高中导数题的解题技巧

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 导数题的解题技巧 命题趋向 导数命题趋势 导数命题趋势 导数应用 导数 函数单调性 函数极值 函数最值 导数的实际应用导数应用 导数 函数单调性 函数极值 函数最值 导数的实际应用 考点透视 1 了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 掌握函数在一点处的导数的 定义和导数的几何意义 理解导函数的概念 2 熟记基本导数公式 掌握两个函数和 差 积 商的求导法则 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数 的导数 3 理解可导函数的单调性与其导数的关系 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 导数在极值点 两侧异号 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 例题解析 考点 1 导数的概念 对概念的要求 了解导数概念的实际背景 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义 理解导函数的概念 例 1 2006 年辽宁卷 与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为 2 21 0 xx yeex yx A B C D ln 1 yx ln 1 yx ln 1 yx ln 1 yx 考查目的考查目的 本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解 同时还考查了转化能力 解答过程解答过程 22 21 0 1 xxx yeexey 0 1 x xe 即 所以 1ln 1 x eyxy 1 ln 1 fxx 故选 A 例 2 2006 年湖南卷 设函数 集合 M P 若 M P 则实数 a 的取值范围是 1 xa f x x 0 x f x 0 x fx A 1 B 0 1 C 1 D 1 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力 解答过程解答过程 由 0 1 1 1 xa xaax x 当a 1时当a 1时 22 11 0 11 11 1 xxaxaxaa yy xx xx a 综上可得 M P 时 1 a 考点 2 曲线的切线 1 关于曲线在某一点的切线 求曲线 y f x 在某一点 P x y 的切线 即求出函数 y f x 在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率 2 关于两曲线的公切线 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 若一直线同时与两曲线相切 则称该直线为两曲线的公切线 典型例题 例 3 2004 年重庆卷 已知曲线 y x3 则过点 P 2 4 的切线方程是 3 1 3 4 思路启迪思路启迪 求导来求得切线斜率 解答过程 解答过程 y x2 当 x 2 时 y 4 切线的斜率为 4 切线的方程为 y 4 4 x 2 即 y 4x 4 答案 4x y 4 0 例 4 2006 年安徽卷 若曲线的一条切线 与直线垂直 则 的方程为 4 yx l480 xy l A B 430 xy 450 xy C D 430 xy 430 xy 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力 解答过程解答过程 与直线垂直的直线 为 即在某一点的导数为 4 而 所以在 480 xy l40 xym 4 yx 3 4yx 4 yx 1 1 处导数为 4 此点的切线为 430 xy 故选 A 例 5 2006 年重庆卷 过坐标原点且与 x2 y2 4x 2y 0 相切的直线的方程为 2 5 A y 3x 或 y x B y 3x 或 y x C y 3x 或 y x D y 3x 或 y x 3 1 3 1 3 1 3 1 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程 直线方程等基础知识的应用能力 解答过程解答过程 解法 1 设切线的方程为 0 ykxkxy 又 225 21 2 1 2 xy 圆心为 2 2 2151 3830 3 23 1 k kkkk k 1 3 3 yxyx 或 故选 A 解法 2 由解法 1 知切点坐标为由 133 1 222 2 2 2 11323 1 222 2 5 2 1 2 2 2 210 2 1 1 3 3 1 3 3 x x x x xx xy xyy x y y kyky yx yx 故选 A 例 6 已知两抛物线 取何值时 有且只有一条公切线 求出此时公切线的方程 axyCxxyC 2 2 2 1 2 a 1 C 2 C 思路启迪思路启迪 先对求导数 axyCxxyC 2 2 2 1 2 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解答过程 解答过程 函数的导数为 曲线在点 P 处的切线方程为 xxy2 2 22 xy 1 C 1 2 11 2 xxx 即 2 2 2 111 2 1 xxxxxy 2 11 1 2xxxy 曲线在点 Q的切线方程是即 1 C 2 22 axx 2 222 xxxaxy axxxy 2 22 2 若直线 是过点 P 点和 Q 点的公切线 则 式和 式都是 的方程 故得ll 消去得方程 1 1 2 2 2 121 xxxx 2 x0122 1 2 1 axx 若 即时 解得 此时点 P Q 重合 0 1 244 a 2 1 a 2 1 1 x 当时 和有且只有一条公切线 由 式得公切线方程为 2 1 a 1 C 2 C 1 4 yx 考点 3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数 导数是研究函数性质的重要而有力的工具 特别是对于 函数的单调性 以 导数 为工具 能对其进行全面的分析 为我们解决求函数的极值 最值提供了一种简明易行的 方法 进而与不等式的证明 讨论方程解的情况等问题结合起来 极大地丰富了中学数学思想方法 复习时 应高度重 视以下问题 1 求函数的解析式 2 求函数的值域 3 解决单调性问题 4 求函数的极值 最值 5 构造函数证明不等式 典型例题 例 7 2006 年天津卷 函数的定义域为开区间 导函数在内的图象如图所示 则函数在开 xf ba x f ba xf 区间内有极小值点 ba A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考查目的考查目的 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力 解答过程解答过程 由图象可见 在区间内的图象上有一个极小值点 0 a 故选 A 例 8 设为三次函数 且图象关于原点对称 当时 yf x x 1 2 的极小值为 f x 1 求出函数的解析式 f x 思路启迪思路启迪 先设 再利用图象关于原点对称确定系数 f xaxbxcxd a 32 0 解答过程 解答过程 设 因为其图象关于原点对称 即 f xaxbxcxd a 32 0fx 得 f x a b x y xfy O a b x y xfy O 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 axbxcxdaxbxcxd bdf xaxcx 3232 3 00 即 由 fxaxc 3 2 依题意 fac 1 2 3 4 0 fa c 1 2 1 82 1 解之 得 ac 43 故所求函数的解析式为 f xxx 43 3 例 9 函数的值域是 yxx 243 思路启迪思路启迪 求函数的值域 是中学数学中的难点 一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解 也可以利用函数 的单调性求出最大 最小值 此例的形式结构较为复杂 采用导数法求解较为容易 解答过程 解答过程 由得 即函数的定义域为 240 30 x x x 2 2 y xx xx xx 1 24 1 23 2324 2 243 又 2324 28 2324 xx x xx 当时 x 2y 0 函数在上是增函数 而 的值域是 yxx 243 2f 21 yxx243 1 例 10 2006 年天津卷 已知函数 其中为参数 且 cos 16 3 cos34 23 xxxf Rx 20 1 当时 判断函数是否有极值 0cos xf 2 要使函数的极小值大于零 求参数 的取值范围 f x 3 若对 2 中所求的取值范围内的任意参数 函数在区间内都是增函数 求实数的取值范围 xf aa 12 a 考查目的考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值 解不等式等基础知识 考查综合分析和解 决问题的能力 以及分类讨论的数学思想方法 解答过程解答过程 当时 则在内是增函数 故无极值 cos0 3 4f xx f x 令 得 2 126 cosfxxx 0fx 12 cos 0 2 xx 由 只需分下面两种情况讨论 当时 随 x 的变化的符号及的变化情况如下表 cos0 fx f x x 0 0cos 0 2 cos 2 cos 2 fx 0 0 f x 极大值 极小值 因此 函数在处取得极小值 且 f x cos 2 x cos f 2 3 cos13 cos 2416 f 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 要使 必有 可得 cos 0 2 f 2 13 cos cos 0 44 3 0cos 2 由于 故 3 0cos 2 311 6226 或 当时 随 x 的变化 的符号及的变化情况如下表 cos0 fx f x x cos 2 cos 2 cos 0 2 0 0 fx 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 因此 函数处取得极小值 且 0f xx 在 0 f 3 0 cos 16 f 若 则 矛盾 所以当时 的极小值不会大于零 0 0f cos0 cos0 f x 综上 要使函数在内的极小值大于零 参数 的取值范围为 f x 311 6 226 III 解 由 II 知 函数在区间与内都是增函数 f x cos 2 由题设 函数内是增函数 则 a 须满足不等式组 21 f xaa 在 或 21 0 aa a 21 1 21cos 2 aa a 由 II 参数时时 要使不等式关于参数 恒成立 必有 311 6 226 3 0cos 2 1 21cos 2 a 3 21 4 a 即 43 8 a 综上 解得或 0a 43 1 8 a 所以的取值范围是 a 43 0 1 8 例 11 2006 年山东卷 设函数 f x ax a 1 ln x 1 其中 a 1 求 f x 的单调区间 考查目的考查目的 本题考查了函数的导数求法 函数的极值的判定 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程解答过程 由已知得函数的定义域为 且 f x 1 1 1 1 ax fxa x 1 当时 函数在上单调递减 10a 0 fx f x 1 2 当时 由解得0a 0 fx 1 x a 随的变化情况如下表 fx f xx x 1 1 a 1 a 1 a fx 0 f x A 极小值A 从上表可知 当时 函数在上单调递减 1 1 x a 0 fx f x 1 1 a 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 当时 函数在上单调递增 1 x a 0 fx f x 1 a 综上所述 当时 函数在上单调递减 10a f x 1 当时 函数在上单调递减 函数在上单调递增 0a f x 1 1 a f x 1 a 例 12 2006 年北京卷 已知函数在点处取 32 f xaxbxcx 0 x 得极大值 其导函数5 的图象经过点 如图所示 求 yfx 1 0 2 0 的值 0 x 的值 a b c 考查目的考查目的 本小题考查了函数的导数 函数的极值的判定 闭区间上二次函数的最值 函数与 方程的转化等基础知识的综合应用 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程解答过程 解法一 由图像可知 在上 在上 在上 1 0fx 1 2 0fx 2 0fx 故在上递增 在上递减 f x 1 2 1 2 因此在处取得极大值 所以 f x 1x 0 1x 2 32 fxaxbxc 由 fff 1 0 2 0 1 5 得 320 1240 5 abc abc abc 解得 2 9 12 abc 解法二 同解法一 设 2 1 2 32 fxm xxmxmxm 又 2 32 fxaxbxc 所以 3 2 32 m abm cm 32 3 2 32 m f xxmxmx 由即得 1 5f 3 25 32 m mm 6 m 所以 2 9 12abc 例 13 2006 年湖北卷 设是函数的一个极值点 3 x Rxebaxxxf x 32 求 与 的关系式 用 表示 并求的单调区间 abab xf 设 若存在使得成立 求 的取值范围 0 a x eaxg 4 25 2 4 0 21 1 21 gfa 考查目的考查目的 本小题主要考查函数 不等式和导数的应用等知识 考查综合运用数学知识解决问题的能力 解答过程解答过程 f x x2 a 2 x b a e3 x 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 由 f 3 0 得 32 a 2 3 b a e3 3 0 即得 b 3 2a 则 f x x2 a 2 x 3 2a a e3 x x2 a 2 x 3 3a e3 x x 3 x a 1 e3 x 令 f x 0 得 x1 3 或 x2 a 1 由于 x 3 是极值点 所以 x a 1 0 那么 a 4 当 a3 x1 则 在区间 3 上 f x 0 f x 为增函数 在区间 a 1 上 f x 4 时 x2 3 x1 则 在区间 a 1 上 f x 0 f x 为增函数 在区间 3 上 f x 0 时 f x 在区间 0 3 上的单调递增 在区间 3 4 上单调递减 那么 f x 在区 间 0 4 上的值域是 min f 0 f 4 f 3 而 f 0 2a 3 e30 f 3 a 6 那么 f x 在区间 0 4 上的值域是 2a 3 e3 a 6 又在区间 0 4 上是增函数 2 25 4 x g xae 且它在区间 0 4 上的值域是 a2 a2 e4 4 25 4 25 由于 a2 a 6 a2 a 2 0 所以只须仅须 4 25 4 1 2 1 a a2 a 6 0 解得 0 a0 时 f 0 为极大值 C b 0 D 当 a 0 时 f 0 为极小值 11 已知函数 y 2x3 ax2 36x 24 在 x 2 处有极值 则该函数的一个递增区间是 A 2 3 B 3 C 2 D 3 12 方程 6x5 15x4 10 x3 1 0 的实数解的集合中 A 至少有 2 个元素 B 至少有 3 个元素 C 至多有 1 个元素 D 恰好有 5 个元素 二 填空题 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 13 若 f x0 2 k xfkxf k2 lim 00 0 14 设 f x x x 1 x 2 x n 则 f 0 15 函数 f x loga 3x2 5x 2 a 0 且 a 1 的单调区间 16 在半径为 R 的圆内 作内接等腰三角形 当底边上高为 时它的面积最大 三 解答题 17 已知曲线 C y x3 3x2 2x 直线 l y kx 且 l 与 C 切于点 x0 y0 x0 0 求直线 l 的方程及切点坐标 18 求函数 f x p2x2 1 x p p N 在 0 1 内的最大值 19 证明双曲线 xy a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数 20 求函数的导数 1 y x2 2x 3 e2x 2 y 3 1x x 21 有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上 假设其下端沿地板以 3 m s 的速度离开墙脚滑动 求当其下端离开 墙脚 1 4 m 时 梯子上端下滑的速度 22 求和 Sn 12 22x 32x2 n2xn 1 x 0 n N 23 设 f x ax3 x 恰有三个单调区间 试确定 a 的取值范围 并求其单调区间 24 设 x 1 与 x 2 是函数 f x alnx bx2 x 的两个极值点 1 试确定常数 a 和 b 的值 2 试判断 x 1 x 2 是函数 f x 的极大值还是极小值 并说明理由 25 已知 a b 为实数 且 b a e 其中 e 为自然对数的底 求证 ab ba 26 设关于 x 的方程 2x2 ax 2 0 的两根为 函数 f x 1 4 2 x ax 1 求 f f 的值 2 证明 f x 是 上的增函数 3 当 a 为何值时 f x 在区间 上的最大值与最小值之差最小 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 参考答案 一 1 解析 y esinx cosxcos sinx cosxsin sinx y 0 e0 1 0 1 答案 B 2 解析 设切点为 x0 y0 则切线的斜率为 k 另一方面 y 故 0 0 x y 5 9 x x 2 5 4 x y x0 k 即或 x02 18x0 45 0 得 x0 1 3 y0 2 15 对应有 y0 1 3 y0 2 因此得两个切点 5 9 5 4 00 0 0 0 2 0 xx x x y x 5 3 515 915 A 3 3 或 B 15 从而得 y A 1 及 y B 由于切线过原点 故得切线 lA y x 或 5 3 3 53 4 25 1 515 4 2 lB y 25 x 答案 A 3 解析 由 1 故存在含有 0 的区间 a b 使当 x a b x 0 时 0 于是当 x a 0 时 f 0 0 当 x 0 b 时 x f x 0 lim 0 x f 0 f 0 0 这样 f x 在 a 0 上单增 在 0 b 上单减 答案 B 4 解析 f n x 2xn2 1 x n n3x2 1 x n 1 n2x 1 x n 1 2 1 x nx 令 f n x 0 得 x1 0 x2 1 x3 易知 fn x 在 x n 2 2 时取得最大值 最大值 fn n2 2 1 n 4 n 1 n 2 2 n 2 2 n 2 2 n 2 2 n 2 2 答案 D 5 B 6 A 7 B 8 D 9 B 10 C 11 B 12 C 二 13 解析 根据导数的定义 f x0 这时 k xfkxf k lim 00 0 kx 1 2 1 lim 2 1 2 1 lim 2 lim 0 00 0 00 0 00 0 xf k xfkxf k xfkxf k xfkxf k kk 答案 1 14 解析 设 g x x 1 x 2 x n 则 f x xg x 于是 f x g x xg x f 0 g 0 0 g 0 g 0 1 2 n n 答案 n 15 解析 函数的定义域是 x 或 x 2 f x 3x2 5x 2 3 1 253 log 2 xx e a 2 13 log 56 xx ex a 若 a 1 则当 x 时 logae 0 6x 5 0 3x 1 x 2 0 f x 0 函数 f x 在 上是增函数 x 2 时 f x 3 1 3 1 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 0 函数 f x 在 2 上是减函数 若 0 a 1 则当 x 时 f x 0 f x 在 上是减函数 当 x 2 时 3 1 3 1 f x 0 f x 在 2 上是增函数 答案 2 16 解析 设圆内接等腰三角形的底边长为 2x 高为 h 那么h AO BO R 解得 22 xR x2 h 2R h 于是内接三角形的面积为 S x h 2 2 432 hRhhhRh 从而 2 2 2 1 43 2 1 43 hRhhRhS 3 2 32 2 1 43 2 23 46 2 2 1 hhR hRh hRhhRh 令 S 0 解得 h R 由于不考虑不存在的情况 所在区间 0 2R 上列表如下 2 3 h 0 R 2 3 R 2 3 2R 2 3 S 0 S增函数最大值减函数 由此表可知 当 x R 时 等腰三角形面积最大 2 3 答案 R 2 3 三 17 解 由 l 过原点 知 k x0 0 点 x0 y0 在曲线 C 上 y0 x03 3x02 2x0 0 0 x y x02 3x0 2 y 3x2 6x 2 k 3x02 6x0 2 0 0 x y 又 k 3x02 6x0 2 x02 3x0 2 2x02 3x0 0 x0 0 或 x0 0 0 x y 2 3 由 x 0 知 x0 2 3 y0 3 3 2 2 k 2 3 2 3 2 3 8 3 0 0 x y 4 1 l 方程 y x 切点 4 1 2 3 8 3 18 x p2 2 x1 xp x f 1p2 令 f x 0 得 x 0 x 1 x p2 2 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 在 0 1 上 f 0 0 f 1 0 2p p2 p 4 p2 2 f p2 max p2 p 4 x f 19 设双曲线上任一点 P x0 y0 2 0 2 xx x a yk 0 切线方程 xx x a yy 0 2 0 2 0 令 y 0 则 x 2x0 令 x 0 则 0 2 x a2 y 2 a2 y x 2 1 S 20 解 1 注意到 y 0 两端取对数 得 lny ln x2 2x 3 lne2x ln x2 2x 3 2x 2 2 32 32 2 2 32 2 2 3 2 2 2 2 32 22 2 32 32 1 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 x x exx exx xx xx y xx xx y xx xx xx x xx xx y y 2 两端取对数 得 ln y ln x ln 1 x 3 1 两边解 x 求导 得 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 11 3 11 3 x x xx y xx y xxxx y y 21 解 设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米 则 s 5 当下端移开 1 4 m 时 t0 2 925t 15 7 3 41 又 s 25 9t2 9 2t 9t 2 1 2 1 2 925 1 t 所以 s t0 9 0 875 m s 2 15 7 925 1 15 7 22 解 1 当 x 1 时 Sn 12 22 32 n2 n n 1 2n 1 当 x 1 时 1 2x 3x2 nxn 1 两边同 6 1 2 1 1 1 1 x nxxn nn 乘以 x 得 x 2x2 3x2 nxn 两边对 x 求导 得 2 21 1 1 x nxxnx nn 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 Sn 12 22x2 32x2 n2xn