数学勾股定理提高题与常考题和培优题(含解析)-

第 1 页 共 54 页 数学勾股定理提高题与常考题和培优题数学勾股定理提高题与常考题和培优题 含解析含解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 小题 1 如图 ABC 中 AB AC AD 是 BAC 的平分线 已知 AB 5 AD 3 则 BC 的长为 A 5B 6C 8D 10 2 如图 以直角三角形 a b c 为边 向外作等边三角形 半圆 等腰直角三 角形和正方形 上述四种情况的面积关系满足 S1 S2 S3图形个数有 A 1B 2C 3D 4 3 在 ABC 中 AB 10 AC 2 BC 边上的高 AD 6 则另一边 BC 等于 A 10B 8C 6 或 10 D 8 或 10 4 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 8 D 是线段 BC 上的动点 不含端点 B C 若线段 AD 长为正整数 则点 D 的个数共有 A 5 个B 4 个C 3 个 D 2 个 5 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 A 3 4 4B 3 4 5C 3 4 6D 3 4 7 6 如图 正方形 ABCD 的边长为 10 AG CH 8 BG DH 6 连接 GH 则线段 第 2 页 共 54 页 GH 的长为 A B 2C D 10 5 7 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 其面积标记为 S1 以 CD 为斜边作等腰直 角三角形 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形 其面积标记 为 S2 按照此规律继续下去 则 S9的值为 A 6B 7C 6D 7 8 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽 的弦图 它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形 如 图所示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积为 1 直角三角形的较短 直角边长为 a 较长直角边长为 b 那么 a b 2的值为 A 13B 19C 25D 169 9 如图 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 互相垂直 若 AB 3 BC 4 CD 5 则 AD 的长为 第 3 页 共 54 页 A 3B 4C 2D 4 10 如图 已知 ABC 为直角三角形 分别以直角边 AC BC 为直径作半圆 AmC 和 BnC 以 AB 为直径作半圆 ACB 记两个月牙形阴影部分的面积之和为 S1 ABC 的面积为 S2 则 S1与 S2的大小关系为 A S1 S2B S1 S2C S1 S2D 不能确定 11 如图 在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF GH 四条线段 其 中能构成一个直角三角形三边的线段是 A CD EF GHB AB EF GHC AB CD GHD AB CD EF 12 如图 将一边长为 a 的正方形 最中间的小正方形 与四块边长为 b 的正 方形 其中 b a 拼接在一起 则四边形 ABCD 的面积为 A b2 b a 2B b2 a2C b a 2D a2 2ab 二 填空题 共二 填空题 共 12 小题 小题 13 点 A 3 4 到原点的距离为 14 已知等腰三角形的腰长为 5 一腰上的高为 3 则以底边为边长的正方形的 面积为 15 如图 O 为数轴原点 A B 两点分别对应 3 3 作腰长为 4 的等腰 第 4 页 共 54 页 ABC 连接 OC 以 O 为圆心 CO 长为半径画弧交数轴于点 M 则点 M 对应的 实数为 16 如图 在四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 E DAB CDB 90 ABD 45 DCA 30 AB 则 AE 提示 可过点 A 作 BD 的垂线 17 一副三角板如图放置 点 C 在 FD 的延长线上 AB CF F ACB 90 E 45 A 60 若 AB DE 8 则 BE 结果保留根号 18 如图 Rt ABC 的周长为 以 AB AC 为边向外作正方形 ABPQ 和正方形 ACMN 若这两个正方形的面积之和为 25 cm2 则 ABC 的面积是 cm2 19 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 3 BC 4 点 D 在 AB 上 AD AC AF CD 交 CD 于点 E 交 CB 于点 F 则 CF 的长是 第 5 页 共 54 页 20 如图 Rt ABC 中 ABC 90 DE 垂直平分 AC 垂足为 O AD BC 且 AB 5 BC 12 则 AD 的长为 21 如图 ABC 是等腰三角形 AB AC 5 BC 6 E 为 BA 延长线上的一点 AE AB D 为 BC 的中点 则 DE 的长为 22 如图 在 Rt ABC 中 ABC 是直角 AB 4 BC 2 P 是 BC 边上的动 点 设 BP x 若能在 AC 边上找到一点 Q 使 BQP 90 则 x 的取值范围是 23 如图 在四边形 ABCD 中 A 90 AB 5 AD 3 点 M 在边 AB 上 则 DM 的最大值为 24 如图 在 ABC 中 AB AC 4 AO BO P 是射线 CO 上的一个动点 第 6 页 共 54 页 AOC 120 则当 PAB 为直角三角形时 AP 的长为 三 解答题 共三 解答题 共 16 小题 小题 25 在四边形 ABCD 中 AB AD 8 A 60 D 150 四边形周长为 32 求 BC 和 CD 的长度 26 正方形网格中 小格的顶点叫做格点 小华按下列要求作图 在正方形 网格的三条不同实线上各取一个格点 使其中任意两点不在同一实线上 连 结三个格点 使之构成直角三角形 小华在下边的正方形网格中作出了 Rt ABC 请你按照同样的要求 在下面的两个正方形网格中各画出一个直角三角 形 并使三个网格中的直角三角形互不全等 27 问题背景 在 ABC 中 AB BC AC 三边的长分别为 求这个三角形的面 积 小辉同学在解答这道题时 先建立一个正方形网格 每个小正方形的边长 为 1 再在网格中画出格点 ABC 即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处 如图所示 这样不需求 ABC 的高 而借用网格就能计算出它的面积 第 7 页 共 54 页 1 请你将 ABC 的面积直接填写在横线上 2 若 ABC 三边的长分别为 2 m 0 n 0 且 m n 运用构图法可求出这三角形 的面积为 28 如图 1 在 Rt ABC 中 A 90 AB 6 AC 8 点 D 为边 BC 的中点 DE BC 交边 AC 于点 E 点 P 为射线 AB 上的一动点 点 Q 为边 AC 上的一动点 且 PDQ 90 1 求 ED EC 的长 2 若 BP 2 求 CQ 的长 29 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC AB BC 对角线 AC CD 点 E 在边 BC 上 且 AEB 45 CD 10 1 求 AB 的长 2 求 EC 的长 30 如图 将线段 AB 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中 点 A 点 B 均落 在格点上 1 AB 的长等于 第 8 页 共 54 页 2 请在如图所示的网格中 用无刻度的直尺 在线段 AB 上画出点 P 使 AP 并简要说明画图方法 不要求证明 31 如图 AB MN 于 A CD MN 于 D 点 P 是 MN 上一个动点 1 如图 BP 平分 ABC CP 平分 BCD 交 BP 于点 P 若 AB 4 CD 6 试 求 AD 的长 2 如图 BPC BPA BC BP 若 AB 4 求 CD 的长 32 定义 若三角形三个内角的度数分别是 x y 和 z 满足 x2 y2 z2 则称这个 三角形为勾股三角形 1 根据上述定义 直角三角形是勾股三角形 是真命题还是假命题 2 已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为 x y 和 z 且 xy 2160 求 x y 的值 3 如图 ABC 中 AB BC 2 AC 1 求证 ABC 是勾股三角 形 33 如图 在同一平面内 两条平行高速公路 l1和 l2间有一条 Z 型道路连通 其中 AB 段与高速公路 l1成 30 夹角 长为 20km BC 段与 AB CD 段都垂 第 9 页 共 54 页 直 长为 10km CD 段长为 30km 求两高速公路间的距离 结果保留根号 34 如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图 已知 BC 7 米 AB 6 3 米 中间平台 DE 与地面 AB 平行 且 DE 的长度为 2 米 DM EN 为平台的 两根支柱 DM EN 垂直于 AB 垂足分别为 M N EAB 30 CDF 45 楼梯宽度为 3 米 1 若要在楼梯上 包括平台 DE 铺满地毯 求地毯的长度 2 沿楼梯从 A 点到 E 点铺设价格为每平方米 100 元的地毯 从 E 点到 C 点 铺设价格为每平方米 120 元的地毯 求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元 钱 35 如图 在 ABC 中 E 点为 AC 的中点 其中 BD 1 DC 3 BC AD 求 DE 的长 36 在 ABC 中 AB BC AC 三边的长分别为 求这个三角形 的面积 小辉同学在解答这道题时 先建立一个正方形网格 每个小正方形的 边长为 1 再在网格中画出格点 ABC 即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶 点处 如图 所示 这样不需求 ABC 的高 而借用网格就能计算出它的面 第 10 页 共 54 页 积 1 请你将 ABC 的面积直接填写在横线上 2 我们把上述求 ABC 面积的方法叫做构图法 若 ABC 三边的长分别为 2 请利用图 的正方形网格 每个小正方形的边长为 1 画出相应的 ABC 并求出它的面积 37 在 ABC 中 已知 AB AC 10 BC 16 点 D 在 BC 上 且 BD 连接 AD 求证 AD AC 38 如图 在 ABC 中 AB AC 28cm BC 20cm 点 D 是 AB 边的中点 若有 一动点 P 在 BC 边上由点 B 向点 C 运动 点 Q 在 CA 边上由点 C 向 A 运动 1 P Q 两点的运动速度均为 3cm s 经过 2 秒后 BPD 与 CPQ 是否全等 说明理由 2 若点 P 的运动速度为 2 5cm s 点 Q 的运动速度为 3 5cm s 是否存在某 一时刻 使 BPD CQP 39 如图 将一根 25cm 长的细木棒放入长 宽 高分别为 8cm 6cm 和 10cm 的长方体无盖盒子中 求细木棒露在盒外面的最短长度是多少 第 11 页 共 54 页 40 今有邑 东西七里 南北九里 各开中门 出东门一十五里有木 问 出 南门几何步而见木 这段话摘自 九章算术 意思是说 如图 矩形城池 ABCD 东边城墙 AB 长 9 里 南边城墙 AD 长 7 里 东门点 E 南门点 F 分别是 AB AD 的中点 EG AB FH AD EG 15 里 HG 经过点 A 问 FH 多少里 第 12 页 共 54 页 数学勾股定理提高题与常考题和培优题数学勾股定理提高题与常考题和培优题 含解析含解析 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 小题 1 2016 荆门 如图 ABC 中 AB AC AD 是 BAC 的平分线 已知 AB 5 AD 3 则 BC 的长为 A 5B 6C 8D 10 分析 根据等腰三角形的性质得到 AD BC BD CD 根据勾股定理即可得到 结论 解答 解 AB AC AD 是 BAC 的平分线 AD BC BD CD AB 5 AD 3 BD 4 BC 2BD 8 故选 C 点评 本题考查了勾股定理 等腰三角形的性质 熟练掌握等腰三角形的性 质是解题的关键 2 2016 株洲 如图 以直角三角形 a b c 为边 向外作等边三角形 半圆 等腰直角三角形和正方形 上述四种情况的面积关系满足 S1 S2 S3图形个数有 第 13 页 共 54 页 A 1B 2C 3D 4 分析 根据直角三角形 a b c 为边 应用勾股定理 可得 a2 b2 c2 1 第一个图形中 首先根据等边三角形的面积的求法 表示出 3 个三角形的 面积 然后根据 a2 b2 c2 可得 S1 S2 S3 2 第二个图形中 首先根据圆的面积的求法 表示出 3 个半圆的面积 然后 根据 a2 b2 c2 可得 S1 S2 S3 3 第三个图形中 首先根据等腰直角三角形的面积的求法 表示出 3 个等腰 直角三角形的面积 然后根据 a2 b2 c2 可得 S1 S2 S3 4 第四个图形中 首先根据正方形的面积的求法 表示出 3 个正方形的面积 然后根据 a2 b2 c2 可得 S1 S2 S3 解答 解 1 S1 a2 S2 b2 S3 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 S1 S2 S3 2 S1 a2 S2 b2 S3 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 S1 S2 S3 第 14 页 共 54 页 3 S1 a2 S2 b2 S3 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 S1 S2 S3 4 S1 a2 S2 b2 S3 c2 a2 b2 c2 S1 S2 S3 综上 可得 面积关系满足 S1 S2 S3图形有 4 个 故选 D 点评 1 此题主要考查了勾股定理的应用 要熟练掌握 解答此题的关键 是要明确 在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平方之和一定等于斜边 长的平方 2 此题还考查了等腰直角三角形 等边三角形 圆以及正方形的面积的求法 要熟练掌握 3 2016 东营 在 ABC 中 AB 10 AC 2 BC 边上的高 AD 6 则另一 边 BC 等于 A 10B 8C 6 或 10 D 8 或 10 分析 分两种情况考虑 如图所示 分别在直角三角形 ABD 与直角三角形 ACD 中 利用勾股定理求出 BD 与 CD 的长 即可求出 BC 的长 解答 解 根据题意画出图形 如图所示 如图 1 所示 AB 10 AC 2 AD 6 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中 根据勾股定理得 BD 8 CD 2 此时 BC BD CD 8 2 10 第 15 页 共 54 页 如图 2 所示 AB 10 AC 2 AD 6 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中 根据勾股定理得 BD 8 CD 2 此时 BC BD CD 8 2 6 则 BC 的长为 6 或 10 故选 C 点评 此题考查了勾股定理 熟练掌握勾股定理是解本题的关键 4 2016 漳州 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 8 D 是线段 BC 上的动点 不含端点 B C 若线段 AD 长为正整数 则点 D 的个数共有 A 5 个B 4 个C 3 个 D 2 个 分析 首先过 A 作 AE BC 当 D 与 E 重合时 AD 最短 首先利用等腰三角 形的性质可得 BE EC 进而可得 BE 的长 利用勾股定理计算出 AE 长 然后可 得 AD 的取值范围 进而可得答案 解答 解 过 A 作 AE BC AB AC EC BE BC 4 AE 3 D 是线段 BC 上的动点 不含端点 B C 3 AD 5 第 16 页 共 54 页 AD 3 或 4 线段 AD 长为正整数 AD 的可以有三条 长为 4 3 4 点 D 的个数共有 3 个 故选 C 点评 此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理 关键是正确利用勾股 定理计算出 AD 的最小值 然后求出 AD 的取值范围 5 2016 南京 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 A 3 4 4B 3 4 5C 3 4 6D 3 4 7 分析 在能够组成三角形的条件下 如果满足较小两边平方的和等于最大边 的平方是直角三角形 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形 依此求解即可 解答 解 A 因为 32 42 42 所以三条线段能组锐角三角形 不符合题意 B 因为 32 42 52 所以三条线段能组成直角三角形 不符合题意 C 因为 3 4 6 且 32 42 62 所以三条线段能组成钝角三角形 符合题意 D 因为 3 4 7 所以三条线段不能组成三角形 不符合题意 故选 C 点评 本题考查了勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形就是直角三角形 掌握组成钝角三角形的条件是解题 的关键 6 2016 淄博 如图 正方形 ABCD 的边长为 10 AG CH 8 BG DH 6 连接 GH 则线段 GH 的长为 第 17 页 共 54 页 A B 2C D 10 5 分析 延长 BG 交 CH 于点 E 根据正方形的性质证明 ABG CDH BCE 可得 GE BE BG 2 HE CH CE 2 HEG 90 由勾股定理可得 GH 的长 解答 解 如图 延长 BG 交 CH 于点 E 在 ABG 和 CDH 中 ABG CDH SSS AG2 BG2 AB2 1 5 2 6 AGB CHD 90 1 2 90 5 6 90 又 2 3 90 4 5 90 1 3 5 2 4 6 在 ABG 和 BCE 中 ABG BCE ASA BE AG 8 CE BG 6 BEC AGB 90 第 18 页 共 54 页 GE BE BG 8 6 2 同理可得 HE 2 在 RT GHE 中 GH 2 故选 B 点评 本题主要考查正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理及 其逆定理的综合运用 通过证三角形全等得出 GHE 为等腰直角三角形是解题 的关键 7 2016 青海 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 其面积标记为 S1 以 CD 为 斜边作等腰直角三角形 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形 其面积标记为 S2 按照此规律继续下去 则 S9的值为 A 6B 7C 6D 7 分析 根据等腰直角三角形的性质可得出 S2 S2 S1 写出部分 Sn的值 根据 数的变化找出变化规律 Sn n 3 依此规律即可得出结论 解答 解 在图中标上字母 E 如图所示 正方形 ABCD 的边长为 2 CDE 为等腰直角三角形 DE2 CE2 CD2 DE CE S2 S2 S1 观察 发现规律 S1 22 4 S2 S1 2 S3 S2 1 S4 S3 第 19 页 共 54 页 Sn n 3 当 n 9 时 S9 9 3 6 故选 A 点评 本题考查了等腰直角三角形的性质 勾股定理以及规律型中数的变化 规律 解题的关键是找出规律 Sn n 3 本题属于中档题 难度不大 解 决该题型题目时 写出部分 Sn的值 根据数值的变化找出变化规律是关键 8 2016 黔东南州 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我 国古代数学家赵爽的弦图 它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼 成的大正方形 如图所示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积为 1 直角三角形的较短直角边长为 a 较长直角边长为 b 那么 a b 2的值为 A 13B 19C 25D 169 分析 根据题意 结合图形求出 ab 与 a2 b2的值 原式利用完全平方公式化 简后代入计算即可求出值 解答 解 根据题意得 c2 a2 b2 13 4 ab 13 1 12 即 2ab 12 则 a b 2 a2 2ab b2 13 12 25 故选 C 点评 此题考查了勾股定理的证明 利用了数形结合的思想 熟练掌握勾股 定理是解本题的关键 9 2016 黄冈校级自主招生 如图 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 互相垂直 若 AB 3 BC 4 CD 5 则 AD 的长为 第 20 页 共 54 页 A 3B 4C 2D 4 分析 在 Rt AOB Rt DOC 中分别表示出 AO2 DO2 从而在 Rt ADO 中利 用勾股定理即可得出 AD 的长度 解答 解 在 Rt AOB 中 AO2 AB2 BO2 Rt DOC 中可得 DO2 DC2 CO2 可得 AD2 AO2 DO2 AB2 BO2 DC2 CO2 18 即可得 AD 3 故选 A 点评 此题考查了勾股定理的知识 解答本题的关键是在 Rt AOB Rt DOC 中分别表示出 AO2 DO2 需要我们熟练掌握勾股定理的表达形式 10 2016 雅安校级自主招生 如图 已知 ABC 为直角三角形 分别以直角 边 AC BC 为直径作半圆 AmC 和 BnC 以 AB 为直径作半圆 ACB 记两个月牙形 阴影部分的面积之和为 S1 ABC 的面积为 S2 则 S1与 S2的大小关系为 A S1 S2B S1 S2C S1 S2D 不能确定 分析 根据题给图形可知 S1 AC 2 BC 2 AB 2 S 第 21 页 共 54 页 ABC S2 S ABC 在 Rt ABC 中 BC2 AC2 AB2 继而即可得出答案 解答 解 在 Rt ABC 中 BC2 AC2 AB2 S1 AC 2 BC 2 AB 2 S ABC BC2 AC2 AB2 S ABC S ABC S2 S ABC S1 S2 故选 C 点评 本题考查的是勾股定理 根据题意得出阴影部分的面积与直角三角形 三条边的关系是解答此题的关键 11 2016 海淀区校级模拟 如图 在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF GH 四条线段 其中能构成一个直角三角形三边的线段是 A CD EF GHB AB EF GHC AB CD GHD AB CD EF 分析 设出正方形的边长 利用勾股定理 解出 AB CD EF GH 各自的长 度 再由勾股定理的逆定理分别验算 看哪三条边能够成直角三角形 解答 解 设小正方形的边长为 1 则 AB2 22 22 8 CD2 22 42 20 EF2 12 22 5 GH2 22 32 13 因为 AB2 EF2 GH2 所以能构成一个直角三角形三边的线段是 AB EF GH 故选 B 第 22 页 共 54 页 点评 考查了勾股定理逆定理的应用 12 2016 富顺县校级模拟 如图 将一边长为 a 的正方形 最中间的小正方 形 与四块边长为 b 的正方形 其中 b a 拼接在一起 则四边形 ABCD 的面 积为 A b2 b a 2B b2 a2C b a 2D a2 2ab 分析 先求出 AE 即 DE 的长 再根据三角形的面积公式求解即可 解答 解 DE b a AE b S四边形 ABCD 4S ADE a2 4 b a b a2 b2 b a 2 故选 A 点评 本题考查的是勾股定理 熟知在任何一个直角三角形中 两条直角边 长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 12 小题 小题 13 2016 淮阴区一模 点 A 3 4 到原点的距离为 5 分析 易得点 A 的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形 利用 勾股定理求解即可 第 23 页 共 54 页 解答 解 点 A 的坐标为 3 4 到原点 O 的距离 OA 5 故答案为 5 点评 本题主要利用了 平面内一点到原点的距离等于其横纵坐标的平方和的 算术平方根 这一知识点 14 2016 道外区二模 已知等腰三角形的腰长为 5 一腰上的高为 3 则以底 边为边长的正方形的面积为 10 或 90 分析 根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况 然后根据勾股定理计算求解即可 解答 解 由题意可作图 如图 1 AC 5 CD 3 CD AB 根据勾股定理可知 AD 4 BD 1 BC2 12 32 10 如图 2 AC 5 CD 3 CD AB 根据勾股定理可知 AD 4 BD 9 BC2 92 32 90 故答案是 10 或 90 点评 本题考查了等腰三角形的性质 作出图形利用三角形知识求解即 可 注意 需要分类讨论 15 2016 烟台 如图 O 为数轴原点 A B 两点分别对应 3 3 作腰长为 4 第 24 页 共 54 页 的等腰 ABC 连接 OC 以 O 为圆心 CO 长为半径画弧交数轴于点 M 则点 M 对应的实数为 分析 先利用等腰三角形的性质得到 OC AB 则利用勾股定理可计算出 OC 然后利用画法可得到 OM OC 于是可确定点 M 对应的数 解答 解 ABC 为等腰三角形 OA OB 3 OC AB 在 Rt OBC 中 OC 以 O 为圆心 CO 长为半径画弧交数轴于点 M OM OC 点 M 对应的数为 故答案为 点评 本题考查了勾股定理 在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平 方之和一定等于斜边长的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 也考查了等腰三角形的性质 16 2016 绥化 如图 在四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 E DAB CDB 90 ABD 45 DCA 30 AB 则 AE 2 提示 可过点 A 作 BD 的垂线 分析 过 A 作 AF BD 交 BD 于点 F 由三角形 ABD 为等腰直角三角形 利 用三线合一得到 AF 为中线 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 AF 的长 在直角三角形 AEF 中 利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求 第 25 页 共 54 页 出 AE 的长即可 解答 解 过 A 作 AF BD 交 BD 于点 F AD AB DAB 90 AF 为 BD 边上的中线 AF BD AB AD 根据勾股定理得 BD 2 AF 在 Rt AFE 中 EAF DCA 30 EF AE 设 EF x 则有 AE 2x 根据勾股定理得 x2 3 4x2 解得 x 1 则 AE 2 故答案为 2 点评 此题考查了勾股定理 含 30 度直角三角形的性质 以及等腰三角形的 性质 熟练掌握勾股定理是解本题的关键 17 2016 徐州二模 一副三角板如图放置 点 C 在 FD 的延长线上 AB CF F ACB 90 E 45 A 60 若 AB DE 8 则 BE 8 2 结果保留根号 第 26 页 共 54 页 分析 过 B 作 BG FC 交 FC 于点 G 由三角函数求出 BC 的长 由等腰直角 三角形得性质和含 30 角的直角三角形的性质得出 BG DG BC 2 求出 BD 即可得出 BE 的长 解答 解 过 B 作 BG FC 交 FC 于点 G 如图所示 AB CF F ACB 90 E 45 A 60 AB 8 ABC BCG 30 BC AB sin60 AB 4 EDF 和 BGD 都为等腰直角 三角形 BG DG BC 2 BD BG 2 BE DE BD 8 2 故答案为 8 2 点评 此题考查了勾股定理 平行线的性质 含 30 度直角三角形的性质 以 及等腰直角三角形的判定与性质 熟练掌握勾股定理是解本题的关键 18 2016 南京一模 如图 Rt ABC 的周长为 以 AB AC 为边向 外作正方形 ABPQ 和正方形 ACMN 若这两个正方形的面积之和为 25 cm2 则 ABC 的面积是 5 cm2 第 27 页 共 54 页 分析 根据正方形的面积公式 勾股定理求得 a2 c2 b2 25 据此可以求得 a 5 又由 Rt ABC 的周长为可以求得 b c 3 所以 ABC 的面积 bc c b 2 c2 b2 2 解答 解 如图 a2 c2 b2 25 则 a 5 又 Rt ABC 的周长为 a b c 5 3 b c 3 cm ABC 的面积 bc c b 2 c2 b2 2 3 2 25 2 5 cm2 故答案是 5 点评 本题考查了勾股定理的应用 解答此题时 巧妙地运用了完全平方公 式的变形来求 ABC 的面积 19 2016 黄冈模拟 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 3 BC 4 点 D 在 AB 上 AD AC AF CD 交 CD 于点 E 交 CB 于点 F 则 CF 的长是 1 5 分析 连接 DF 由勾股定理求出 AB 5 由等腰三角形的性质得出 CE DE 由 第 28 页 共 54 页 线段垂直平分线的性质得出 CF DF 由 SSS 证明 ADF ACF 得出 ADF ACF BDF 90 设 CF DF x 则 BF 4 x 在 Rt BDF 中 由勾股定理 得出方程 解方程即可 解答 解 连接 DF 如图所示 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 3 BC 4 AB 5 AD AC 3 AF CD CE DE BD AB AD 2 CF DF 在 ADF 和 ACF 中 ADF ACF SSS ADF ACF 90 BDF 90 设 CF DF x 则 BF 4 x 在 Rt BDF 中 由勾股定理得 DF2 BD2 BF2 即 x2 22 4 x 2 解得 x 1 5 CF 1 5 故答案为 1 5 点评 本题考查了勾股定理 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 线段垂直平分线的性质 熟练掌握勾股定理 证明三角形全等是解决问题的关 第 29 页 共 54 页 键 20 2016 江西三模 如图 Rt ABC 中 ABC 90 DE 垂直平分 AC 垂足 为 O AD BC 且 AB 5 BC 12 则 AD 的长为 分析 连接 AE 根据垂直平分线的性质可得 AE EC 然后在直角 ABE 中利 用勾股定理即可列方程求得 EC 的长 然后证明 AOD COE 即可求得 解答 解 连接 AE DE 是线段 AC 的垂直平分线 AE EC 设 EC x 则 AE EC x BE BC EC 12 x 在直角 ABE 中 AE2 AB2 BE2 x2 52 12 x 2 解得 x 即 EC AD BC D OEC 在 AOD 和 COE 中 AOD COE AD EC 故答案是 第 30 页 共 54 页 点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质 正确列方程求得 EC 的长是关键 21 2016 孝义市三模 如图 ABC 是等腰三角形 AB AC 5 BC 6 E 为 BA 延长线上的一点 AE AB D 为 BC 的中点 则 DE 的长为 分析 根据题意结合等腰三角形的性质得出 AD BC BD DC 3 再利用相似 三角形的判定与性质得出 EN BN 的长 即可得出答案 解答 解 连接 AD 过点 E 作 EN BC 于点 N AB AC 5 D 为 BC 的中点 AD BC BD DC 3 AB AC 5 AD 4 EN BC AD EN ABD EBN 解得 BN 4 5 EN 6 DN 1 5 第 31 页 共 54 页 DE 故答案为 点评 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和相似三角形的判定 与性质 正确得出 EN DN 的长是解题关键 22 2016 碑林区校级三模 如图 在 Rt ABC 中 ABC 是直角 AB 4 BC 2 P 是 BC 边上的动点 设 BP x 若能在 AC 边上找到一点 Q 使 BQP 90 则 x 的取值范围是 x 2 分析 先根据勾股定理计算出 AC 6 由于 BQP 90 根据圆周角定理得到 点 Q 在以 PB 为直径的圆 M 上 而点 Q 在 AC 上 则有 AC 与 M 相切于点 Q 连结 MQ 根据切线的性质得 MQ AC MQ BM x 然后证明 Rt CMQ Rt CAB 再利用相似比得到x 4 2 x 6 最后解方程即可 解答 解 ABC 90 AB 4 BC 2 AC 6 BQP 90 点 Q 在以 PB 为直径的圆 M 上 点 Q 在 AC 上 AC 与 M 相切于点 Q 第 32 页 共 54 页 连结 MQ 如图 则 MQ AC MQ BM x QCM BCA Rt CMQ Rt CAB QM AB CM AC 即x 4 2 x 6 x 当 P 与 C 重合时 BP 2 BP x 的取值范围是 x 2 故答案为 x 2 点评 本题考查了直线与圆的位置关系 设 O 的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 则直线 l 和 O 相交 d r 直线 l 和 O 相切 d r 直线 l 和 O 相离 d r 也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质 23 2016 长春模拟 如图 在四边形 ABCD 中 A 90 AB 5 AD 3 点 M 在边 AB 上 则 DM 的最大值为 分析 连结 BD 作辅助线构建直角三角形 根据勾股定理即可求出 DM 的最 大值 解答 解 连结 BD A 90 AB 5 AD 3 在 Rt ABD 中 BD 第 33 页 共 54 页 即 DM 的最大值为 故答案为 点评 本题考查了勾股定理 关键是熟悉勾股定理 在任何一个直角三角形 中 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 24 2016 余干县二模 如图 在 ABC 中 AB AC 4 AO BO P 是射线 CO 上的一个动点 AOC 120 则当 PAB 为直角三角形时 AP 的长为 2 或 2 分析 利用分类讨论 当 APB 90 时 分两种情况讨论 情况一 如图 1 易得 PBA 30 利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论 情况二 利用锐角三角函数得 AP 的长 如图 2 当 BAP 90 时 如图 3 利用锐角三角 函数得 AP 的长 解答 解 当 APB 90 时 分两种情况讨论 情况一 如图 1 AO BO PO BO AOC 120 AOP 60 AOP 为等边三角形 第 34 页 共 54 页 OAP 60 PBA 30 AP AB 2 情况二 如图 2 AO BO APB 90 PO BO AOC 120 BOP 60 BOP 为等边三角形 OBP 60 AP AB sin60 4 2 当 BAP 90 时 如图 3 AOC 120 AOP 60 AP OA tan AOP 2 2 故答案为 2 或 2 第 35 页 共 54 页 点评 本题主要考查了勾股定理 含 30 直角三角形的性质和直角三角形斜边 的中线 利用分类讨论 数形结合是解答此题的关键 三 解答题 共三 解答题 共 16 小题 小题 25 2016 春 周口期末 在四边形 ABCD 中 AB AD 8 A 60 D 150 四边形周长为 32 求 BC 和 CD 的长度 分析 如图 连接 BD 构建等边 ABD 直角 CDB 利用等边三角形的性 质求得 BD 8 然后利用勾股定理来求线段 BC CD 的长度 解答 解 如图 连接 BD 由 AB AD A 60 则 ABD 是等边三角形 即 BD 8 1 60 又 1 2 150 则 2 90 设 BC x CD 16 x 由勾股定理得 x2 82 16 x 2 解得 x 10 16 x 6 所以 BC 10 CD 6 点评 本题考查了勾股定理 等边三角形的判定与性质 根据已知条件推知 CDB 是解题关键 第 36 页 共 54 页 26 2016 高安市一模 正方形网格中 小格的顶点叫做格点 小华按下列要 求作图 在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点 使其中任意两点不 在同一实线上 连结三个格点 使之构成直角三角形 小华在下边的正方形 网格中作出了 Rt ABC 请你按照同样的要求 在下面的两个正方形网格中各 画出一个直角三角形 并使三个网格中的直角三角形互不全等 分析 本题中得出直角三角形的方法如图 如果设 AE x BE 4 x 如果 FEG 90 AFE GBE AF BG AE BE x 4 x 当 x 1 时 AF BG 3 AF 1 BG 3 或 AF 3 BG 1 当 x 2 时 AF BG 4 AF 1 BG 4 或 AF 2 BG 2 或 AF 4 BG 1 当 x 3 时 AF BG 3 AF 1 BG 3 或 AF 3 BG 1 同 x 1 时 由此可画出另两种图形 解答 解 如图所示 点评 本题中借助了勾股定理 相似三角形的判定和性质等知识来得出有可 能的直角三角形的情况 要学会对已学知识点的运用 第 37 页 共 54 页 27 2016 南开区一模 问题背景 在 ABC 中 AB BC AC 三边的长分别为 求这个三角形的面 积 小辉同学在解答这道题时 先建立一个正方形网格 每个小正方形的边长 为 1 再在网格中画出格点 ABC 即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处 如图所示 这样不需求 ABC 的高 而借用网格就能计算出它的面积 1 请你将 ABC 的面积直接填写在横线上 2 若 ABC 三边的长分别为 2 m 0 n 0 且 m n 运用构图法可求出这三角形 的面积为 5mn 分析 1 是直角边长为 1 2 的直角三角形的斜边 是直角边长为 1 3 的直角三角形的斜边 是直角边长为 2 3 的直角三角形的斜边 把它 整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积 2 结合 1 易得此三角形的三边分别是直角边长为 m 4n 的直角三角形的 斜边 直角边长为 3m 2n 的直角三角形的斜边 直角边长为 2m 2n 的直角 三角形的斜边 同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可 得 解答 解 1 S ABC 3 3 1 2 2 3 1 3 2 构造 ABC 如图所示 第 38 页 共 54 页 S ABC 3m 4n m 4n 3m 2n 2m 2n 5mn 故答案为 1 2 5mn 点评 此题主要考查了勾股定理应用 利用了数形结合的思想 通过构造直 角三角形 利用勾股定理求解是解题关键 关键是结合网格用矩形及容易求得 面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答 28 2016 封开县二模 如图 1 在 Rt ABC 中 A 90 AB 6 AC 8 点 D 为边 BC 的中点 DE BC 交边 AC 于点 E 点 P 为射线 AB 上的一动点 点 Q 为边 AC 上的一动点 且 PDQ 90 1 求 ED EC 的长 2 若 BP 2 求 CQ 的长 分析 1 由勾股定理求得 BC 10 通过 两角法 证得 CDE CAB 则对 应边成比例 DE AB CE CB CD CA 由此可以求得 DE CE 的值 2 如图 2 当 P 点在 AB 上时 由 PDQ 90 就可以得出 2 4 就可以证 明 PBD QED 就可以 EQ 的值 从而求得 CQ 的值 如图 2 1 当 P 点在 AB 的延长线上时 证明 PBD QED 由相似三角形的性质就可以求出结论 解答 解 1 如图 1 A 90 AB 6 AC 8 根据勾股定理得到 BC 10 第 39 页 共 54 页 CD BC 5 DE BC A CDE 90 C C CDE CAB DE AB CE CB CD CA 即 DE 6 CE 10 5 8 DE CE 2 如图 2 CDE CAB B DEC PDQ 90 1 4 90 1 2 90 2 4 PBD QED EQ CQ CE EQ 如图 2 1 B DEC PBD QED PDQ 90 1 2 90 第 40 页 共 54 页 3 2 90 1 3 PBD QED EQ CQ 故 CQ 或 点评 本题考查了直角三角形的性质的运用 勾股定理的运用 相似三角形 的判定及性质的运用 分类讨论思想在解实际问题的运用 等腰三角形的性质 的运用 三角函数值的运用 解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难 点 证明三角形相似是关键 29 2016 石家庄一模 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC AB BC 对角线 AC CD 点 E 在边 BC 上 且 AEB 45 CD 10 1 求 AB 的长 第 41 页 共 54 页 2 求 EC 的长 分析 1 在 Rt ACD 中 根据三角函数可求 AC DAC 30 根据 平行线的性质得到 ACB 30 在 Rt ACB 中 根据三角函数可求 AB 的长 2 在 Rt ABE 中 根据三角函数可求 BE BC 再根据 EC BC BE 即可求解 解答 解 1 在 Rt ACD 中 D 60 CD 10 AC DAC 30 又 AD BC ACB DAC 30 在 Rt ACB 中 AB AC 2 在 Rt ABE 中 AEB 45 BE AB 由 1 可知 BC AB 15 EC BC BE 点评 本题主要考查了勾股定理 三角函数 根据三角函数求出线段的长是 本题的基本思路 30 2016 滨海新区二模 如图 将线段 AB 放在每个小正方形的边长为 1 的 网格中 点 A 点 B 均落在格点上 1 AB 的长等于 2 请在如图所示的网格中 用无刻度的直尺 在线段 AB 上画出点 P 使 AP 并简要说明画图方法 不要求证明 取格点 C D 连接 CD CD 与 AB 交于点 P 则点 P 即为所求 可根据 APC BPD 证明 第 42 页 共 54 页 分析 1 利用格点 根据勾股定理求出 AB 的长 2 根据三角形相似 使得 AP 为 AB 长度的即可 解答 解 1 AB 2 如图所示 取格点 C D 连接 CD CD 与 AB 交于点 P 则点 P 即为所 求 可根据 APC BPD 证明 故答案为 取格点 C D 连接 CD CD 与 AB 交于点 P 则点 P 即为所 求 可根据 APC BPD 证明 点评 本题考查了勾股定理 充分利用格点的特点和相似三角形的性质是解 题的关键 31 2016 安徽模拟 如图 AB MN 于 A CD MN 于 D 点 P 是 MN 上一个 动点 1 如图 BP 平分 ABC CP 平分 BCD 交 BP 于点 P 若 AB 4 CD 6 试 求 AD 的长 2 如图 BPC BPA BC BP 若 AB 4 求 CD 的长 第 43 页 共 54 页 分析 1 过点 P 作 PE BC 于 E 过点 B 作 BF CD 于 F 利用角平分线性 质定理可得 AP PE 再由全等三角形的判定方法可知 Rt ABP Rt EBP 同理 可证 Rt CEP Rt CDP 进而可得 AB BE CE CD 即 BC 10 易证四边形 ABFD 是矩形 所以 BF AD 利用勾股定理求出 BF 的长即可 2 如图 2 延长 CB 和 PA 记交点为点 Q 根据等腰 QPC 三合一 的性质 证得 QB BC 由相似三角形 QAB QDC 的对应边成比例得到 则 CD 2AB 问题得解 解答 解 1 过点 P 作 PE BC 于 E 过点 B 作 BF CD 于 F AB MN 于 A CD MN 于 D BP 平分 ABC AP PE 在 Rt ABP 和 Rt EBP 中 Rt ABP Rt EBP AB BE 4 同理可得 CE CD 6 BC BE CE 10 易证四边形 ABFD 是矩形 BF AD CF 6 4 2 AD 4 2 延长 CB 和 PA 记交点为点 Q 第 44 页 共 54 页 BPC BPA BC BP QB BC 等腰三角形 三合一 的性质 BA MN CD MN AB CD QAB QDC CD 2AB 2 4 8 点评 本题考查了勾股定理的运用 矩形的判定和性质 等腰三角形的判定 和性质以及全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 题目的综合 性较强 难度较大 解题的关