高中文理科数学必背公式

1 高中数学公式及知识点速记高中数学公式及知识点速记 一一 一 函数 导数 1 函数的单调性 1 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 0 21 baxfxfxf在 上是减函数 0 21 baxfxfxf在 2 设函数在某个区间内可导 若 则为增函数 若 xfy 0 x f xf 则为减函数 0 x f xf 2 函数的奇偶性 对于定义域内任意的 都有 则是偶函数 x xfxf xf 对于定义域内任意的 都有 则是奇函数 x xfxf xf 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 3 函数在点处的导数的几何意义 xfy 0 x 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率 xfy 0 x xfy 00 xfxP 0 x f 相应的切线方程是 000 xxxfyy 4 几种常见函数的导数 C0 1 nn nxxxxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 5 导数的运算法则 1 2 3 uvuv uvuvuv 2 0 uuvuv v vv 6 会用导数求单调区间 极值 最值 7 求函数的极值的方法是 解方程 当时 yf x 0fx 0 0fx 1 如果在附近的左侧 右侧 那么是极大值 0 x 0fx 0fx 0 f x 2 如果在附近的左侧 右侧 那么是极小值 0 x 0fx 0fx 0 f x 二 三角函数 三角变换 解三角形 平面向量 8 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin 9 正弦 余弦的诱导公式 的正弦 余弦 等于的同名函数 前面加上把看成锐角时该函数的符号 k 2 的正弦 余弦 等于的余名函数 前面加上把看成锐角时该函数的 2 k 符号 10 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 11 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 公式变形 2 2cos1 sin 2cos1sin2 2 2cos1 cos 2cos1cos2 22 22 12 三角函数的周期 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且sin yx cos yx A 0 0 的周期 函数 A 为常 2 T tan yx 2 xkkZ 数 且 A 0 0 的周期 T 13 函数的周期 最值 单调区间 图象变换sin yx 14 辅助角公式 其中 sin cossin 22 xbaxbxay a b tan 15 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 16 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 17 三角形面积公式 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 18 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 19 与的数量积 或内积 ab cos baba 3 20 平面向量的坐标运算 1 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 2 设 则 a 11 x yb 22 xyba 2121 yyxx 3 设 则a yx 22 yxa 21 两向量的夹角公式公式 设 且 则a 11 x yb 22 xy0 b 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos yxyx yyxx ba ba 22 向量的平行与垂直 ba ab 1221 0 x yx y 0 aba 0 ba 1212 0 x xy y 三 数列 23 数列的通项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 24 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 25 等差数列其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 26 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 27 等比数列前 n 项的和公式为 或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 四 不等式 28 已知都是正数 则有 当时等号成立 yx xy yx 2 yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 4 五 解析几何 29 直线的五种方程 1 点斜式 点斜式 直线直线 过点过点 且斜率为 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 2 斜截式 斜截式 b b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 30 两条直线的平行和垂直 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 31 平面两点间的距离公式 A B A B d 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 32 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 33 圆的三种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 34 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 弦长 0 交交rd 22 2dr 其中 22 BA CBbAa d 35 椭圆 双曲线 抛物线的图形 定义 标准方程 几何性质 椭圆 离心率 参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab 222 bca 1 a c e cos sin xa yb 双曲线 a 0 b 0 离心率 渐近线方程是1 2 2 2 2 b y a x 222 bac 1 a c e x a b y 5 抛物线 焦点 准线 抛物线上的点到焦点距离等于它pxy2 2 0 2 p 2 p x 到准线的距离 36 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 x 轴上 焦点在 y 轴上 0 37 抛物线的焦半径公式 pxy2 2 抛物线焦半径 抛物线上的点到焦点距离等于它到准抛物线上的点到焦点距离等于它到准 2 2 0 ypx p 2 0 p xPF 线的距离线的距离 38 过抛物线焦点的弦长 pxx p x p xAB 2121 22 六 立体几何 39 证明直线与直线平行的方法 1 三角形中位线 2 平行四边形 一组对边平行且相等 40 证明直线与平面平行的方法 1 直线与平面平行的判定定理 证平面外一条直线与平面内的一条直线平行 2 先证面面平行 41 证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交两条相交直线分别与另一平面平行 42 证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43 证明直线与平面垂直的方法 1 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面内两条相交两条相交直线垂直 2 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直 一个平面内垂直交线的直线垂直另 一个平面 44 证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线与另一个平面垂直 45 柱体 椎体 球体的侧面积 表面积 体积计算公式 圆柱侧面积 表面积 rl 2 2 22rrl 圆椎侧面积 表面积 rl 2 rrl 是柱体的底面积 是柱体的高 1 3 VSh 柱体 Sh 是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 VSh 锥体 Sh 球的半径是 则其体积 其表面积 R 3 4 3 VR 2 4SR 46 异面直线所成角 直线与平面所成角 二面角的平面角的定义及计算 47 点到平面距离的计算 定义法 等体积法 48 直棱柱 正棱柱 长方体 正方体的性质 侧棱平行且相等 与底面垂直 6 正棱锥的性质 侧棱相等 顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 七 概率统计 49 平均数 方差 标准差的计算 平均数平均数 方差方差 n xxx x n 21 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 标准差标准差 1 22 2 2 1 xxxxxx n s n 50 回归直线方程 其中 yabx 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx 51 独立性检验 2 2 dbcadcba bdacn K 52 古典概型的计算 必须要用列举法 列表法 树状图的方法把所有基本事件表示出来 不重复 不遗漏 八 复数 53 复数的除法运算 22 dc iadbcbdac dicdic dicbia dic bia 54 复数的模 zabi z abi 22 ab 数学必背公式 二 数学必背公式 二 一 公式和结论一 公式和结论 1 指数运算性质 指数运算性质 aaa nmnm a a mn n m baab nn n Rnmba 0 0 2 对数运算性质 对数运算性质 logaM logaN logaMN logaM logaN loga alogaN N logaM N M a b M b log log M a M a log0 0 1 1 0 0 NMbaba 3 等差数列 等差数列 1 1 n aand nm aanm d nm aa d nm mn 若 且 则 mnpqN mnpq mnpq aaaa 7 1 1 1 22 n n n aan n Snad 是等差数列是等差数列 d 为常数 an d aa nn 1aaannn21 2 p q 为常数 A B 为常数 qpn an BnAn Sn 2 4 4 等比数列 等比数列 q aa n n 1 1 q aa mn mn 0 qNnm 若 且 则mnpqN mnpq aaaa qpnm q 1 q q a S n n 1 1 1 q aa S n n 1 1 1 q aS n n1 是等比数列是等比数列 q 为常数 不 an q a a n n 1 aaa nnn2 2 1 aaa nnn21 等于 0 c q 为非 0 常数 A B 为非 0 常数 q a n n c BAq S n n A B 0 1 q 5 绝对值不等式定理 绝对值不等式定理 bababa 6 弧长公式与扇形面积公式 弧长公式与扇形面积公式 ral rS alr 2 2 1 2 1 扇形 7 诱导公式 诱导公式 与 a 的三角函数间的关系式即为诱导公式 口诀 函数名奇变偶不变 Zk k 2 符号看象限 8 同关系角公式 同关系角公式 cot 1 tan sec 1 cos csc 1 sin sin cos cot cos sin tan csccotsectancossin 222222 1 1 1 9 和 差 角公式 和 差 角公式 sincoscossinsin sinsincoscoscos tantan1 tantan tan 10 倍角公式 倍角公式 8 sincossincos 2222 21122cos cossin22sin tan 2 1 tan2 2tan 化简公式 化简公式 2 0tansincossin 22 a b baRba ba 且则若 11 不等式的性质 不等式的性质 1 三条公理 0 0 0 baba baba baba 2 五条基本性质 对称性 abbaabba 传递性 cacba 移向法则 bacbca 乘法法则 bcaccba bcaccba 0 0 且 且 倒数法则 ba baab 11 0 且 六条基本性质 加法 dbcadcba 且 减法 cbdadcba 且 乘法 bdacdcba 00且 除法 c b d a dcba 00且 乘方 00 ba nn Nnba且 开方 00 nn baNnba且 均值不等式 2 22 号不等式取时当且仅当 baRbaab ba 2号不等式取时当且仅当 baRbaabba 9 2 22 2 2 号不等式取时当且仅当 baRba ba ba 2 2 2 号不等式取时当且仅当 baRba ba ba 2 2222 号不等式取时当且仅当 b d a c Rbabdac dcba 12 不等式的解法 不等式的解法 1 一元二次不等式的解集与一元二次方程的对应关系 解集 0 0 0 x x1 或 x x2x1 x2 2 b a 无实数根 ax2 bx c 0 x xx2 x x 2 b a R ax2 bx c 0 x x1 x x2 2 分式不等式 0 0 0 0 xgxfxgxf xg xf xg xf 00 00 0 0 xgxgxfxgxgxf xg xf xg xf 且且 3 无理不等式 0 0 0 0 2 xg xf xxf xg xf xgxf g 或 xxf xg xf xgxf g 2 0 0 4 指数不等式 解 集 10 xgxf a aa xgxf 时当 1 xgxf a aa xgxf 时当10 5 对数不等式 xgxf xg xf aa a xgxf 0 0 1loglog时当 xgxf xg xf aa a xgxf 0 0 10loglog时当 6 绝对值不等式 xgxfxgxfxgxf 或 xgxfxgxgxf xxxgxf gf 22 13 正余弦定理 正余弦定理 为外接圆半径RR C c B b A a 2 sinsinsin Abc cba cos2 222 14 三角形面积公式 三角形面积公式 AbcBacCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 高底 15 平面向量 平面向量 ACBCAB ABOAOB 12122211 y yxx yx yxAB AB 则两点的坐标分别为设 设 x1 y1 x2 y2 则 a yx a 2 22 11 x1 x2 y1 y2 bababa0 cos 且 x1 y2 x2 y1 0 x1 x2 y1 y2 0 16 平移公式 平移公式 如果点 P x y 按向量 h k 平移至则 yxP kyy hxx 11 17 定比分点公式 定比分点公式 x1 y1 x2 y2 点 P x y 分 所成的比为 即则 PBAP 1 1 2121 yy y xx x 18 距离公式 距离公式 2121 22 21222111yyxx PP yx P yxP 则设 BA CByAx dCBy Ax yxP 22 00 00 0 的距离公式到直线点 BA CC dCBy AxCBy Ax 22 21 1211 00 的距离公式与平行线 19 斜率公式 斜率公式 设直线 A 0 的倾斜角为 900 方向向量为0 CBy Ax v a b a 0 直线上有两个点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 则直线的 斜 率 21 21 tan xx yy a b B A k 20 两直线平行或垂直的充要条件 两直线平行或垂直的充要条件 00 22221111 CyBx ACyBx A 与两直线已知 1 2 122112211221 CBCBCACABABA 或且 0 212121 BBAA 21 弦长公式 弦长公式 21 2 2 21 2 21 2 2 21 2 22 2211 4 21 1 1 1 1 4 21 11 2121 0 yyyy xxxxAB yxB yxAyxfCbkx y yy kk xx kk yyxx 则弦长两点相交与与曲线直线 22 概率公式 概率公式 n m AP 1 AA APPAP BPAPBAP knkk nn pPCkP 1 23 平面的基本性质 平面的基本性质 12 公理公理 1 BA BA 公理公理 2 PP且 公理公理 3 点 点 A B C 不共线 则有且只有一个平面不共线 则有且只有一个平面 使 使 且 且 BA C 推论推论 1 有且只有一个平面有且只有一个平面 使 使 aA aaA 推论推论 2 有且只有一个平面有且只有一个平面 使 使 pba ba 推论推论 3 有且只有一个平面有且只有一个平面 使 使 ba ba 公理公理 4 cacbba 24 等角定理 等角定理 或或与与互补 互补 BOAOBOA AOBBOAO AOB BOA 25 直线和平面平行的判定和性质定理 直线和平面平行的判定和性质定理 判定定理 若判定定理 若 则 则 baba a 性质定理 若性质定理 若 则 则 baa ba 26 直线和平面垂直的判定和性质定理 直线和平面垂直的判定和性质定理 判定定理 若判定定理 若 则 则 baPbaba 性质定理 若性质定理 若 则 则 ba ba 27 两个平面平行的判定和性质定理 两个平面平行的判定和性质定理 判定定理 若判定定理 若 则 则 baAbaba 性质定理 若性质定理 若 则 则 ba ba 28 两个平面垂直的判定和性质定理 两个平面垂直的判定和性质定理 判定定理 直线判定定理 直线 则 则 aa且 性质定理 性质定理 则 则 bab a 29 三垂线定理 三垂线定理 于于 B ABACbBCbbC 30 排列数公式 排列数公式 1 2 1 NA nmnm mn n mnnnn m n 13 31 组合数的公式和性质 组合数的公式和性质 公式 公式 1 2 1 NC nmnm mnm n m mnnnnm n 性质性质 1 1 0 CCC n mn n m n 特殊的规定 性质性质 2 CCC m n m n m n 1 1 32 二项式定理 二项式定理 bCbaCbaCaCba nn n rrnr n n n n n n 11 10 N n 二项式系数的和为 二项式系数的和为 2 10nn n r nnnCCCC 二项展开式的通项公式 二项展开式的通项公式 baCT rrnr nr 1 0 N rnr 33 概率与统计 概率与统计 1 期望 期望 n x xxx n 21 2 方差 方差 x x x x x x s n n 222 2 21 1 3 标准差 标准差 x x x x x x n n s 222 21 1 34 函数导数的四则运算法则 函数导数的四则运算法则 xx gfxgxf 35 导数基本公式 导数基本公式 C 为常数 为常数 C 为常为常 0 C 1 Nnn n xx n xCf xCf 数 数 36 法向量的应用 法向量的应用 1 若直线 若直线上有两个点上有两个点 A B 平面 平面的法向量为的法向量为 则直线 则直线与平面与平面所成角所成角 n 等于等于 nAB nAB arcsin 2 若平面 若平面 的法向量分别为的法向量分别为 则 则与与所成二面角等于所成二面角等于 m n 或或 nm nm arccos nm nm arccos 3 若平面 若平面的法向量为的法向量为 直线 直线 AB 是平面是平面的斜线 的斜线 则点 则点 B n BA 14 到平面到平面的距离的距离 n nAB d 4 若 若是异面直线是异面直线的公垂线的方向向量 的公垂线的方向向量 A B 分别是分别是上的点 则异上的点 则异 n 21 21 面直线面直线的距离的距离 21到 n nAB d 37 取值范围 取值范围 线面角 线面角 斜线与平面所成角 斜线与平面所成角 2 0 2 0 二面角 二面角 两个向量之间的夹角 两个向量之间的夹角 0 0 直线的倾斜角 直线的倾斜角 0 异面直线所成角 异面直线所成角 2 0 38 任意数列的第 任意数列的第 n n 项与前项与前 n n 项和的关系 项和的关系 2 1 1 1 n n SS S a nn n 二 图象和结论二 图象和结论 1 正反词语 正反词语 下面给出一些关键词的否定 正面 语词 等于大于小于是 全 都是 至少一 个 至多 一个 否定 不等 于 不大于 小于等于 不小于 大于等于 不是 不全 不都 是 一个也 没有 至少 两个 2 对数函数图象 对数函数图象 图 象 1a 01a 15 cosyx xR 2 3 2 2 3 2 1 定义域 0 2 值域 R 3 过点 即当时 1 0 1 x0 y 4 在 0 上是增函数 4 在上是减函数 0 性 质 5 0 x 1 时 y1 时 y 0 5 0 x0 x 1 时 y 0 3 指数函数图象 指数函数图象 指 数 函 数 1a a x y 01a a x y 图 象 1 定义域 R 2 值域 0 3 过点 即时 0 1 0 x 1y 4 在上是增函数R 4 在上是减函数R 性 质 5 x 0时 0 y0 时 y 1 5 x1 x 0 时 0 y0 参参 数数 方方 程程 sin cos rby rax ba rr 0 一一 般般 方方 程程 0 2 2 FEyDx y x 2 2 EDF ED 4 2 122 04 22 F ED 1 点 点与圆与圆的位置关系 的位置关系 y x P 0 0 1 22 byax C 若若 则点 则点在圆在圆 C 上 上 1 00 2 2 bya x y x P 0 0 若若 则点 则点在圆在圆 C 外 外 1 00 2 2 bya x y x P 0 0 若若 则点 则点在圆在圆 C 内 内 1 00 2 2 bya x y x P 0 0 2 直线 直线与圆与圆的位置关系 的位置关系 0 CByAx 1 22 byax C 18 联立联立 消去消去 y 得 得 0 0 22 byax CByAx 则 则 直线 直线与圆与圆C的位置关系 的位置关系 0 11 2 1 ACx x CAB 11 2 4 1 相交 相交 相切相切 相离相离 0 0 0 圆心圆心到直线到直线 的距离为的距离为 则直线 则直线与圆与圆C的位置关系 的位置关系 baC d 相交 相交 相切相切 相离相离 rd rd rd 3 圆 圆与圆与圆的位置的位置 rb y a xC 1 22 1 11 rb y a xC 2 22 2 22 关系 关系 相交 相交 相离 相离 rrCCrr212121 rrCC2121 外切 外切 内切 内切 rrCC2121 2121rrCC 4 半弦长与弦心距的平方和等于半径的平方 半弦长与弦心距的平方和等于半径的平方 5 弦的垂直平分线经过圆心 弦的垂直平分线经过圆心 6 圆心到切线的距离等于半径 圆心到切线的距离等于半径 8 椭圆 椭圆 第一定义第一定义 FFFF aaMMM 2121 2 2 第二定义第二定义 1 0 2 2 1 1 ee M M M M M FF 的距离到点的距离到点 标准标准方程方程1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 参数方程参数方程 sin cos by a