证明线段相等的方法VIP

1 平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明几种方法 平面几何中线段相等的证明看似简单 但方法不当也会带来麻烦 特别是在有 限的两个小时考试中 恰当选用正确的方法 可取得事半功倍的效果 一 利用全等三角形的性质证明线段相等一 利用全等三角形的性质证明线段相等 这种方法很普遍 如果所证两条线段分别在不同的三角形中 它们所在三角形 看似全等 或者 通过简单处理 它们所在三角形看似全等 可考虑这种方法 例 例 1 1 如图 C 是线段 AB 上一点 ACD 和 BCE 是等边三角形 求证 AE BD 证明证明 ACB 和 BCE 都是等边三角形 ACD 60 BCE 60 DCE 60 ACE ACD DCE 120 BCD BCE DCE 120 AC CD CE CB ACE DCB SAS AE DB 例 例 2 2 如图 已知 ABC 中 AB AC 点 E 在 AB 上 点 F 在 AC 的延长线上 且 BE CF EF 与 BC 交于 D 求证 ED DF 证明 证明 过点 E 作 EG AF 交 BC 于点 G EGB ACB EGD FCD 2 AB AC B ACB B FGB BE GE BE CF GE CF 在 EGD 和 FCD 中 EGD FCD EDG FDC GE CF EGD FCD AAS ED FD 二 利用等腰三角形的判定 等角对等边 证明线段相等二 利用等腰三角形的判定 等角对等边 证明线段相等 如果两条所证线段在同一三角形中 证全等一时难以证明 可以考虑用此法 例 例 1 1 如图 已知在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 E 是 AD 上的一点 且 BE AC 延长 BE 交 AC 于 F 求证 AF EF 证明 证明 延长 AD 到 G 使 DG AD 连结 BG AD GD ADC GDB CD BD ADC GDB AC GB FAE BGE BE AC BE BG BGE BEG FAE BGE BEG AEF AE EF 例 例 2 2 如图 已知 ABC 中 AB AC DF BC 于 F DF 与 AC 交于 E 与 BA 的 延长线交于 D 求证 AD AE 3 证明 证明 DF BC DFB EFC 90 D 90 B CEF 90 C AB AC B C D CEF CEF AED D AED AD AE 三 利用平行四边形的性质证明线段相等三 利用平行四边形的性质证明线段相等 如果所证两线段在一直线上或看似平行 用上面的方法不易 可以考虑此法 例 例 1 1 如图 ABC 中 C 90 A 30 分别以 AB AC 为边在 ABC 的外侧作正 ABE 和正 ACD DE 与 AB 交于 F 求证 EF FD 证明 证明 过 D 作 DO AC 交 AB 于点 O OD 垂直平分 AC ACB 90 BC AC O 点必为 AB 的中点 连结 EO 则 EO AB 4 CAB 30 BAE CAD 60 AD AB AE AC OE AD AE OD 四边形 ODAE 为平行四边形 EF FD 例 例 2 2 如图 AD 是 ABC 的中线 过 DC 上任意一点 F 作 EG AB 与 AC 和 AD 的延长线分别交于 G 和 E FH AC 交 AB 于点 H 求证 HG BE 证明 证明 延长 AD 到 A 使 DA AD 又 BD CD 四边形 BACA 是平行四边形 BA A C 由题设可知 HFGA 也是平行四边形 HF AG HF AC 又 HF AG BA A C BH EG 四边形 BEGH 是平行四边形 HG BE 5 四 利用中位线证明线段相等四 利用中位线证明线段相等 如果已知中含有中点或等边等 用上面方法较难 可以考虑此法 例 例 1 1 如图 以 ABC 的边 AB AC 为斜边向外作直角三角形 ABD 和 ACE 且 使 ABD ACE M 是 BC 的中点 证明 DM EM 证明 证明 延长 BD 至 F 使 DF BD 延长 CE 到 G 使 EG CE 连结 AF FC 连结 AG BG BD FD ADB ADF 90 AD AD Rt ABD Rt AFD BAD FAD 同理可得 CAE GAE ABD ACE FAB GAC 故 FAC GAB 在 ABG 和 AFC 中 AB AF GAB CAF AG AC ABG AFC BG FC 又 DF DB EC EG M 是 BC 的中点 DM EM 即 DM EM 例 例 2 2 如图 ABC 中 C 为直角 A 30 分别以 AB AC 为边在 ABC 的外侧作正 ABE 与正 ACD DE 与 AB 交于 F 6 求证 EF FD 证明 证明 过 D 作 DG AB 交 EA 的延长线于 G 可得 DAG 30 BAD 30 60 90 ADG 90 DAG 30 CAB AD AC Rt AGD Rt ABC AG AB AG AE DG AB EF FD 五 利用五 利用 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明线段相等 证明线段相等 如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形 并且可能构成斜边及斜边上的 中线 用上面方法一时证不出来 可以考虑此法 例 例 如图 正方形 ABCD 中 E F 分别为 AB BC 的中点 EC 和 DF 相交于 G 连接 AG 求证 AG AD 证明 证明 作 DA CE 的延长线交于 H ABCD 是正方形 E 是 AB 的中点 AE BE AEH BEC BEC EAH 90 7 AEH BEC ASA AH BC AD AH 又 F 是 BC 的中点 Rt DFC Rt CEB DFC CEB GCF GFC ECB CEB 90 CGF 90 DGH CGF 90 DGH 是 Rt AD AH AG AD 证明线段相等的技巧证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等 一般的思路是从结论入手 结合已知分析 主要看要证 明的两条线段分布的位置怎样 无外乎有三种情况 1 要证明的两条线段分别在两个三角形中 2 要证明的两条线段在同一 个三角形中 3 要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况 一 如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等 例 1 已知 如图 1 B C E 三点在一条直线上 ABC 和 DCE 均为等边三角 形 连结 AE DB 求证 AE DB 8 分析 从结论入手 要证明线段 AE DB 即看 AE 和 DB 分别是 ACE 和 BCD 的 一边 因此 欲证 AE DB 只须证 ACE BCD 即可 而在这两个三角形中 AC BC EC DC 欲证 ACE BCD 只须证 ACE DCB 又因为 DCE ACE 于是 DCE ACD ACB ACD 即 ACE DCB 故结论可证 证明略 二 如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边 例 2 已知 如图 2 ABC 中 AB AC D 为 BC 上一点 过 D 作 DF BC 交 AC 于 E 交 BA 的延长线于 F 求证 AE AF 分析 证明同一三角形中两条边相等 一般不采用全等三角形 而且把两边所 对的角迁移到相应三角形中找出相等关系 证明 法一 因为 DF BC 于 D 所以 F B C DCE 又因为 所以 B C 所以 F DCE AEF 所以 AE AF 法二 考虑到 AB AC 即 ABC 是以 BC 为底的等腰三角形的特殊性 三线合一 过顶点 A 作 AG BC 于 G 于是 BAG CAG 又因为 DF BC 所以 AG DF 所以 AEF CAG BAG F 所以 AEF F 所以 AE AF 法三 考虑到要证的结论 AE AF 即要证 AEF 是等腰三角形 也由等腰三角形 的特殊性质 三线合一 作辅助线 过顶点 A 作 AH DF 于 H 于是 AH BC 所以有 EAH C FAH B 又有 B C 于是 EAH FAH 即 AH 是高又 是角平分线 故 AE AF 三 如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 9 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明 例 3 已知 如图 3 ABC 中 AB AC D 是 AB 上一点 E 是 AC 延长线上一点 且 BD EC 连结 DE 交 BC 于 F 求证 DF EF 分析 已知线段相等 要证线段相等 一般的思路是利用等腰三角形或全等三 角形来证明 但这两条线段不在一个三角形中 且它们所在的两个三角形显然 不全等 因此 欲证 DE DF 必须添加适当的辅助线 构成证题所需的等腰三 角形或全等三角形 这样的辅助线有 1 过 D 作 DG AE 交 BC 于 G 则易证 DGB ACB 又因为 AB AC 所以 B ACB 即 DGB B 得 DB DG 从而得 DG EC 易证 DGF ECF 2 过 E 作 EH AB 交 BC 的延长线于 H 易得 B H 又因为 1 2 B 1 所以 2 H 从而 EH EC DB 易证 DBF EHF 例 4 已知 如图 5 在平行四边形 ABCD 中 E F 分别为边 AD CD 上一点 且 BE BF AG BF 于 F CH BE 于 H 求证 AG CH 10 分析 从结论入手 要证线段 AG CH 就看线段 AG CH 是否在同一三角形中的两 条边或两个三角形中的两条边 这里的 AG CH 虽然在两个三角形中 但显然不 全等 作辅助线构成全等三角形也无法作 由于 BE BF 要证明的线段 AG CH 恰 是这两边上的高 这时就应该想到面积法 作辅助线构成两个等底等高的三角