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5 3解析函数在无穷远点的性质 一 点为孤立奇点的定义及分类 二 点为孤立奇点的性质 定义5 4设函数f z 在无穷远点 去心 邻域N z 0内解析 则称点 为f z 的一个孤立奇点 设点 为f z 的孤立奇点 利用变换z 1 z 在去心邻域 5 12 5 3解析函数在无穷远点的性质 于是 1 对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N 有扩充z 平面上的原点的去心邻域 2 在对应点z与z 平面上 函数 3 或两个极限都不存在 定义5 5若z 0为 的可去奇点 解析点 m阶极点或本性奇点 则我们相应地称z 为f z 的可去奇点 解析点 m阶极点或本性奇点 设在去心邻域K 0 0 z 1 r内将 展成罗朗阶数 令z 1 z 根据 5 12 则有 其中 5 13 5 13 为f z 在无穷远点去心邻域N 0 r z 内的罗朗展式 对应 在z 0 的主要部分 我们称 为f z 在z 的主要部分 1 f z 在z 的主要部分为 3 f z 在z 的某去心邻域N 内有界 定理5 3 对应于定理5 3 f z 的孤立奇点z 为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立 1 f z 在z 的主要部分为零 定理5 4 对应于定理5 4 f z 的孤立奇点z 为m阶极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立 定理5 5 对应于定理5 5 f z 的孤立奇点 为极点的充要条件是 定理5 6 对应于定理5 6 f z 的孤立奇点 为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立 1 f z 在z 的主要部分有无穷多项正幂 不等于零 2 广义不存在 即当z趋向于 时f z 不趋向于任何 有限或无穷 极限 例5 11 例5 12将多值函数 的在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗阶数 例5 14求出函数 的全部奇点 并判断其类型 含 点 例5 15问函数 在z 1的区新邻域内能否展开为洛朗阶数 例5 16设f z 在0 z a R内解析 且不恒为零 又若f z 有一列异于a但却以a为聚点的零点 试证a必为f z 的本性
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