第二章习题答案

2 1 已知半径为 a 的导体球面上分布着面电荷密度为的 0cosss 电荷 式中的为常数 试求球面上的总电荷量 0s z y x o r ds r 解 球面上的总电荷量等于面电荷密度沿 r a 的球面上的积分 在 球面上选择一个小的球环 面积为 对应的弧长为 因此 r dsdlad 2sin2sin r dsadlaad 2 00 0 coscos 2sin0 sss ss qdsdsad 2 14 题 在下列条件下 对给定点求 divE 的值 1 求点处 divE 222 2 2 xyz xyzyx zxyx y V m eeeE 1 2 3 1 P 的值 2 22222 2sinsin22sin z zzzV m eeeE 求点处 divE 的值 2 2 110 1 Pz 解 1 222 2 2 22 2 3 1 2 210 divxyzyx zxyx yyzx xyz E 2 22222 22222 11 2sin sin2 2sin 4sin2cos22sin 9 06 divzzz z zz E 2 15 题 半径为 a 的球中充满密度为 r 的体电荷 已知电位移分 布为 2 54 2 0 r r r rArra D aAa ra r 3 r e D e e 其中 A 为常数 试求电荷密度 r 解 利用高斯定理的微分形式 即得 AD 2 2 1 r r D rr AD 在 r a 区域中 22 2 1 54rrArrAr rr A 32 D 在 r a 区域中 54 2 22 1 0 aAa r rrr AD 2 20 在半径 a 1mm 的非磁性材料圆柱形实心导体内 沿 z 轴方 向通过电流 I 20A 试求 1 处的 B 2 0 8mm 处的 B 3 圆柱内单位长度的总磁通 1 2mm 解 1 圆柱形导体内的电流密度为 262 23 2 20 6 37 10 1 10 zzz I A mA m a Jeee 利用安培环路定律得 2 0 2BJ 3 0 80 1 3 2 10 2 mm JT Bee 2 利用安培环路定律得 3 0 1 2 3 33 10 2 mm I T Bee 3 圆柱内单位长度的总磁通为 2 00 0 6 11 0222 2 10 aa dJ dJ Wb ABS 2 22 通过电流密度为 J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱 形空腔 其横截面如图题 2 22 所示 试计算各部分的磁感应强度 并证明空腔内的磁场是均匀的 解 y b ac J b r a r b o a o P 因空腔中电流密度为零 可视为同时存在 J 和 J 的电流密度 这样 可将原来的电流分布视为如下两个电流分布的叠加 一个电 流密度为 J 均匀分布在半径为 b 的圆柱内 另一个电流密度为 J 均匀分布在半径为 a 的圆柱内 空间的场 便是它们共同产生 x 的 由安培环路定律 可得到电流密度为 J 均匀分0 c dI A A Bl 布在半径为 b 的圆柱内的电流产生的磁场为 0 00 2 0 2 1 b 2 zbb bzr zbb b Jr II rr Jbr r er Beee er 半径为 a 电流密度为 J 的圆柱的磁场为 0 00 2 0 2 1 a 2 zaa azr zaa a Jr II rr Jbr r er Beee er 其中 分别是点和到场点 P 的位置矢量 ab rr a o b o 将上面两式叠加 可得空间各区域的场 圆柱外 22 0 22 1 2 zba ba J rr Berr 圆柱内的空腔外 2 0 2 11 2 zba a J rr Berr 空腔内 00 1111 22 zbaz JJ rrc c Berre 可见 空腔内是均匀场 2 24 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动 整个装置位于正弦 时变磁场之中 如图所示 滑片的位置由 5cos z t mT Be 确定 轨道终端接有电阻 0 35 1 cos tm x0 2 R 求电流 i x y ai RB d 0 7m c b 解 穿过导体回路 abcda 的磁通为 5cos0 2 0 7 cos 0 70 35 1 cos 0 35cos 1 cos zz dBadabtx tttt AABSee 因此 感应电流为 11 0 35 sin 1 cos 1 75 sin 12cos in d itt RR dtR ttmA 2 26 求下列情况下的位移电流密度的大小 1 某移动天线发射的电磁波的磁场强度 8 0 15cos 9 36 103 12 x ty A m He 2 一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度 26 0 8cos 3 77 101 26 10 y tx T Be 3 一大功率变压器在填充的油中产生的电场强度 26 0 9cos 3 77 102 81 10 x tz MV m Ee 设油的相对介电常数 5 r 4 工频 f 50Hz 下的金属导体中 0 2m 2 0 1sin 377117 1 x tz MA m Je 设金属导体的 7 00 5 8 10 s m 解 1 在真空中 传导电流为 0 因此由 得到位移电流 t D H 为 82 82 00 0 15cos 9 36 103 12 0 468sin 9 36 103 12 xyz x dz x z z H txyzy H ty A m y ty A m eee D JHe e e 故 2 0 468 d A m J 2 由 得到位移电流为 0 t D HBH 000 26 0 262 111 00 1 0 8cos 3 77 101 26 10 0 802sin 3 77 101 26 10 xyz y dz y z z B txyzx B tx x tx A m eee D JBe e e 故 2 0 802 d A m J 3 626 0 12626 5 0 9 10 cos 3 77 102 81 10 5 8 85 100 9 10 cos 3 77 102 81 10 rox x tz tz DE e e 3262 15 10sin 3 77 102 81 10 dx tz A m t D Je 故 32 15 10 d A m J 4 6 7 2 1 10 sin 377117 1 5 8 10 1 72 10sin 377117 1 x x tz tz V m J E e e 122 8 85 101 72 10sin 377117 1 x tz DE e 142 122 15 26 10377cos 3 77 10117 1 57 53 10cos 3 77 10117 1 dx x tz t tz A m D Je e 故 122 57 53 10 d A m J 2 27 同轴线的内导体半径 a 1mm 外导体的内半径 b 4mm 内外 导体间为空气 如图所示 假设内 外导体间的电场强度为 1 求与 E 相伴的 H 2 确定 8 100 cos 10 tkz V m Ee k 的值 3 求内导体表面的电流密度 4 求沿轴线 区域内的位移电流 01zm a b 解 1 由麦克斯韦方程组得到 因此 0 t H E 00 8 0 11 100 sin 10 E tz k tkz H Ee e 将上式对时间 t 积分 得到 8 8 0 100 cos 10 10 k tkz He 2 为确定 k 值 将上述 H 代入得到 0 t E H 00 2 8 8 00 11 1 100 sin 10 10 H tz k tkz E He e 将上式对时间 t 积分 得到 2 8 16 00 100 cos 10 10 k tkz Ee 将其与题中的 E 比较 得到 216 0010 k 因此 1 3 krad m 同轴线内 外导体之间的电场和磁场表示为 8 1001 cos 10 3 tz V m Ee 8 1001 cos 10 1203 tz A m He 3 将内导体视为理想导体 利用理想导体的边界条件即可求出内 导体表面的电流密度 8 8 1001 cos 10 1203 1 265 3cos 10 3 na z tz tz A m s JeHee e 位移电流密度为 8 00 2 82 1001 cos 10 3 8 85 101 sin 10 3 d tz tt tz A m E Je e 4 在区域内的位移电流为 01zm 11 28 00 281 0 8 1 228 85 10sin 10 3 1 28 85 103 cos 10 3 1 0 55sin 10 6 ddd s iddztz dz tz tA AAJSJe 2 30 煤质 1 的电参数为 煤质 2 的电 10101 4 2 0 参数为 两种煤质分解面上的法向单位 10101 2 3 0 矢量为 由煤质 2 指向煤质 1 若 0 640 60 48 nxyz eeee 已知煤质 1 内邻近分解面上的点 P 处的磁感应强度 求 P 点处下列量的大小 1 23 sin300 T xyz t Beee 1122 ntnt BBBB 解 在分界面法线方向的分量为 1 B 11 23 0 640 60 48 2 nnxyzxyz BT AAB eeeeeee 22 111 3 16 tn BBBT 利用磁场边界条件 得到 21 2 nn BBT 利用磁场边界条件 得到 2 21 1 3 3 164 74 2 tt BBT 2 31 煤质 1 的电参数为 煤质 2 可视 10101 5 3 0 为理想导体 设 y 0 为理想导体表面 y 0 的区域 煤 2 质 1 内的电场强度为 试 8 20cos 2 102 58 y tz V m Ee 计算 t 6ns 时 1 点 P 2 0 0 3 处的面电荷密度 2 s 点 P 处的 H 3 点 P 处的面电流密度 s J 解 1 8 0 0 30 92 20 5cos 2 102 58 80 6 10 nyzyy tz C m AA s e De e 2 由 得到 t H E 8 0