中考专题：圆与二次函数结合题

1 中考专题 圆与函数综合题 1 如图 平面直角坐标系中 以点C 2 为圆心 以 2 为半径的圆与轴交于A B两点 3 1 求A B两点的坐标 2 若二次函数的图象经过点A B 试确定此二次函数的解析式 2 yxbxc 2 如图 半径为 2 的 C 与 x 轴的正半轴交于点 A 与 y 轴的正半轴交于点 B 点 C 的坐标为 1 0 若抛物线过 A B 两点 2 3 3 yxbxc 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上是否存在点 P 使得 PBO POB 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在说明理由 3 若点 M 是抛物线 在第一象限内的部分 上一点 MAB 的面积为 S 求 S 的最大 小 值 2 3 如图 抛物线的对称轴为轴 且经过 0 0 两点 点 P 在抛 2 yaxbxc 1 a 16 物线上运动 以 P 为圆心的 P 经过定点 A 0 2 1 求 a b c 的值 2 求证 点 P 在运动过程中 P 始终与轴相交 3 设 P 与轴相交于 M N 两点 当 AMN 为等腰三角形时 求圆心 1 x 0 212 x 0 xx P 的纵坐标 4 如图 二次函数y x2 bx 3b 3 的图象与 x 轴交于A B两点 点A在点B的左边 交y轴于 点C 且经过点 b 2 2b2 5b 1 1 求这条抛物线的解析式 2 M过A B C三点 交y轴于另一点D 求点M的坐标 3 连接AM DM 将 AMD绕点M顺时针旋转 两边MA MD与x轴 y轴分别交于点E F 若 DMF为等腰三角形 求点E的坐标 3 5 类比 转化 分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到 如下是一个 案例 请补充完整 原题 如图 1 在 O中 MN是直径 AB MN于点B CD MN于点D AOC 90 AB 3 CD 4 则BD 尝试探究 如图 2 在 O中 MN是直径 AB MN 于点B CD MN于点D 点E在MN上 AEC 90 AB 3 BD 8 BE DE 1 3 则CD 试写出解答过程 类比延伸 利用图 3 再探究 当A C两点分别在直径MN两侧 且AB CD AB MN于点 B CD MN于点D AOC 90 时 则线段AB CD BD满足的数量关系为 拓展迁移 如图 4 在平面直角坐标系中 抛物线经过A m 6 B n 1 两点 其中 0 m 3 且以y轴为对称轴 且 AOB 90 求mn的值 当 S AOB 10 时 求抛物线的解析 式 6 如图 设抛物线交x轴于 A B 两点 顶点为 D 以 BA 为直径作半圆 圆心为 2 113 424 yxx M 半圆交 y 轴负半轴于 C 1 求抛物线的对称轴 2 将 ACB 绕圆心 M 顺时针旋转 180 得到 APB 如图 求点 P 的坐标 3 有一动点 Q 在线段 AB 上运动 QCD 的周长在不断变化时是否存在最小值 若存在 求点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 4 7 如图 1 已知抛物线y x2 bx c经过点A 1 0 B 3 0 两点 且与y轴交于点C 1 求b c的值 2 在第二象限的抛物线上 是否存在一点P 使得 PBC的面积最大 求出点P的坐标及 PBC 的面积最大值 若不存在 请说明理由 3 如图 2 点E为线段BC上一个动点 不与B C重合 经过B E O三点的圆与过点B且垂 直于BC的直线交于点F 当 OEF面积取得最小值时 求点E坐标 8 如图 点 P 在 y 轴的正半轴上 P 交 x 轴于 B C 两点 以 AC 为直角边作等腰 Rt ACD BD 分别交y 轴和 P 于 E F 两点 交连结 AC FC 1 求证 ACF ADB 2 若点 A 到 BD 的距离为 m BF CF n 求线段 CD 的长 3 当 P 的大小发生变化而其他条件不变时 的 DE AO 值是否发生变化 若不发生变化 请求出其值 若发生 变化 请说明理由 5 9 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 半径为的圆 C 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 且点2 5 C 在 x 轴的上方 1 求圆心 C 的坐标 2 已知一个二次函数的图像经过点 A B C 求这二次函数的解析式 3 设点 P 在 y 轴上 点 M 在 2 的二次函数图像上 如果以点 P M A B 为顶点的四边形是 平行四边形 请你直接写出点 M 的坐标 10 如图 在 M 中 弦 AB 所对的圆心角为 120 已知圆的半径为 1cm 并建立如图所示的直角 坐标系 1 求圆心 M 的坐标 2 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 3 点 P 是 M 上的一个动点 当 PAB 为 Rt 时 求点 p 的坐标 6 11 如图 在半径为 2 的扇形 AOB 中 AOB 90 点 C 是弧 AB 上的一个动点 不与点 A B 重合 OD BC OE AC 垂足分别为 D E 1 当 BC 1 时 求线段 OD 的长 2 在 DOE 中是否存在长度保持不变的边 如果存在 请指出并求其长度 如果不存在 请说 明理由 3 设 BD x DOE 的面积为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出自变量的取值范围 12 已知抛物线经过 A 3 0 B 4 1 两点 且与 y 轴交于点 C 2 3yaxbx 1 求抛物线的函数关系式及点 C 的坐标 2 3yaxbx 2 如图 1 连接 AB 在题 1 中的抛物线上是否存在点 P 使 PAB 是以 AB 为直角边的直 角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 连接 AC E 为线段 AC 上任意一点 不与 A C 重合 经过 A E O 三点的圆交直 线 AB 于点 F 当 OEF 的面积取得最小值时 求点 E 的坐标 7 13 已知 如图 抛物线y x2 x 1 与y轴交于C点 以原点O为圆心 OC长为半径作 O 交 x轴于A B两点 交y轴于另一点D 设点P为抛物线y x2 x 1 上的一点 作PM x轴于M点 求使 PMB ADB时的点P的坐标 14 点 A 1 0 B 4 0 C 0 2 是平面直角坐标系上的三点 如图 1 先过 A B C 作 ABC 然后在在轴上方作一个正方形 D1E1F1G1 使 D1E1在 AB 上 F1 G1分别在 BC AC 上 如图 2 先过 A B C 作圆 M 然后在轴上方作一个正方形 D2E2F2G2 使 D2E2在轴上 F2 G2在圆上 如图 3 先过 A B C 作抛物线 然后在轴上方作一个正方形 D3E3F3G3 使 D3E3在轴上 F3 G3在抛物线上 请比较 正方形 D1E1F1G1 正方形 D2E2F2G2 正方形 D3E3F3G3 的面积大小 8 15 如图 已知经过坐标原点的 P与x轴交于点A 8 0 与y轴交于点B 0 6 点C是 第一象限内 P上一点 CB CO 抛物线经过点A和点C 2 yaxbx 1 求 P的半径 2 求抛物线的解析式 3 在抛物线上是否存在点D 使得点A 点B 点C和点D构成矩形 若存在 直接写出符合条 件的点D的坐标 若不存在 试说明理由 16 已知 如图 9 1 抛物线经过点 O A B 三点 四边形 OABC 是直角梯形 其中点 A 在 x 轴上 点 C 在 y 轴上 BC OA A 12 0 B 4 8 1 求抛物线所对应的函数关系式 2 若 D 为 OA 的中点 动点 P 自 A 点出发沿 A B C O 的路线移动 速度为每秒 1 个单位 移 动时间记为 t 秒 几秒钟后线段 PD 将梯形 OABC 的面积分成 1 3 两部分 并求出此时 P 点的坐标 3 如图 9 2 作 OBC 的外接圆 O 点 Q 是抛物线上点 A B 之间的动点 连接 OQ 交 O 于 点 M 交 AB 于点 N 当 BOQ 45 时 求线段 MN 的长 9 17 如图 已知抛物线与y轴相交于 C 与x轴相交于 A B 点 A 的坐标为 2 1 y 2 xbxc 2 0 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积最大时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 18 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 c 0 交 x 轴于点 A B 交 y 轴于点 C 设过点 A B C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D 1 如图 1 已知点 A B C 的坐标分别为 2 0 8 0 0 4 求此抛物线的表达式与点 D 的坐标 若点 M 为抛物线上的一动点 且位于第四象限 求 BDM 面积的最大值 2 如图 2 若 a 1 求证 无论 b c 取何值 点 D 均为顶点 求出该定点坐标 10 19 抛物线与直线 y x 1 交于 A C 两点 与 y 轴交于 B AB x 轴 且 S ABC 3 2 2yaxaxb 1 求抛物线的解析式 2 P 为 x 轴负半轴上一点 以 AP AC 为边作 是否存在 P 使得 Q 点恰好在此抛物线 上 若存在 请求出 P Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 AD X 轴于 D 以 OD 为直径作 M N 为 M 上一动点 不与 O D 重合 过 N 作 AN 的垂 线交 x 轴于 R 点 DN 交 Y 轴于点 S 当 N 点运动时 线段 OR OS 是否存在确定的数量关系 写出 证明 20 如图 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 P是反比例函数 x 0 图象上的任意一 6 y x 点 以P为圆心 PO为半径的圆与x y轴分别交于点A B 1 判断P是否在线段AB上 并说明理由 2 求 AOB的面积 3 Q是反比例函数 x 0 图象上异于点P的另一点 请以Q为圆心 QO 半径画圆与 6 y x x y轴分别交于点M N 连接AN MB 求证 AN MB 备用图 11 21 如图 在半径为 6 圆心角为 90 的扇形 OAB 的弧 AB 上 有一个动点 p PH OA 垂足为 H PHO 的中线 PM 与 NH 交于点 G 1 求证 2 PG GM 2 设 PH x GP y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写自变量的取值范围 3 如果 PGH 是等腰三角形 试求出线段 PH 的长 22 如图 在 Rt ABC中 ACB 90 BC AC 以斜边AB所在直线为x轴 以斜边AB上的高所在直线 为y轴 建立直角坐标系 若OA2 OB2 17 且线段O A OB的长度是关于x的一元二次方程x2 mx 2 m 3 0 的两个根 1 求C点的坐标 2 以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E 求过 A B E三点的抛物线的解析式 并画出此抛物线的草图 3 在抛物线上是否存在点P 使 ABP与 ABC全等 若存在 求出符合条件的P 点的坐标 若不存在 说明理由 12 参考答案 1 解 1 过点C作CM 轴于点M 则点M为AB的中点 CA 2 CM AM 1 于是 点A的坐标为 1 0 点B的坐标为 3 0 2 将 1 0 3 0 代入得 解得 所以 此二次函数的解析式为 2 考点 二次函数综合题 解答 解 1 如答图 1 连接 OB BC 2 OC 1 OB B 0 将 A 3 0 B 0 代入二次函数的表达式 得 解得 2 存在 如答图 2 作线段 OB 的垂直平分线 l 与抛物线的交点即为点 P B 0 O 0 0 直线 l 的表达式为 代入抛物线的表达式 得 解得 P 3 如答图 3 作 MH x 轴于点 H 设 M 则 S MAB S梯形 MBOH S MHA S OAB MH OB OH HA MH OA OB 13 当时 取得最大值 最大值 为 3 1 2 设 P x y P 的半径 r 又 则 r 化简得 r 点 P 在运动过程中 P 始终与轴相交 3 设 P PA 作 PH MN 于 H 则 PM PN 又 PH 则 MH NH 故 MN 4 M 0 N 0 又 A 0 2 AM AN 当 AM AN 时 解得 0 当 AM MN 时 4 解得 则 当 AN MN 时 4 解得 则 综上所述 P 的纵坐标为 0 或或 4 解 1 把点 b 2 2b2 5b 1 代入解析式 得 2b2 5b 1 b 2 2 b b 2 3b 3 1 解得b 2 抛物线的解析式为y x2 2x 3 2 2 由x2 2x 3 0 得x 3 或 x 1 A 3 0 B 1 0 C 0 3 抛物线的对称轴是直线x 1 圆心M在直线x 1 上 3 设M 1 n 作MG x 轴于G MH y轴于H 连接MC MB MH 1 BG 2 4 MB MC BG2 MG2 MH2 CH2 即 4 n2 1 3 n 2 解得 n 1 点M 1 1 5 3 如图 由M 1 1 得MG MH MA MD Rt AMG RtDMH 1 2 由旋转可知 3 4 AME DMF 若 DMF为等腰三角形 则 AME为等腰三角形 6 设E x 0 AME为等腰三角形 分三种情况 AE AM 则x 3 E 3 0 M在AB的垂直平分线上 MA ME MB E 1 0 7 点E在AM的垂直平分线上 则AE ME AE x 3 ME2 MG2 EG2 1 1 x 2 x 3 2 1 1 x 2 解得x E 0 14 所求点E的坐标为 3 0 1 0 0 8 5 解 原题 AB MN CD MN ABO ODC 90 BAO AOB 90 AOC 90 DOC AOB 90 BAO DOC 又 OA OC AOB ODC AAS OD AB 3 OB CD 4 BD OB OD 7 尝试探究 AB MN CD MN ABE CDE 90 BAE AEB 90 AEC 90 DEC AEB 90 BAE DEC ABE EDC AB 3 BD 8 BE DE 1 3 BE 2 DE 6 CD 4 类比延伸 如图 3 a CD AB BD 如图 3 b AB CD BD 2 分 拓展迁移 作轴于 C 点 轴于 D 点 点坐标分别为 又 AOB 90 BCO ODA 90 OBC AOD 2 分 由 得 又 即 又 坐标为 2 6 B 坐标为 3 1 代入得抛物线解析式为 2 分 6 解 1 对称轴为直线 x 1 2 2 A 1 0 B 3 0 M 1 0 所以圆 M 的半径为 2 1 1 3 顶点坐标为 D 1 1 D 1 1 关于 x 轴的对称点 D 1 1 1 则直线 CD 为 1 15 则 CD 与 X 轴的交点即为所求的 Q 点为 2 7 解 1 连结A B AOB 90 AB是 P的直径 2 分 AB P的半径是 5 4 分 2 作CH OB 垂直为H CB CO H是OB的中点 CH过圆心PPH C的坐标是 9 3 7 分 把A C坐标分别代入得 8 分 解得 抛物线的解析式是 12 分 3 D 1 3 8 解 1 抛物线 y ax2 bx c 过点 A 2 0 B 8 0 C 0 4 解得 抛物线的解析式为 y x2 x 4 OA 2 OB 8 OC 4 AB 10 如答图 1 连接 AC BC 由勾股定理得 AC BC AC2 BC2 AB2 100 ACB 90 AB 为圆的直径 由垂径定理可知 点 C D 关于直径 AB 对称 D 0 4 2 解法一 设直线 BD 的解析式为 y kx b B 8 0 D 0 4 解得 直线 BD 解析式为 y x 4 设 M x x2 x 4 如答图 2 1 过点 M 作 ME y 轴 交 BD 于点 E 则 E x x 4 ME x 4 x2 x 4 x2 x 8 S BDM S MED S MEB ME xE xD ME xB xD ME xB xD 4ME 16 S BDM 4 x2 x 8 x2 4x 32 x 2 2 36 当 x 2 时 BDM 的面积有最大值为 36 解法二 如答图 2 2 过 M 作 MN y 轴于点 N 设 M m m2 m 4 S OBD OB OD 16 S梯形 OBMN MN OB ON m 8 m2 m 4 m m2 m 4 4 m2 m 4 S MND MN DN m 4 m2 m 4 2m m m2 m 4 S BDM S OBD S梯形 OBMN S MND 16 m m2 m 4 4 m2 m 4 2m m m2 m 4 16 4 m2 m 4 2m m2 4m 32 m 2 2 36 当 m 2 时 BDM 的面积有最大值为 36 3 如答图 3 连接 AD BC 由圆周角定理得 ADO CBO DAO BCO AOD COB 设 A x1 0 B x2 0 已知抛物线 y x2 bx c c 0 OC c x1x2 c OD 1 无论 b c 取何值 点 D 均为定点 该定点坐标 D 0 1 9 解 1 联结AC 过点C作 垂直为H 由垂径定理得 AH 2 则OH 1 由勾股定理得 CH 4 又点C在x轴的上方 点C的坐标为 2 设二次函数的解析式为 由题意 得 解这个方程组 得 这二次函数的解析式为y x2 2x 3 3 点M的坐标为 或 或 17 10 1 证明 连接 AB 1 分 OP BC BO CO 2 分 AB AC 又 AC AD AB AD ABD ADB 3 分 又 ABD ACF ACF ADB 4 分 2 解 过点 A 做 AM CF 交 CF 的延长线于 M 过点 A 做 AN BF 于 N 连接 AF 则 AN m ANB AMC 90 又 ABN ACM AB AC Rt ABN Rt ACM AAS BN CM AN AM 5 分 又 ANF AMF 90 AF 公共 Rt AFN Rt AFM HL NF MF 6 分 BF CF BN NF CM MF BN CM 2BN n 7 分 BN CD 8 分 3 过点 D 做 DH AO 于 N 过点 D 做 DQ BC 于 Q 9 分 DAH OAC 90 DAH ADH 90 OAC ADH 又 DHA AOC 90 AD AC Rt DHA Rt AOC AAS DH AO AH OC 10 分 11 18 12 解 1 3 分 将 A 3 0 B 4 1 代人 得 C 0 3 2 7 分 假设存在 分两种情况 如图 连接 AC OA OC 3 OAC OCA 45O 1 分 过 B 作 BD 轴于 D 则有 BD 1 BD AD DAB DBA 45O BAC 180O 45O 45O 90O 2 分 ABC 是直角三角形 C 0 3 符合条件 P1 0 3 为所求 当 ABP 90O时 过 B 作 BP AC BP 交抛物线于点 P A 3 0 C 0 3 直线 AC 的函数关系式为 将直线 AC 向上平移 2 个单位与直线 BP 重合 则直线 BP 的函数关系式为 由 得 又 B 4 1 P2 1 6 综上所述 存在两点 P1 0 3 P2 1 6 另解 当 ABP 90O时 过 B 作 BP AC BP 交抛物线于点 P A 3 0 C 0 3 直线 AC 的函数关系式为 将直线 AC 向上平移 2 个单位与直线 BP 重合 则直线 BP 的函数关系式为 点 P 在直线上 又在上 设点 P 为 解得 P1 1 6 P2 4 1 舍 综上所述 存在两点 P1 0 3 P2 1 6 3 4 分 OAE OAF 45O 而 OEF OAF 45O OFE OAE 45O OEF OFE 45O OE OF EOF 90O 点 E 在线段 AC 上 设 E 当时 取最小值 此时 13 提示 设P点的横坐标xP a 则P点的纵坐标yP a2 a 1 19 则PM a2 a 1 BM a 1 因为 ADB为等腰直角三角形 所以欲使 PMB ADB 只要使 PM BM 即 a2 a 1 a 1 不难得a1 0 P点坐标分别为P1 0 1 P2 2 1 14 1 b 2 c 3 2 存在 理由如下 设P点 S BPC 当时 最大 当时 点P坐标为 3 OB OC 3 OBC OCB 45O 而 OEF OBF 45O OFE OBE 45O OEF OFE 45O OE OF EOF 90O 6 分 OE2 当OE最小时 OEF面积取得最小值 点E在线段BC上 当OE BC时 OE最小 此时点E是BC中点 E 15 1 二次函数的图像经过点 A 2 0 C 0 1 解得 b c 1 二次函数的解析式为 2 设点 D 的坐标为 m 0 0 m 2 OD m AD 2 m 由 ADE AOC 得 DE CDE 的面积 m 当m 1 时 CDE 的面积最大 点 D 的坐标为 1 0 3 存在 由 1 知 二次函数的解析式为 设 y 0 则 解得 x1 2 x2 1 点 B 的坐标为 1 0 C 0 1 设直线 BC 的解析式为 y kx b 解得 k 1 b 1 直线 BC 的解析式为 y x 1 在 Rt AOC 中 AOC 900 OA 2 OC 1 由勾股定理得 AC 点 B 1 0 点 C 0 1 OB OC BCO 450 20 当以点 C 为顶点且 PC AC 时 设 P k k 1 过点 P 作 PH y 轴于 H HCP BCO 450 CH PH k 在 Rt PCH 中 P1 P2 以 A 为顶点 即 AC AP 设 P k k 1 过点 P 作 PG x 轴于 G AG 2 k GP k 1 在 Rt APG 中 AG2 PG2 AP2 2 k 2 k 1 2 5 解得 k1 1 k2 0 舍 P3 1 2 以 P 为顶点 PC AP 设 P k k 1 过点 P 作 PQ y轴于点 Q PL x轴于点 L L k 0 QPC 为等腰直角三角形 PQ CQ k 由勾股定理知 CP PA k k 2 k 2 2 k 1 2 AL k 2 PL k 1 在 Rt PLA 中 解得 k P4 综上所述 存在四个点 P1 k2 k2 解得k1 k2 P2 P3 1 2 P4 16 1 解 抛物线经过 O 0 0 A 12 0 B 4 8 设抛物线的解析式为 将点 B 的坐标代入 得 解得 所求抛物线的关系式为 2 解 过点 B 作 BF x 轴于点 F BF 8 AF 12 4 8 BAF 45 S梯形 OABC 面积分成 1 3 两部分 即面积分成 16 48 由题意得 动点 P 整个运动过程分三种情况 但点 P 在 BC 上时 由于 S ABD 点 P 在 BC 上不能满足要求 即点 P 只能在 AB 或 OC 上才能满足要求 点 P 在 AB 上 设 P x y 可得 S APD 又 S APD y 过 P 作 PE x 轴于点 E 由 BAF 45 AE PE x 又过 D 作 DH AB 于 H AD 6 DH S APD t 当 t 时 P满 足要求 点 P 在 OC 上 设 P 0 y 21 S APD y P 此时 t AB BC CP P满足要求 3 解 连接 BM OB 是圆直径 BM O BC 4 OC 8 OB 在 Rt BMO 中 BOQ 45 OM 由 2 可知 OAB 45 AB BOQ 45 BOA BOQ AON 45 AON 又 BNO 45 AON BNO BOA 又 BON BAO 45 BON BAO 即 ON MN ON OM 17 18 解 图 1 设正方形的边长为 由 CG1F1 CAB 得 图 2 设