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第四章金属自由电子理论 解 1 由周期性边界条件得 每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子 则在面积元 中 容纳电子数为 又 所以E到E dE之间的状态数 2 在E到E dE内的电子数为dN 在绝对零度时 则 4 2设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由粒子 试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件 求状态密度的表示式 解 电子在方匣中运动 设其势函数 可写为 则薛定谔方程 1 令 2 3 代入 1 式可得 4 应用驻波边界条件 可得驻波解为 式中波矢的各分量分别为 5 这里 为任意正整数 因而 也只取正值 由 5 式得知 间中一个状态代表点所占体积为 代表金属体体积 由上式知道 空间中的状态密度等于8V 这样 如计 入自旋 之间的状态数 从 2 式知道 于是 状态密度为 6 另一方面 若应用周期性边界条件 则从 3 4 两式可得行波解 波矢各分量分别为 7 取正负整数 电子的能量仍然表示为 从 7 式知道 在 空间中 每个状态代表点所占体积为 因而 空间中的状态密度为V 计入自旋 之间的 状态数为 故状态密度 8 对比 6 8 两式知道 利用驻波边界条件和周期性边界条件求出的状态密度表示式是一样的 4 3金属锂是体心立方晶格 晶格常数为a 3 5埃 试计算绝对零度时锂的电子气的费米能量 以电子伏特表示 解 体心立方 又 所以 解 低温下 金属摩尔热容量为 因 所以 可得 解 因为 能量为E的等能面的方程式可写为 椭球的体积为 得椭球内所含状态数 为 之间的状态数为 1 解一维薛定谔方程 1 令 2 解 从 1 式解得 利用周期性边界条件 得到 从上式可求得电子态在k空间的密度 从 2 式又知道 3 可见能量E是波矢 的偶函数 和 对应同一能级 因而 在能量区间 内的电子态数 4 式中 为电子的能态密度 即 代入 4 式 成为 由 3 式得 于是得 计及电子的自旋 则得到能态密度为 2 电子服从费密统计 故应有 当T 0K时 费密分布函数 因此 5 3 按照定义 电子的平均能量 T 0K 利用 5 式化简 从上式即得 1 处于k状态的自由电子能量为 k为 电子波矢 由此得到 费密球内 证明 当T 0K时 电子全部占据费密球内各态 空间中 状态密度等于V 计入自旋 在波矢 的球壳内的状态数为 在 电子的总能量 于是 1 由此得到空间能量密度为 2 因为费密球内电子的总数 2 把 2 式代入 1 式便得电子的平均能量 设g E 为单位体积样品的状态密度 当系统由0K加热直至 温度T时 1 式中的f E 是费密分布函数 的积分可利用如下的积分公式求得 如 有 解 它的总能量 1 式已经过部分积分 其中最后 式中y E 为能量E的某一函数 从 1 式立即得到 2 因为在通常讨论的温度范围 随温度的变化甚微而可以忽
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