椭圆的常见题型及解法(一)

1 椭圆的常见题型及其解法椭圆的常见题型及其解法 一一 椭圆是圆锥曲线的内容之一 也是高考的热点和重点 椭圆学习的好坏还直接影响后 面的双曲线与抛物线的学习 笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨 希望对学习椭圆 的同学有所帮助 一 椭圆的焦半径一 椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点 F 的长称为此曲线上该点的焦半径 根据椭圆的 定义 很容易推导出椭圆的焦半径公式 在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题 时 用焦半径公式解题可以简化运算过程 1 1 公式的推导公式的推导 设 P 是椭圆上的任意一点 分别是椭圆的左 右焦点 椭圆 求证 证法 1 因为 所以 又因为 所以 证法 2 设 P 到左 右准线的距离分别为 由椭圆的第二定义知 又 1 1 PF e d 所以 而 2 2 2 公式的应用公式的应用 例例 1 椭圆上三个不同的点 A B C 到焦点 F 4 0 的距离成等差数列 则 12 xx 解解 在已知椭圆中 右准线方程为 25 4 x 设 A B C 到右准线的距离为 则 而 AF BF CF 成等差数列 即 例例 2 12 F F 是椭圆 2 2 1 4 x y 的两个焦点 P 是椭圆上的动点 求的最大值和 最小值 解 解 设 则 1020 33 2 2 22 PFxPFx 2 120 3 4 4 PFPFx 在椭圆上 的最大值为 4 最小值为 1 P 0 22x 12 PFPF 变式练习变式练习 1 求过椭圆的左焦点 倾斜角为的弦 AB 的长度 解解 由已知可得 所以直线 AB 的方程为 代入椭圆方程得 设 则 从而 变式练习变式练习 2 设 Q 是椭圆 上任意一点 求证 以 或 为直径的圆 C 与以长轴为直 22 22 1 0 xy ab ab 2 QF 1 QF 径的圆相内切 3 证明证明 设 圆 C 的半径为 r 即 也就是说 两圆圆心距等于两圆半径之差 故两圆相内切 同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切 3 椭圆焦半径公式的变式椭圆焦半径公式的变式 P 是椭圆上一点 E F 是左 右焦点 PE 与 x 轴所成的角为 x a y b ab 2 2 2 2 10 PF 与 x 轴所成的角为 c 是椭圆半焦距 则 1 2 cos PE b ac 2 cos PF b ac 2 P 是椭圆上一点 E F 是上 下焦点 PE 与 x 轴所成的角为 y a x b ab 2 2 2 2 10 PF 与 x 轴所成的角为 c 是椭圆半焦距 则 3 4 sin PE b ac 2 sin PF b ac 2 证明 证明 1 设 P 在 x 轴上的射影为 Q 当不大于 90 时 在三角形 PEQ 中 有 由椭圆焦半径公式 1 得 cos PE cx PE EQ P PEaexP 消去后 化简即得 1 xP cos PE b ac 2 4 而当大于 90 时 在三角形 PEQ 中 有 cos PE xc PE EQ P 以下与上述相同 2 3 4 的证明与 1 相仿 从 cos xc PE P 略 4 变式的应用变式的应用 对于椭圆的一些问题 应用这几个推论便可容易求解 例例 1 2005 年全国高考题 P 是椭圆上一点 E F 是左右 x a y b ab 2 2 2 2 10 焦点 过 P 作 x 轴的垂线恰好通过焦点 F 若三角形 PEF 是等腰直角三角形 则椭圆的离 心率是 解 解 因为 PF EF 所以由 2 式得 再由题意得 cos PF b ac b a 22 90 22222 2 0222 eaaccacca a b cPFEF 210e 注意到 0121 ee解得 例例 2 P 是椭圆上且位于 x 轴上方的一点 E F 是左右焦点 直线 PF 的 xy 22 10064 1 斜率为 求三角形 PEF 的面积 4 3 解 解 设 PF 的倾斜角为 则 因为 a 10 b 8 c 6 由变式 2 得tancossin 4 3 1 7 4 3 7 所以三角形 PEF 的面积 PF 8 106 1 7 7 2 5 324 7 34 627 2 1 sin 2 1 EFPFS 变式训练变式训练 1 经过椭圆的左焦点 F1作倾斜角为 60 的直线和椭 x a y b ab 2 2 2 2 10 圆相交于 A B 两点 若 求椭圆的离心率 AFBF 11 2 解 解 由题意及变式 2 得 b ac b a 22 60 2 60180 coscos 化简得 2 1 2 32 2 3 acaccae c a 变式训练变式训练 2 设 F 是椭圆的上焦点 共线 共线 x y 2 2 2 1 PFFQ 与MFFN 与 且 0 求四边形 PMQN 面积的最大值和最小值 PFMF 解 解 设 PF 倾斜角为 则由题意知 PF MF 所以 MF 倾斜角为 90 而 由题意及 3 式得abc 211 sinsin sin PQPFFQ 1 2 1 2180 2 2 2 2 同理得 由题意知四边形 PMQN 面积 cos MN 2 2 2 2 SPQ MN 1 2 4cos17 32 2sin8 16 cossin48 16 cossin2 4 cos2 22 sin2 22 2 1 2 2222 22 6 当时 当时 cos41 Smax 32 171 2cos41 Smin 32 171 16 9 二二 椭圆的焦点弦椭圆的焦点弦 设椭圆方程为过椭圆右焦点且倾斜角为 22 222 22 1 0 xy abcab ab 的直线方程为 此直线交椭圆于两点 求焦点弦的长 2 sin cos yxc A BAB 例例 1 已知椭圆的长轴长 焦距 过椭圆的焦点作一直线交AB8 21F F 24 1 F 椭圆于 两点 设 当取什么值时 等于椭圆的短PQXPF1 0 PQ 轴长 分析 分析 由题意可知是椭圆的焦点弦 且 从而 故由PQ4 a22 c22 b 焦 点弦长公式及题设可得 解得 222 2 21 cos 2 ca ab FF 24 cos816 22 42 2 2 cos 即或 22 arc22cos arc 22cos 例例 2 在直角坐标系中 已知椭圆 E 的一个焦点为 F 3 1 相应于 F 的准线为 Y 轴 直线 通过点 F 且倾斜角为 又直线 被椭圆 E 截得的线段的长度为 求椭圆 E 的l 3 l 5 16 方程 7 分析分析 由题意可设椭圆 E 的方程为 又椭圆 E 相应于 F 的准线1 1 3 2 2 2 2 b y a cx 为 Y 轴 故有 1 又由焦点弦长公式有 2 3 2 c c a 3 cos 2 222 2 ca ab 5 16 又 3 解由 1 2 3 联列的方程组得 222 cba 4 2 a3 2 b 从而所求椭圆 E 的方程为 1 c1 3 1 4 4 22 yx 变式训练变式训练 1 已知椭圆 C 直线 被椭圆 C1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 l1 b y a x 截得的弦长为 过椭圆右焦点且斜率为的直线被椭圆 C 截得的弦长是它的长轴223 2 l 长的 求椭圆 C 的方程 5 2 分析分析 由题意可知直线过椭圆 C 的长 短轴的两个端点 故有 1 l8 22 ba 1 又由焦点弦长公式得 2 因 得 222 2 cos 2 ca ab 5 4a tan 3 3 3 又 4 解