数值分析试卷及其答案2

1 本题 5 分 试确定作为的近似值具有几位有效数字 并确定其相对误差限 7 22 解 因为 3 142857 7 22 1 103142857 0 3 141592 所以 2 分 312 10 2 1 10 2 1 005 0 001264 0 7 22 这里 3 21 0 nnmm 由有效数字的定义可知作为的近似值具有 3 位有效数字 1 分 7 22 而相对误差限 2 分 3 10 2 1 0005 0 0004138 0 001264 0 7 22 r 2 本题 6 分 用改进平方根法解方程组 6 5 4 131 321 112 3 2 1 x x x 解 设 1 1 1 1 1 1 131 321 112 32 3121 3 2 1 3231 21 l ll d d d ll lLDLA T 由矩阵乘法得 3 分 5 7 2 1 2 1 5 27 2 5 2 323121 321 lll ddd 由解得yDxLbLy T1 3 分 TT xy 9 23 9 7 9 10 5 63 7 4 3 本题 6 分 给定线性方程组 17722 23823 1138 7510 4321 4321 321 431 xxxx xxxx xxx xxx 1 写出 Jacoib 迭代格式和 Gauss Seidel 迭代格式 2 考查 Jacoib 迭代格式和 Gauss Seidel 迭代格式的敛散性 解 1 Jacoib 迭代格式为 2 分 7 2217 8 2323 8 311 10 57 3 2 1 1 4 4 2 1 1 3 3 1 1 2 4 3 1 1 kkkk kkkk kkk kkk xxxx xxxx xxx xxx Gauss Seidel 迭代格式为 2 分 7 2217 8 2323 8 311 10 57 1 3 1 2 1 1 1 4 4 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 2 4 3 1 1 kkkk kkkk kkk kkk xxxx xxxx xxx xxx 2 由于所给线性方程组的系数矩阵 7221 1823 0381 51010 A 是严格对角占优的 所以 Jacoib 迭代格式和 Gauss Seidel 迭代格式均是收敛的 2 分 4 本题 6 分 已知方程 08 0 23 xx 在附近有一个根 将此方程改写成如下 2 个等价形式 5 1 0 x 8 0 8 0 332 xxxx 构造如下两个迭代格式 1 2 1 0 8 0 3 2 1 kxx kk 2 2 1 0 8 0 3 1 kxx kk 判断这两个迭代格式是否收敛 解 1 记 则 32 8 0 xx 322 8 0 3 2 x x x 2 分 14755 0 05 3 1 5 18 0 1 5 18 0 3 5 12 5 1 32322322 所以该迭代格式是局部收敛的 1 分 2 记 则 8 0 3 xx 8 02 3 3 2 x x x 2 分 1103 2 8 05 12 5 13 5 1 3 2 所以该迭代格式是发散的 1 分 5 本题 6 分 设 23 axxf 1 写出解的牛顿迭代格式 0 xf 2 证明此迭代格式是线性收敛的 解 1 因 故 由牛顿迭代公式 23 axxf 6 32 axxxf 1 分 1 n n kk xf xf xx 1 0 k 得 2 分 k k kk k kk x a x axx ax xx 66 5 6 32 23 1 1 0 k 2 因迭代函数 2 66 5 x a xx 1 分 3 36 5 x a x 3 ax 故0 2 1 36 5 3 3 a a x 此牛顿迭代格式是线性收敛的 2 分 6 本题 9 分 给定数据 1 写出的 3 次 Lagrange 插值多项式 xf 3 xL 2 写出的 3 次 Newton 插值多项式 xf 3 xN 解 1 由题意知5 3 2 0 3210 xxxx 2 4 3 1 3210 xfxfxfxf 302010 321 03 xxxxxx xxxxxx xfxL x 0 2 3 5 f x 1 3 4 2 312101 320 1 xxxxxx xxxxxx xf 321202 310 2 xxxxxx xxxxxx xf 3 分 231303 210 3 xxxxxx xxxxxx xf 52 32 02 5 3 0 3 50 30 20 5 3 2 1 xxxxxx 35 25 05 3 2 0 2 53 23 03 5 2 0 4 xxxxxx 5 3 2 1 5 3 2 30 1 xxxxxx 2 分 3 2 15 1 5 2 3 2 xxxxxx 2 用牛顿插值公式 构造差商表 3 分 则有 3 2 0 5 1 2 0 3 1 0 21 3 xxxxxxxN 1 分 3 2 5 1 2 3 1 21 xxxxxx 7 本题 6 分 作一个 5 次多项式使得 xH 2 4 1 2 2 1 3 4 1 2 3 1 HHH HHH 解 构造有重节点的牛顿插商表 0 1 2 3 2 3 4 1 3 1 5 2 3 3 4 5 1 1 3 1 3 2 2 1 4 6 2 1 5 111 4 3 2 2 1 2 3 6 25 4 3 2 0 4 1 12 5 36 55 4 分 则有 2 1 11 1 6 1 23 22 xxxxxH 2 分 4 2 1 36 55 2 1 6 25 2222 xxxxx 8 本题 6 分 已知数据如下 试用二次多项式来拟合 i x 0123456 i y 15141414141516 解 设 则上表可化为xxyy 3 14 i x 3 2 1 0123 i y 1000012 这时 取 并设所求二次多项式为 2 210 1 xxxxx 容易得到 2 21 10 0 2 xaxaxax 71 3 3 2 00 i 0 3 3 10 i i x 28 3 3 2 20 i i x 28 3 3 2 11 i i x 0 3 3 3 21 i i x 196 3 3 4 22 i i x 3 分 4 3 3 0 i i yy 5 3 3 1 i iiy xy 31 3 3 2 2 i ii yxy 得正规方程组如下 3119628 528 4287 2 0 1 2 0 aa a aa 解得 即 2 分 28 5 28 5 7 1 2 1 0 aaa 2 28 5 28 5 7 1 xxy 回代得 1 分 2 3 28 5 3 28 5 7 1 14 xxy 9 本题 5 分 给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公 4 3 4 1 10 xx 1 0 dxxf 式 解 由于 4 3 4 1 10 xx 所以 1 分 34 2 1 4 3 4 1 4 3 0 x x xl 1 分 14 2 1 4 1 4 3 4 1 1 x x xl 1 分 2 1 34 2 1 1 0 1 0 00 dxxdxxlA 1 分 2 1 14 2 1 1 0 1 0 11 dxxdxxlA 故求积公式为 1 分 4 3 4 1 2 1 1 0 ffdxxf 10 本题 6 分 分别用梯形公式和辛普森公式计算积分 9 1 dxx4 n 解 1 用梯形公式 4 n2 4 19 h 3 分 2277402 17 9 2 1 2 3 1 4 fxff h T i i 2 用辛普森公式 3 分 332087 17 9 2 4 1 6 3 1 3 0 2 14 fxfxff h S i i i i 11 本题 8 分 求高斯型求积公式的系数 1100 1 0 xfAxfAdxxfx 1010 xxAA及节点 解 令 为权的二次正交多项式构造以xxxx 1 0 1 0 1 分 01122 011 xxxx xxx 由 得 5 3 1 0 21 1 0 21 00 00 1 dxx xdxx x 5 3 1 xx 再由 2 分 5111111 0 45 23 5 3 5 3 1 0 221 2 1 0 21 11 11 2 dxxx dxxxx x 1 分 06857 0 175 12 5 3 1 0 21 1 0 221 00 11 1 dxx dxxx 得23809666 0 11111 1 06857 0 5 3 45 23 2 2 xxxxx 所以的根为 2 分 0 2 x 821159 0 289951 0 10 xx 2 分 389112 0 277555 0 1 0 01 0 1 0 11 1 0 10 1 1 0 00 dx xx xx xdxxl xA dx xx xx xdxxl xA 12 本题 6 分 设为次多项式 为个互异点 为 xfk n xxxx 210 1 n xLn 的次插值多项式 若 试证 xfnnk xfxLn 解 因为为次多项式 所以 2 分 xfk kxf k 又因为 故有 2 分 nk 0 1 xf n 由插值关系可知 2 分 1 1 1 xLx n xf xLxf nn n n 所以 xfxLn 13 本题 10 分 设 求及谱半径 53 35 A 21 AAA A 解 由定义得 2 分 88 8max 11 1max n i ij nj aA 2 分 88 8max 11 max n j ij ni aA 又由于 而 max 2 AAA T 2 分 3430 3034 53 35 53 35 AAT 4 64 30 34 3430 3034 22 IAAT 所以 2 分 864 2 A 因为 2 8 9 5 53 35 2 IA 所以 2 分 8 A 14 本题 6 分 写出用 4 阶经典龙格 库塔法求解初值问题的计算公式 并取 2 0 38 y yy 步长 计算的近似值 小数点后至少保留 4 位 2 0 h 4 0 y 解 于是yyxf38 4 分 nnn nnn nnn nnn nn ykyhxhfk y k y h xhfk y k y h xhfk yyxhfk kkkkyy 3156 0 8416 0 47 0 264 1 2 2 42 0 12 1 2 2 6 06 1 22 6 1 32 2 3 1 2 1 43211 故 由于 nn yy5561 0 2016 1 1 2 0 0 yy 故 2 分 4883 2 4 0 3138 2 2 0 2 1 yy yy 15 本题 9 分 给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值 精确至 9 033 399 AA 5 位有效数 解 幂法计算公式 取 作如下迭代 0 u 1 kk Auv max kk vm k k k m v u 2 1 k 其中表示中 首次出现的 绝对值最大的分量 则 max k v k v 1 分 lim 1k k m 计算如下 1 1 0 u 9 33 102 1 1 9 033 399 01 Auv 2 分 102 1 m 3323529 0 1 1 u 29911761 33