专题 公式的直接应用专题 公式的直接应用 1 已知中 那么角等于 ABC 2a 3b 60B A A B C D 135 90 45 30 2 在 ABC 中 a b B 45 则 A 等于 C 3222 A 30 B 60 C 60 或 120 D 30 或 150 3 的内角的对边分别为 若 则 ABC ABC abc 26120cbB a 等于 A 6 B 2C 3 D 2 4 已知 ABC 中 则 a 等于 B 30A 105C 8b A B C D 44 2 4 34 5 5 在 ABC 中 10 B 60 C 45 则等于 B ac A B C D 310 1310 13 310 6 已知的内角 所对的边分别为 若 ABC ABCabc3 1 sin A 则等于 Bbsin3 a 3 3 3 7 ABC 中 则最短边的边长等于 A 45B 60C 1c A B C D 6 3 6 2 1 2 3 2 8 ABC 中 的平分线把三角形面积分成两部分 则 1 2A B CCD3 2cos A C A B C D 1 3 1 2 3 40 9 在 ABC 中 证明 2222 112cos2cos bab B a A 证明 2 2 2 2 222 2 2 2 22 sinsin 2 11sin21sin212cos2cos b B a A bab B a A b B a A 由正弦定理得 2 2 2 2 sinsin b B a A 2222 112cos2cos bab B a A 专题 两边之和专题 两边之和 1 在 ABC 中 A 60 B 45 则 a b 12 ba 61236 24612 2 已知的周长为 且 ABC 21 sinsin2sinABC 1 求边的长 AB 2 若的面积为 求角的度数 ABC 1 sin 6 C C 4 专题 三角形个数专题 三角形个数 1 ABC 中 A 60 a b 4 那么满足条件的 ABC C 6 A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 2 ABC 中 a 1 b A 30 则 B 等于 B 3 A 60 B 60 或 120 C 30 或 150 D 120 3 在 ABC 中 根据下列条件解三角形 则其中有两个解的是 D A b 10 A 45 B 70 B a 60 c 48 B 100 C a 7 b 5 A 80 D a 14 b 16 A 45 4 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 D A a 1 b 2 c 3 B a 1 b A 30 2 C a 1 b 2 A 100 C b c 1 B 45 5 在 ABC 中 a 12 b 13 C 60 此三角形的解的情况是 B A 无解B 一解C 二解D 不能确定 6 满足 A 45 c a 2 的 ABC 的个数记为 m 则 a m 的值为 A 6 A 4 B 2 C 1 D 不定 7 已知 ABC 中 121 则此三角形解的情况是 无解 Aba 209 181 8 在 ABC 中 已知 则边长 或 50 3b 150c 30B a 100 3 50 3 专题 等比叠加专题 等比叠加 5 1 ABC 中 若 则等于 A 60A 3a sinsinsin abc ABC A 2 B C D 1 2 3 3 2 2 在 ABC 中 A 60 b 1 面积为 则 3 sinsinsin abc ABC 2 39 3 专题 变式应用专题 变式应用 1 在 ABC 中 若 A B C 1 2 3 则 cba 2 3 1 2 已知 ABC 中 a b c 1 2 则 A B C 等于 A 3 A 1 2 3B 2 3 1 C 1 3 2 D 3 1 2 3 在 ABC 中 周长为 7 5cm 且 sinA sinB sinC 4 5 6 下列结论 6 5 4 cba6 5 2 cba cmccmbcma3 5 2 2 其中成立的个数是 6 5 4 CBA C A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 4 在 ABC 中 已知边 求边 a b 的长 10c cos4 cos3 Ab Ba 解 由 cos cos Ab Ba b a 可得 cossin cossin AB BA sinB sinA 变形为 sinAcosA sinBcosB sin2A sin2B 又 a b 2A 2B A B 2 ABC 为直角三角形 6 由 a2 b2 102 和 4 3 b a 解得 a 6 b 8 5 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 b c 若 则 a CaAcbcoscos3 Acos 6 设锐角三角形的内角的对边分别为 ABCABC abc 2 sinabA 1 求的大小 B 2 求的取值范围 cossinAC 专题 求取值范围专题 求取值范围 1 ABC 中 已知 60 如果 ABC 两组解 则 x 的取值范围 C Bbxa 2 A B C D 2 x2 x 3 3 4 2 x3 3 4 2 x 2 已知锐角三角形的边长分别为 2 3 x 则 x 的取值范围是 B A B C D 51 x135 x50 x513 x 3 在锐角 ABC 中 1 2 BCBA 则cos AC A的值等于 AC的取值范围为 2 3 2 答案 设 2 AB 由正弦定理得 12 sin2sin2coscos ACBCACAC 由锐角 ABC 得0 290045 7 又0 1803903060 故 23 3045cos 22 所以 余弦定理余弦定理 专题 公式应用专题 公式应用 1 在 ABC 中 a 3 b c 2 那么 B 等于 C 7 A 30 B 45 C 60 D 120 2 在三角形中 则的大小为 ABC537ABACBC BAC A B C D 2 3 5 6 3 4 3 3 长为 5 7 8 的三角形的最大角与最小角之和为 B A 90 B 120 C 135 D 150 4 在 ABC 中 150 则 b 7 Bca 2 33 5 在 ABC 中 若 则 C cbbcaca A A B C D 0 90 0 60 0 120 0 150 6 在 中 三边长分别为 则的值 ABC 3 5 6abc coscoscosbcAcaBabC 为 D A 38 B 37 C 36 D 35 7 在 ABC 中 已知 则角 A 为 C bccba 222 A B C D 或 3 6 3 2 3 3 2 8 在钝角 ABC 中 已知 则最大边的取值范围是 1a 2b c 53c 8 9 设 a b c 是的三边长 对任意实数 x 有 ABC 222222 f xb xbcaxc B A B C D 0f x 0f x 0f x 0f x 9 三角形的两边分别为 5 和 3 它们夹角的余弦是方程 2 5760 xx 的根 则三角形的 另一边长为 B A 52B 2 13 C 16D 4 10 在 ABC 中 已知 AB 4 AC 7 BC 边的中线 那么 BC 9 2 7 AD 11 设 A B C 为三角形的三内角 且方程 sinB sinA x2 sinA sinC x sinC sinB 0 有等根 那么角 B D A B 60 B B 60 C BABC A 一定是锐角三角形 B 可能是钝角三角形 C 一定是等腰三角形 D 可能是直角三角形 2 在 ABC 中 角 A B 均为锐角 且 sincosBA 则 ABC 的形状是 C A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 3 ABC 中 则 ABC 一定是 D 60B 2 bac A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 4 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度 则这个新的三角形的形状为 A 9 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 5 ABC 中 则 ABC 一定是 D coscoscos abc ABC A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6 在 ABC 中 若 则 ABC 是 B c C b B a Asincoscos A 有一内角为 30 的直角三角形B 等腰直角三角形 C 有一内角为 30 的等腰三角形D 等边三角形 7 若的内角的对边分别为 且则 ABC ABC abc coscosaAbB A 为等腰三角形B 为直角三角形 ABC ABC C 为等腰直角三角形D 为等腰三角形或直角三角形 ABC ABC 8 的内角的对边分别为 根据下列条件判断三角形形状 ABC ABC abc 2222 1 3sin2sincos 2 sin sin abc bcabcABCABC abABabABABC 且 则 是 则 是 9 若 a b c b c a 3abc 且 sinA 2sinBcosC 那么 ABC 是 B A 直角三角形 B 等边三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 10 在 ABC 中 已知 那么 ABC 一定是 B CBAsincossin2 A 直角三角形B 等腰三角形C 等腰直角三角形D 正三角形 11 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状是 D BbAacoscos 10 A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 12 在中 分别为角 所对边 若 则此三角形 ABC abcABCCbacos2 一定是 C A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰或直角三角形 13 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状是 B 2 2 tan tan b a B A A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 14 已知锐角三角形的边长分别为 1 3 a 则 a 的范围是 B A B C D 10 8 10 8 10 8 8 10 15 A 为 ABC 的一个内角 且 sinA cosA 则 ABC 是 三角形 钝角 12 7 16 在 ABC 中 已知 试判断 ABC 的形状 2abc 2 sinsinsinABC 解 由正弦定理得 2 sinsinsin abc R ABC sin 2 a A R sin 2 b B R sin 2 c C R 所以由可得 即 2 sinsinsinABC 2 222 abc RRR 2 abc 又已知 所以 所以 即 2abc 22 4 abc 2 4 bcbc 2 0bc 因而 故由得 所以 ABC bc 2abc 22abbb ab abc 为等边三角形 17 已知 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为a bc 向量 4 1 m 11 2 cos cos2 2 A nA 且 7 2 m n 1 求角 A 的大小 2 若 3a 试求当b c 取得最大值时 ABC 的形状 9 解 1 由 2 4 1 cos cos2 2 A mnA 2 4coscos2 2 A m nA 2 1cos 4 2cos1 2 A A 2 2cos2cos3AA 又因为 77 2cos3 22 m nAA 2 所以 2cos 解得 1 cos 2 A 分 0 3 AA 在 222 2cos 3ABCabcbcAa 中 且 222 1 3 2 2 bcbc 22 bcbc 22 2 32bcbcbcbc 即 3 bc 当且仅当3bcb c 时 取得最大值 又由 知 33 ABC 所以 ABC 为正三角形 18 在 ABC 中 求分别满足下列条件的三角形形状 B 60 b2 ac 由余弦定理 12 acacca ac bca ac bca 22 222222 2 1 22 60cos 0 2 ca 由 a c 及 B 60 可知 ABC 为等边三角形 ca b2tanA a2tanB 由 A Ab BaAb cos sin tantan 2 22 2sin2sin cossincossin sin sin cossin cossin cos sin 2 2 2 22 BABBAA A B a b BA AB B Ba A B 或 A B 90 ABC 为等腰 或 Rt sinC 由正弦定理 BA BA coscos sinsin BA BA C coscos sinsin sin 再由余弦定理 cos cosbaBAc ba ac bca c bc cba c 22 222222 RtABCbacbacba为 0 222222 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 由条件变形为 22 22 sin sin ba ba BA BA 90 2sin2sin sin sin sincos cossin sin sin sin sin 2 2 2 2 BABABA B A BA BA b a BABA BABA 或 ABC 是等腰 或 Rt 专题 专题 1 在 ABC 中 如果 那么等于 sin sin sin2 3 4ABC cosC 1 4 2 在中 已知 则 ABC 4 5 6sin sin sin CBA cosA 1 8 3 在 ABC 中 则 ABC 的最大内角的度数是 120 6 5 4 baaccb 13 4 在 ABC 中 cosC 是方程的一个根 求 ABC 周长的最 10 ba0232 2 xx 小值 解 又是方程的一 0232 2 xx 2 1 2 21 xx Ccos 0232 2 xx 个根 由余弦定理可得 2 1 cos C abbaabbac 2 222 2 1 2 则 当时 c 最小且 此时 75510100 2 2 aaac 5 a3575 c ABC 周长的最小值为 3510 cba 3510 5 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 2 5 cos 25 A 3AB AC I 求 ABC 的面积 II 若 6bc 求a的值 解 1 因为 2 5 cos 25 A 2 34 cos2cos1 sin 255 A AA 又由 3AB AC 得 cos3 bcA 5bc 1 sin2 2 ABC SbcA 2 对于 5bc 又 6bc 5 1bc 或 1 5bc 由余弦定理得 222 2cos20abcbcA 2 5a 专题 已知面积专题 已知面积 1 已知 ABC 的面积为 且 则 A 等于 D 2 3 3 2 cb 14 A 30 B 30 或 150 C 60 D 60 或 120 2 在 ABC 中 已知角A B C所对的边分别是a b c 边 7 2 c 且 60C 又 ABC 的面积为 3 3 2 则 ab 11 2 3 已知 ABC 中 ABa ACb 0a b 15 4 ABC S 3 5ab 则 A 30 B 150 C 0 150 D 30 或 0 150 4 若 ABC 的周长等于 20 面积是 A 60 则 BC 边的长是 C 310 A 5 B 6C 7D 8 5 在 ABC 中 若 S ABC a2 b2 c2 那么角 C 4 1 4 6 在 ABC 中 BC a AC b a b 是方程的两个根 且 0232 2 xx 求 1 角 C 的度数 2 AB 的长度 1cos2 BA 解 1 C 120 2 1 coscoscos BABAC 2 由题设 32 2 ba ab 120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB 10232 2 2 22 abbaabba 10 AB 15 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边长分别为a b c 已知 22 2acb 且 sincos3cossin ACAC 求 b 解法一 在 ABC 中 sincos3cossin ACAC 则由正弦定理及余弦定理有 222222 3 22 abcbca ac abbc AA 化简并整理得 222 2 acb 又由已知 22 2acb 2 4bb 解得 40 bb 或舍 解法二 由余弦定理得 222 2cosacbbcA 又 22 2acb 0b 所以 2 cos2bcA 又sin cos3cossinACAC sincoscossin4cossinACACAC sin 4cossinACAC 即sin 4cossinBAC 由正弦定理得 sinsin b BC c 故 4 cosbcA 由 解得 4b 专题 求三角形面积专题 求三角形面积 1 在 ABC 中 A 30 则 ABC 面积为 B 3 AB 1 AC A B C 或D 或 2 3 4 3 2 3 3 4 3 2 3 2 已知 ABC 的三边长 则 ABC 的面积为 B 6 5 3 cba A B C D 1414215152 16 3 三角形的一边长为 14 这条边所对的角为 另两边之比为 8 5 则这个三角形的 60 面积为 40 3 4 在 ABC 中 C 70 那么 ABC 的面积为 C 10sin a50sin b A B C D 64 1 32 1 16 1 8 1 5 ABC 中 则等于 C 8b 8 3c 16 3 ABC S AA A B C 或 D 或 30 60 30 150 60 120 6 在 ABC 中 sin 1CA sinB 1 3 I 求 sinA 的值 II 设 AC 6 求 ABC 的面积 7 为的三内角 对边分别为 若 ABCABC abc 2 1 sinsincoscos CBCB 求 A 若 求的面积 4 32 cba ABC 解 2 1 sinsincoscos CBCB 2 1 cos CB 又 CB0 3 CB CBA 3 2 A 由余弦定理得 Abccbacos2 222 3 2 cos22 32 22 bcbccb 17 即 2 1 221612 bcbc 4 bc 3 2 3 4 2 1 sin 2 1 AbcS ABC 8 在锐角三角形中 边 a b 是方程 x2 2x 2 0 的两根 角 A B 满足 2sin A B 3 0 求角 C 的度数 边 c 的长度及 ABC 的面积 3 解 由 2sin A B 0 得 sin A B ABC 为锐角三角形 3 3 2 A B 120 C 60 又 a b 是方程 x2 2x 2 0 的两根 a b 2 33 c 2 6 1 sin 2 ABC SabC A 1 2 3 2 3 2 a b 2 c2 a2 b2 2a bcosC a b 2 3ab 12 6 6 c 2 6 1 sin 2 ABC SabC A 1 2 3 2 3 2 9 已知 的内角 CBA 的对边分别为 cba 其中 2 c 又向量 m ABC n m n 1 cos 1 C 1 cos C 1 若 求的值 45A a 2 若 4 ba 求 的面积 ABC 解 1 mn 1cos2coscos CCC 2 1 cos C 0180C 60C 由正弦定理得 3 62 3 22 a 2 sin45sin60 a 2 2 c 4 22 abba 60C 22 2cos604abab 18 又 4 ba 162 22 abba 4 ab 3sin 2 1 CabS ABC 10 在中 ABC 5 4 sin 13 5 cos BA 求的值 设 求的面积 Ccos15 BCABC 10 解 由 得 2 分 5 4 sin 13 5 cos BA 5 3 cos 13 12 sin BA 4 分 CBA cos cos cosBABAC 6 分 65 63 sinsincos cos BABA 由 得 8 分 65 63 cos C 65 13 sin C 由正弦定理得 10 分 13 sin si