全等三角形中档题

1 倍倍长长中中线线 线线段 造全等段 造全等 1 已知 如图 已知 如图 AD 是是 ABC 的中线 的中线 BE 交交 AC 于于 E 交 交 AD 于于 F 且 且 AE EF 求证 求证 AC BF A BCD E F 分析 要求证的两条线段分析 要求证的两条线段 AC BF 不在两个全等的三角不在两个全等的三角 形中 因此证形中 因此证 AC BF 困难 考虑能否通过辅助线把困难 考虑能否通过辅助线把 AC BF 转化到同一个三角形中 由转化到同一个三角形中 由 AD 是中线 常采是中线 常采 用中线倍长法 故延长用中线倍长法 故延长 AD 到到 G 使 使 DG AD 连 连 BG 再通过全等三角形和等线段代换即可证出 再通过全等三角形和等线段代换即可证出 2 已知在 已知在 ABC 中 中 AD 是是 BC 边上的中线 边上的中线 E 是是 AD 上一点 且上一点 且 BE AC 延长 延长 BE 交交 AC 于于 F 求证 求证 AF EF F E D A B C 提示 倍长提示 倍长 AD 至至 G 连接 连接 BG 证明 证明 BDG CDA 三角形三角形 BEG 是等腰三角形是等腰三角形 3 3 已知 如图 已知 如图 ABC ABC 中 中 AB 5AB 5 AC 3AC 3 则中线 则中线 ADAD 的取的取 值范围是值范围是 D C B A 4 在 在 ABC 中中 AC 5 中线中线 AD 7 则 则 AB 边的取值范围边的取值范围 是是 A 1 AB 29 B 4 AB 24 C 5 AB 19 D 9 AB 19 5 已知 已知 AD AE 分别是分别是 ABC 和和 ABD 的中线 且的中线 且 BA BD 求证 求证 AE AC 2 1 A B C D E 6 6 如图 如图 ABC ABC 中 中 BD DC ACBD DC AC E E 是是 DCDC 的中点 求证 的中点 求证 ADAD 平分平分 BAE BAE EDC B A 7 已知 已知 CD AB BDA BAD AE 是是 ABD 的中的中 线 求证 线 求证 C BAE A B C D E 提示 倍长提示 倍长 AE 至至 F 连结 连结 DF 证明证明 ABE FDE SAS 进而证明进而证明 ADF ADC SAS 8 8 如图 如图 2323 ABC ABC 中 中 D D 是是 BCBC 的中点 过的中点 过 D D 点的直线点的直线 GFGF 交交 ACAC 于于 F F 交 交 ACAC 的平行线的平行线 BGBG 于于 G G 点 点 DE DFDE DF 交 交 ABAB 于点于点 E E 连结 连结 EGEG EF EF 求证 求证 BG CFBG CF 请你判断请你判断 BE CFBE CF 与与 EFEF 的大小关系 并说明理由 的大小关系 并说明理由 2 4 3 2 1 D E A B C E D C B A 12 图 4 2 F D C B A 12 图 4 3 A D B C E 9 如图 如图 AD 为为的中线 的中线 DE 平分平分交交 ABABC BDA 于于 E DF 平分平分交交 AC 于于 F 求证 求证 ADC EFCFBE 一 14 一一 D F CB E A 方法方法 1 在 在 DA 上截取上截取 DG BD 连结 连结 EG FG 证明证明 BDE GDE DCF DGF 所以所以 BE EG CF FG 利用三角形两边之和大于第三边利用三角形两边之和大于第三边 方法方法 2 倍长 倍长 ED 至至 H 连结 连结 CH FH 证明证明 FH EF CH BE 利用三角形两边之和大于第三边利用三角形两边之和大于第三边 1010 如图 如图 ABC ABC 中 中 E E F F 分别在分别在 ABAB ACAC 上 上 DE DFDE DF D D 是中点 试比较是中点 试比较 BE CFBE CF 与与 EFEF 的大小的大小 E D F C B A 11 已知 如图 在 已知 如图 在中 中 D E 在在ABC ACAB BC 上 且上 且 DE EC 过 过 D 作作交交 AE 于点于点BADF F DF AC 求证 求证 AE 平分平分BAC 一 1 一一 A B F D E C 方法方法 1 倍长 倍长 AE 至至 G 连结 连结 DG 方法方法 2 倍长 倍长 FE 至至 H 连结 连结 CH 截截长补长补短短 7 9 作业 已知 四边形作业 已知 四边形 ABCD 中 中 AB CD 1 2 3 4 求证 求证 BC AB CD 1 如图 如图 AD BC 点 点 E 在线段在线段 AB 上 上 ADE CDE DCE ECB 求证 求证 CD AD BC 证明 在证明 在 CDCD 上截取上截取 CF BCCF BC 在在 FCE 与与 BCE 中 中 CECE BCEFCE CBCF FCE BCE SAS 2 1 又又 AD BC ADC BCD 180 A D B C E F 1 2 3 4 3 F D C B A 12 E D C B A 12 DCE CDE 90 2 3 90 1 4 90 3 4 在在 FDE 与与 ADE 中 中 43 DEDE ADEFDE FDE ADE ASA DF DA CD DF CF CD AD BC 2 已知 如图 在 已知 如图 在 ABC 中 中 C 2 B 1 2 求证 求证 AB AC CD D C B A 12 证明 方法一 补短法 证明 方法一 补短法 延长延长 AC 到到 E 使 使 DC CE 则 则 CDE CED ACB 2 E ACB 2 B B E 在在 ABD 与与 AED 中中 ADAD EB 21 ABD AED AAS AB AE 又又 AE AC CE AC DC AB AC DC 方法二 截长法 方法二 截长法 AB 上截取上截取 AF AC 在在 AFD 与与 ACD 中中 ADAD ACAF 21 AFD ACD SAS DF DC AFD ACD 又又 ACB 2 B FDB B FD FB AB AF FB AC FD AB AC CD 3 3 如图 在 如图 在 ABC ABC 中 中 BAC 60 BAC 60 ADAD 是是 BAC BAC 的平的平 分线 且分线 且 AC AB BDAC AB BD 求 求 ABC ABC 的度数的度数 DCB A 4 4 如图 已知在 如图 已知在 ABC ABC 中 中 B 60 B 60 ABC ABC 的角平分的角平分 线线 AD CEAD CE 相交于点相交于点 O O 求证 求证 OE ODOE OD O E D CB A 5 5 已知 已知中 中 分别平分分别平分ABC 60A BDCE 和和 交于点交于点 试判断 试判断 ABC ACB BDCEOBE 的数量关系 并加以证明 的数量关系 并加以证明 CDBC 6 6 如图 已知在 如图 已知在内 内 ABCA P P Q Q 分别在分别在 BCBC CACA 上 上 0 60BAC 0 40C 并且并且 APAP BQBQ 分别是分别是 的角平分线 的角平分线 BAC ABC 求证 求证 BQ AQ AB BPBQ AQ AB BP D O E CB A 4 P Q C B A 7 7 如图在 如图在 ABC ABC 中 中 ABAB ACAC 1 1 2 2 P P 为为 ADAD 上任意上任意 一点 求证一点 求证 AB AC AB AC PB PCPB PC P 2 1 D C B A 8 8 如图 点 如图 点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的所在直线上的MABDAB 任意一点任意一点 点点除外除外 作 作 射线 射线与与B60DMN MN 外角的平分线交于点外角的平分线交于点 与与有怎样的数有怎样的数DBA NDMMN 量关系量关系 角平分角平分线线上的点向角两上的点向角两边边引垂引垂线线段段 1 1 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCDABCD 中 中 BCBC BA ADBA AD CDCD 求证 求证 BAD C 180 BAD C 180 D C B A 2 如图 四边形 如图 四边形 ABCD 中 中 AC 平分平分 BAD CE AB 于于 E AD AB 2AE 则 则 B 与与 ADC 互补互补 为什么 为什么 D B E A C 3 3 如图 如图 4 4 在 在 ABC ABC 中 中 BD CDBD CD ABD ACD ABD ACD 求证求证 ADAD 平分平分 BAC BAC A BC D 4 如图 在 如图 在 ABC 中 中 ABC 100 ACB 20 CE 平分平分 ACB D 是是 AC 上一点 若上一点 若 CBD 20 求 求 ADE 的度数的度数 7 5 作业 已知 作业 已知 AB AD 1 2 CD BC 求证 求证 ADC B 180 一 一 2 1 C B A D 7 6 作业 作业 如图 如图 在在 ABC 中中 A ABC A ACB 的外角平分的外角平分 线交线交 P 求证求证 AP 是是 BAC 的角平分线的角平分线 N EBMA D 5 一 一 一 4 3 2 1 P A B C 7 6 作业 作业 如图如图 B C 90 AM 平分平分 DAB DM 平分平分 ADC 求证求证 点点 M 为为 BC 的中点的中点 连连接法 构造全等三角形 接法 构造全等三角形 7 9 作业 作业 已知 如图所示 已知 如图所示 AB AD BC DC E F 分别是分别是 DC BC 的中点 求的中点 求 证 证 AE AF D B C c A F E 1 如图 直线 如图 直线 AD 与与 BC 相交于点相交于点 O 且 且 AC BD AD BC 求证 求证 CO DO A O DC B 2 已知 如图 已知 如图 16 AB AE BC ED 点 点 F 是是 CD 的中的中 点 点 AF CD 求证 求证 B E A FDC B E 3 如图 如图 11 30 已知 已知 AB AE B E BC ED 点点 F 是是 CD 的中点的中点 求证 求证 AF CD F E DC B A 4 4 在正 在正内取一点内取一点 使 使 在 在外外ABC DDADB ABC 取一点取一点 使 使 且 且 求 求 EDBEDBC BEBA BED 5 如图所示 如图所示 BD DC DE BC 交交 BAC 的平分线于的平分线于 E EM AB EN AC 求证 求证 BM CN A C N E M B D 6 如图 在 如图 在 ABD 和和 ACD 中 中 AB AC B C 求证 求证 ABD ACD A D CB D E CB A 6 全等全等 角平分线性质角平分线性质 1 1 如图 如图 2121 ADAD 平分平分 BAC BAC DE ABDE AB 于于 E E DF ACDF AC 于于 F F 且且 DB DCDB DC 求证 求证 EB FCEB FC 2 已知 如图所示 已知 如图所示 BD 为为 ABC 的平分线 的平分线 AB BC 点 点 P 在在 BD 上 上 PM AD 于于 M PN CD 于于 N 判断 判断 PM 与与 PN 的关系 的关系 P D A C B M N 全等全等 等腰性等腰性质质 1 如图 在 如图 在 ABE ABE 中 中 ABAB AE ADAE AD AC BADAC BAD EAC EAC BCBC DEDE 交于点交于点 O O 求证 求证 1 1 ABC AED ABC AED 2 2 OBOB OEOE 2 已知 如图 已知 如图 B E F C 四点在同一条直线上 四点在同一条直线上 AB DC BE CF B C 求证 求证 OA OD 两次全等两次全等 7 4 作业 作业 AB ACAB AC DB DCDB DC F F 是是 ADAD 的延长线上的一点 的延长线上的一点 求证 求证 BF CFBF CF F D CB A 1 如图 如图 D E F B 在一条直线上在一条直线上 AB CD B D BF DE 求证 求证 1 AE CF 2 AE CF 3 AFE CEF A D F E C B 2 如图 如图 A E F B 四点在一条直线上 四点在一条直线上 AC CE BD DF AE BF AC BD 求证 求证 ACF BDE A B C E F D 3 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCD 中 中 E 是是 AC 上的一点 上的一点 1 2 3 4 求证 求证 5 6 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 E E D D C C B B A A 4 已知如图 已知如图 E F 在在 BD 上 且上 且 AB CD BF DE AE CF O C E B D A 7 求证 求证 AC 与与 BD 互相平分互相平分 由由 BF DF 得 得 BE DF ABE CDF B D 再证再证 AOB COD 得 得 OA OC OB OD 即即 AC BD 互相平分互相平分 5 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCD 中 中 AD BC ABC 90 DE AC 于点于点 F 交 交 BC 于点于点 G 交 交 AB 的延长线于点的延长线于点 E 且 且 AE AC 求证 求证 BG FG A F C B D E G 直角三角形全等 余角性直角三角形全等 余角性质质 作业 如图 在等腰作业 如图 在等腰 Rt ABC中 中 C 90 D是是 斜边上斜边上AB上任一点 上任一点 AE CD于于E BF CD交交 CD的延长线于的延长线于F CH AB于于H点 交点 交AE于于G 求证 求证 BD CG 1 如图 将等腰直角三角形 如图 将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线的直角顶点置于直线 l 上 且过上 且过 A B 两点分别作直线两点分别作直线 l 的垂线 垂足分别为的垂线 垂足分别为 D E 请你在图中找出一对全等三角形 并写出证明它 请你在图中找出一对全等三角形 并写出证明它 们全等的过程 们全等的过程 解 全等三角形为 解 全等三角形为 ACD CBE 证明如下 证明如下 由题意知由题意知 CAD ACD 90 ACD BCE 90 CAD BCE 在在 ACD 与与 CBE 中 中 ADC CEB 90 CAD BCE AC BC ACD CBE AAS 2 如图 如图 ABC 90 AB BC D 为为 AC 上一点 上一点 分别过分别过 A C 作作 BD 的垂线 垂足分别为的垂线 垂足分别为 E F 求证 求证 EF CF AE 证证 ABE BCF 得 得 BE CF AE BF EF BE BF CF AE 3 在 在 ABC 中 中 直线 直线 90ACBBCAC 经过点经过点 且 且于于 于于 MNCMNAD DMNBE E 1 1 当直线当直线绕点绕点旋转到图旋转到图 1 1 的位置时 的位置时 MNC 求证 求证 ADC CEB BEADDE 2 2 当直线当直线绕点绕点旋转到图旋转到图 2 2 的位置时 的位置时 1 1 中的 中的MNC 结论还成立吗 若成立 请给出证明 若不成立 说明结论还成立吗 若成立 请给出证明 若不成立 说明 理由理由 4 如图 如图 BE AC CF AB BM AC CN AB 求证 求证 1 AM AN 2 AM AN A B E OF D C A BC F D E 8 F B C A M N E 1 2 3 4 作平行作平行线线 1 已知 已知 ABC AB AC E F 分别为分别为 AB 和和 AC 延长延长 线上的点 且线上的点 且 BE CF EF 交交 BC 于于 G 求证 求证 EG GF A F C GB E 2 如图 在 如图 在 ABC 中 中 AB AC BD 平分平分 ABC DE BD 于于 D 交 交 BC 于点于点 E 求证 求证 CD BE 2 1 1 5 4 3 2 EF B D C A 证明 过点证明 过点 D 作作 DF AB 交交 BC 于点于点 F BD 平分平分 ABC 1 2 DF AB 1 3 4 ABC 2 3 DF BF DE BD 2 DEF 90 3 5 90 DEF 5 DF EF AB AC ABC C 4 C CD DF CD EF BF 即 即 CD BE 2 1 延延长长角平分角平分线线的垂的垂线线段段 1 如图 在 如图 在 ABC 中 中 AD 平分平分 BAC CE AD 于于 E 求证 求证 ACE B ECD A F D C B E 分析 注意到分析 注意到 AD 平分平分 BAC CE AD 于是可延长 于是可延长 CE 交交 AB 于点于点 F 即可构造全等三角形 即可构造全等三角形 证明 延长证明 延长 CE 交交 AB 于点于点 F AD 平分平分 BAC FAE CAE CE AD FEA CEA 90 在在 FEA 和和 CEA 中 中 FAE CAE AE AE FEA CEA FEA CEA ACE AFE AFE B ECD ACE B ECD 2 如图 如图 ABC 中 中 BAC 90 度 度 AB AC BD 是是 ABC 的平分线 的平分线 BD 的延长线垂直于过的延长线垂直于过 C 点的直线于点的直线于 E 直线 直线 CE 交交 BA 的延长线于的延长线于 F 求证 求证 BD 2CE F E D CB A 3 如图 如图 BAC 90 CE BE AB AC BD 是是 ABC 的平分线 的平分线 求证 求证 BD 2EC 9 鱂 鱂 鱂 D 4 已知 如图 已知 如图 34 ABC 中 中 ABC 90 AB BC AE 是是 A 的平分线 的平分线 CD AE 于于 D 求证 求证 CD AE 2 1 C E B A D 面积法面积法 例例 1 如图如图 1 在 在 ABC 中 中 BAC 的角平分线的角平分线 AD 平平 分底边分底边 BC 求证求证 AB AC 分析 根据已知可知分析 根据已知可知 AD 是是 BAC 的平分线 可通过点的平分线 可通过点 D 作作 BAC 的垂线 根据角平分线的性质 结合三角形的垂线 根据角平分线的性质 结合三角形 的面积进行证明的面积进行证明 证明 证明 过点过点 D 作作 DE AB DF AC 垂足分别为 垂足分别为 E F 因为因为 DA 为为 BAC 的平分线 所以的平分线 所以 DE DF 又因为又因为 AD 平分平分 BC 所以 所以 BD CD 所以所以 S ABD S ACD 又又 S ABD AB DE S ACD AC DF 2 1 2 1 所以所以 AB DE AC DF 所以所以 AB AC 2 如图所示 如图所示 已知已知 D 是等腰是等腰 ABC 底边底边 BC 上的一点上的一点 它它 到两腰到两腰 AB AC 的距离分别为的距离分别为 DE DF CM AB 垂足垂足 为为 M 请你探索一下线段请你探索一下线段 DE DF CM 三者之间的数量三者之间的数量 关系关系 并给予证明并给予证明 E DC B A M F 3 己知 己知 ABC 中 中 AB AC CD AB 垂足为 垂足为 D P 是是 BC 上任一点 上任一点 PE AB PF AC 垂足分别为垂足分别为 E F 求证 求证 PE PF CD PE P F CD F E D C A B G P F E D C A B G P 旋转型旋转型 1 如图 正方形 如图 正方形 ABCD 的边长为的边长为 1 G 为为 CD 边上一动边上一动 点 点点 点 G 与与 C D 不重合 不重合 以以 CG 为一边向正方形为一边向正方形 ABCD 外作正方形外作正方形 GCEF 连接 连接 DE 交交 BG 的延长线于的延长线于 H 求证 求证 BCG DCE BH DE F E D C A B G H 10 N M E F A C B A 2 2 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 1 所示放所示放 置 图置 图 2 2 是由它抽象出的几何图形 是由它抽象出的几何图形 B B C C E E 在同一条在同一条 直线上 连结直线上 连结 DCDC 1 1 请找出图 请找出图 2 2 中的全等三角形 并给予证明 说明 中的全等三角形 并给予证明 说明 结论中不得含有未标识的字母 结论中不得含有未标识的字母 2 2 证明 证明 DC BEDC BE 图 1 图 2 D C E A B 3 1 如图 如图 7 点 点 O 是线段是线段 AD 的中点 分别以的中点 分别以 AO 和和 DO 为边在线段为边在线段 AD 的同侧作等边三角形的同侧作等边三角形 OAB 和等边和等边 三角形三角形 OCD 连结 连结 AC 和和 BD 相交于点 相交于点 E 连结 连结 BC 求 求 AEB 的大小 的大小 CB O D 图 7 A E 2 如图 如图 8 OAB 固定不动 保持固定不动 保持 OCD 的形状和的形状和 大小不变 将大小不变 将 OCD 绕着点绕着点 O 旋转 旋转 OAB 和和 OCD 不能重叠 求不能重叠 求 AEB 的大小的大小 4 4 如图 如图 AE ABAE AB AD ACAD AC AB AEAB AE B E B E 求证 求证 1 1 BD CEBD CE 2