卵形线 (严培培)

由圆锥曲线引出的漂亮曲线 卡西尼卵形线的研究一、 学情分析班级为课改实验班，基础较好，且对数学有浓厚的兴趣，每周都有一节数学探究课，学生具备一定的探究能力.二、 教学目标1、学会用图形计算机探究曲线图形，并寻找其性质. 2、掌握卡西尼卵形线的基本特征.三、 教学重点1、用图形计算器探究曲线图形特征与性质. 2、卡西尼卵形线图像特征.四、 教学过程分析问题情境：问题1：在平面直角坐标系中，设，两定点为，动点满足(，且为定值),则点的运动轨迹是什么？操作过程：由学生分组操作，要求对的取值变化观察满足上述条件图像是否能成立，并且观察图像形式：如等结论： （1）当，不成立； （2）当图像是线段；（3）当，图像是以、为焦点椭圆问题2：在平面直角坐标系中，设，两定点为，动点满足(，且为定值)，则点的运动轨迹是什么？操作过程：由学生分组操作，要求对的取值变化观察满足上述条件图像是否能成立，并且观察图像形式；如等结论：（1）当，图像为轴； （2）当图像是以、为焦点的双曲线；（3）当，图像是两条射线；（4）当图像不存在问题引入：探究：在平面直角坐标系中，设，两定点为，动点满足(，且为定值),则点的运动轨迹是什么？代数运算： 由题意可得： 整理得： 解得： （）于是曲线的方程可化为（）实验过程：学生自主改变的值进行试验观察图像，与学生HP图形计算实现互联，从中挑出具有明显区别的进行讨论，（此处实现人机互动）实验结论（学生总结）：对于常数,可讨论如下六种情况：（1）当时，图像变为两个点；（2）当时，图像分为两支封闭曲线，随着的减小而分别向点收缩；（3）当时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线；（4）当时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；（5）当时，与前种情况一样，但曲线中部变平；（6）当时，曲线中部凸起。背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（Cassini Oval），乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝.他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名.卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的一般性定义：是平面内两个定点，平面内满足(，且为定值),则点的轨迹称为卡西尼卵形线.图像特征（1）当时，卡西尼卵形线是双钮线；（2）当时，卡西尼卵形线是两支曲线，随着a值减小，分别向A,B收缩；（3）当时，不自交考题探究（2010北京）曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线过坐标原点；曲线关于坐标原点对称；若点在曲线上，则的面积不大于其中正确命题的序号为_.课堂小结：1、HP图形计算器的曲线图像操作；2、对卡西尼卵形线的认识课后探究：探究1：在平面直角坐