数理统计试题及答案

数理统计考试试卷数理统计考试试卷 一 填空题 本题 15 分 每题 3 分 1 总体的容量分别为 10 15 的两独立样本均值差 3 20 NX YX 2 设为取自总体的一个样本 若已知 则 1621 XXX 5 0 0 2 NX 0 32 16 2 01 0 8 16 1 2 i i XP 3 设总体 若和均未知 为样本容量 总体均值的置信水平为 2 NX 2 n 的置信区间为 则的值为 1 XX 4 设为取自总体的一个样本 对于给定的显著性水平 已 n XXX 21 2 NX 知关于检验的拒绝域为 2 则相应的备择假设为 2 1 2 1 n 1 H 5 设总体 已知 在显著性水平 0 05 下 检验假设 2 NX 2 00 H 拒绝域是 01 H 1 2 0 01 3 4 5 2 1 0 他N n S nt 1 2 2 0 2 05 0 zz 二 选择题 本题 15 分 每题 3 分 1 设是取自总体的一个样本 是未知参数 以下函数是统计量的为 321 XXXX A B C D 321 XXX 321 XXX 321 1 XXX 2 3 1 3 1 i i X 2 设为取自总体的样本 为样本均值 n XXX 21 2 NXX 则服从自由度为的 分布的统计量为 2 1 2 1 XX n S i n i n 1 nt A B C D 他 Xn n S Xn 他 Xn 1 n S Xn 1 3 设是来自总体的样本 存在 n XXX 21 2 XD 2 1 2 1 1 XX n S i n i 则 A 是的矩估计 B 是的极大似然估计 2 S 2 2 S 2 C 是的无偏估计和相合估计 D 作为的估计其优良性与分布有 2 S 2 2 S 2 关 4 设总体相互独立 样本容量分别为 样本方差分别 2 22 2 11 NYNX 21 n n 为 在显著性水平下 检验的拒绝域为 2 2 2 1 S S 2 2 2 11 2 2 2 10 HH A B 1 1 12 2 1 2 2 nnF s s 1 1 12 2 1 2 1 2 2 nnF s s C D 1 1 21 2 1 2 2 nnF s s 1 1 21 2 1 2 1 2 2 nnF s s 5 设总体 已知 未知 是来自总体的样本观察值 已 2 NX 2 n xxx 21 知的置信水平为 0 95 的置信区间为 4 71 5 69 则取显著性水平时 检验假 05 0 设的结果是 0 5 0 5 10 HH A 不能确定 B 接受 C 拒绝 D 条件不足无法检验 0 H 0 H 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 三 本题 14 分 设随机变量 X 的概率密度为 其中未知 他他 x x xf 0 0 2 2 参数 是来自的样本 求 1 的矩估计 2 的极大似然估计 0 n XX 1 X 解 1 3 22 02 2 xd x xdxfxXE 令 得为参数的矩估计量 3 2 XXEX 2 3 2 似然函数为 2 1 0 22 1 2 1 2 nixx x xL i n i i n n n i i i 他 而是的单调减少函数 所以的极大似然估计量为 L max 21n XXX 四 本题 14 分 设总体 且是样本观察值 样本方差 0 2 NX 1021 xxx 2 2 s 1 求的置信水平为 0 95 的置信区间 2 已知 求的置 2 1 2 2 2 X Y 3 2 X D 信水平为 0 95 的置信区间 70 2 9 2 975 0 023 19 9 2 025 0 解 1 的置信水平为 0 95 的置信区间为 即为 0 9462 6 6667 2 9 18 9 18 2 975 0 2 025 0 2 3 2 X D 2 2 22 2 2 2 1 11 D X D 由于是的单调减少函数 置信区间为 23 2 2 X D 2 22 2 2 即为 0 3000 2 1137 五 本题 10 分 设总体服从参数为的指数分布 其中未知 为取X 0 n XX 1 自总体的样本 若已知 求 X 2 2 2 1 nXU n i i 1 的置信水平为的单侧置信下限 1 2 某种元件的寿命 单位 h 服从上述指数分布 现从中抽得容量为 16 的样本 测得 样本均值为 5010 h 试求元件的平均寿命的置信水平为 0 90 的单侧置信下限 585 42 32 985 44 31 2 10 0 2 05 0 解 1 1 2 2 1 2 2 2 2 n Xn Pn Xn P 即的单侧置信下限为 2 2 2 2 n Xn 706 3764 585 42 5010162 六 本题 14 分 某工厂正常生产时 排出的污水中动植物油的浓度 今阶段 1 10 NX 性抽取 10 个水样 测得平均浓度为 10 8 mg L 标准差为 1 2 mg L 问该工厂生产是 否正常 22 0 0250 0250 975 0 05 9 2 2622 9 19 023 9 2 700t 解 1 检验假设 H0 2 1 H1 2 1 取统计量 2 0 2 2 1 sn 拒绝域为 2 2 70 或 2 19 023 9 1 2 975 0 2 2 1 n 2 025 0 2 2 1 n 经计算 由于 2 96 12 1 2 19 1 2 2 0 2 2 sn 023 19 700 2 96 12 2 故接受 H0 即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2 1 2 检验假设 取统计量 1010 10 他他他HH 10 10 S X t 9 2 t 拒绝域为 2 2622 所以接受 2622 2 9 025 0 tt1028 2 10 2 1 10 8 10 t 0 H 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10 mg L 综上 认为工厂生产正常 七 本题 10 分 设为取自总体的样本 对假设检验问题 4321 XXXX 4 2 NX 1 在显著性水平 0 05 下求拒绝域 2 若 6 求上述检验所5 5 10 HH 犯的第二类错误的概率 解 1 拒绝域为 96 1 2 5 4 4 5 025 0 z xx z 2 由 1 解得接受域为 1 08 8 92 当 6 时 接受的概率为 0 H 921 0 2 608 1 2 692 8 92 8 08 1 XP 八 本题 8 分 设随机变量服从自由度为的分布 1 证明 随机变量服从X nmF X 1 自由度为的分布 2 若 且 求的值 mnFnm 05 0 XP 1 XP 证明 因为 由分布的定义可令 其中 nmFXF nV mU X 22 nVmU 与相互独立 所以 UV 1 mnF mU nV X 当时 与服从自由度为的分布 故有 nm X X 1 nnF XP 1 XP 从而 95 0 05 0 1 1 1 1 1 1 XP X P X PXP 数理统计试卷参考答案数理统计试卷参考答案 一 填空题 本题 15 分 每题 3 分 1 2 0 01 3 4 5 2 1 0 他N n S nt 1 2 2 0 2 05 0 zz 二 选择题 本题 15 分 每题 3 分 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 三 本题 14 分 解 1 3 22 02 2 xd x xdxfxXE 令 得为参数的矩估计量 3 2 XXEX 2 3 2 似然函数为 2 1 0 22 1 2 1 2 nixx x xL i n i i n n n i i i 他 而是的单调减少函数 所以的极大似然估计量为 L max 21n XXX 四 本题 14 分 解 1 的置信水平为 0 95 的置信区间为 即为 0 9462 6 6667 2 9 18 9 18 2 975 0 2 025 0 2 3 2 X D 2 2 22 2 2 2 1 11 D X D 由于是的单调减少函数 置信区间为 23 2 2 X D 2 22 2 2 即为 0 3000 2 1137 五 本题 10 分 解 1 1 2 2 1 2 2 2 2 n Xn Pn Xn P 即的单侧置信下限为 2 2 2 2 n Xn 706 3764 585 42 5010162 六 本题 14 分 解 1 检验假设 H0 2 1 H1 2 1 取统计量 2 0 2 2 1 sn 拒绝域为 2 2 70 或 2 19 023 9 1 2 975 0 2 2 1 n 2 025 0 2 2 1 n 经计算 由于 2 96 12 1 2 19 1 2 2 0 2 2 sn 023 19 700 2 96 12 2 故接受 H0 即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2 1 2 检验假设 取统计量 1010 10 他他他HH 10 10 S X t 9 2 t 拒绝域为 2 2622 所以接受 2622 2 9 025 0 tt1028 2 10 2 1 10 8 10 t 0 H 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10 mg L 综上 认为工厂生产正常 七 本题 10 分 解 1 拒绝域为 96 1 2 5 4 4 5 025 0 z xx z 2 由 1 解得接受域为 1 08 8 92 当