复变函数第四章.ppt

第四章级数 第一节复数项级数 第二节幂级数 第三节泰勒级数 第四节洛朗级数 第一节复数项级数 一 复数列的极限 二 级数的概念 三 典型例题 四 小结与思考 一 复数列的极限 1 定义 记作 2 复数列收敛的条件 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N 证 从而有 所以 同理 反之 如果 从而有 证毕 课堂练习 下列数列是否收敛 如果收敛 求出其极限 二 级数的概念 1 定义 表达式 称为复数项无穷级数 其最前面n项的和 称为级数的部分和 部分和 收敛与发散 说明 与实数项级数相同 判别复数项级数敛散性的基本方法是 2 复数项级数收敛的条件 证 因为 定理二 说明 复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 定理二 解 所以原级数发散 课堂练习 必要条件 重要结论 不满足必要条件 所以原级数发散 级数发散 应进一步判断 3 绝对收敛与条件收敛 注意 应用正项级数的审敛法则判定 定理三 证 由于 而 根据实数项级数的比较准则 知 由定理二可得 证毕 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 说明 如果收敛 那末称级数为绝对收敛 定义 所以 综上 下列数列是否收敛 如果收敛 求出其极限 而 解 三 典型例题 例1 解 所以数列发散 例2 解 级数满足必要条件 但 例3 故原级数收敛 且为绝对收敛 因为 所以由正项级数的比值判别法知 解 故原级数收敛 所以原级数非绝对收敛 例4 解 四 小结与思考 通过本课的学习 应了解复数列的极限概念 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件 理解复数项级数收敛 发散 绝对收敛与条件收敛的概念与性质 思考题 第二节幂级数 一 幂级数的概念 二 幂级数的敛散性 三 幂级数的运算和性质 四 典型例题 五 小结与思考 一 幂级数的概念 1 复变函数项级数 定义 其中各项在区域D内有定义 表达式 称为复变函数项级数 记作 称为这级数的部分和 级数最前面n项的和 和函数 称为该级数在区域D上的和函数 如果级数在D内处处收敛 那末它的和一定 2 幂级数 是函数项级数的特殊情形 即 或 这种级数称为幂级数 二 幂级数的敛散性 1 收敛定理 阿贝尔Abel定理 证 由收敛的必要条件 有 因而存在正数M 使对所有的n 而 由正项级数的比较判别法知 收敛 另一部分的证明请课后完成 证毕 2 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数 其收敛半径的情况有三种 1 对所有的正实数都收敛 由阿贝尔定理知 级数在复平面内处处绝对收敛 例如 级数 对任意固定的z 从某个n开始 总有 于是有 故该级数对任意的z均收敛 2 对所有的正实数除z 0外都发散 此时 级数在复平面内除原点外处处发散 例如 级数 通项不趋于零 如图 故级数发散 收敛圆 收敛半径 答案 在收敛圆周上是收敛还是发散 不能作出一般的结论 要对具体级数进行具体分析 注意 问题2 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何 例如 级数 收敛圆周上无收敛点 在收敛圆周上处处收敛 3 收敛半径的求法 方法1 比值法 定理二 那末收敛半径 证 由于 收敛 据阿贝尔定理 根据上节定理三 所以收敛半径为 证毕 即假设不成立 如果 即 极限不存在 即 答案 方法2 根值法 定理三 那末收敛半径 说明 与比值法相同 如果 三 幂级数的运算和性质 1 幂级数的四则运算 2 幂级数的代换 复合 运算 说明 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数 3 复变幂级数在收敛圆内的性质 简言之 在收敛圆内 幂级数的和函数解析 幂级数可逐项求导 逐项积分 常用于求和函数 即 四 典型例题 例1求幂级数 的收敛范围与和函数 解 级数的部分和为 级数 收敛 级数 发散 且有 在此圆域内 级数绝对收敛 收敛半径为1 或 因为 所以收敛半径 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的 级数 说明 在收敛圆周上既有级数的收敛点 也有级数的发散点 原级数成为 交错级数 收敛 发散 原级数成为 调和级数 2 故收敛半径 解 解 所以 解 代数变形 使其分母中出现 凑出 级数收敛 且其和为 解 利用逐项积分 得 所以 解 例8计算 解 五 小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容 应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质 阿贝尔资料 Born 5Aug1802inFrindoe nearStavanger NorwayDied 6April1829inFroland Norway NielsAbel 第三节泰勒级数 二 泰勒定理 三 将函数展开成泰勒级数 一 问题的引入 四 典型例题 五 小结与思考 一 问题的引入 问题 任一个解析函数能否用幂级数来表达 如图 由柯西积分公式 有 其中K取正方向 则 由高阶导数公式 上式又可写成 其中 可知在K内 令 则在K上连续 即存在一个正常数M 从而在K内 泰勒级数 由上讨论得重要定理 泰勒展开定理 二 泰勒定理 其中 泰勒级数 泰勒展开式 说明 1 复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多 想一想 为什么 4 函数在区域D内解析的充要条件是它在D内每一点均可展为泰勒级数 5 泰勒展开式是唯一的 那末 即 因此 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数 因而是唯一的 三 将函数展开成泰勒级数 常用方法 直接法和间接法 1 直接法 由泰勒展开定理计算系数 例如 故有 仿照上例 2 间接展开法 借助于一些已知函数的展开式 结合解析函数的性质 幂级数运算性质 逐项求导 积分等 和其它数学技巧 代换等 求函数的泰勒展开式 间接法的优点 不需要求各阶导数与收敛半径 因而比直接展开更为简洁 使用范围也更为广泛 例如 附 常见函数的泰勒展开式 例1 解 四 典型例题 上式两边逐项求导 例2 分析 如图 即 将展开式两端沿C逐项积分 得 解 例3 例4 解 例5 解 练习1 2 五 小结与思考 通过本课的学习 应理解泰勒展开定理 熟记五个基本函数的泰勒展开式 掌握将函数展开成泰勒级数的方法 能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数 泰勒资料 Born 18Aug1685inEdmonton Middlesex EnglandDied 29Dec1731inSomersetHouse London England BrookTaylor 第四节洛朗级数 二 洛朗级数的概念 三 函数的洛朗展开式 一 问题的引入 四 洛朗级数的应用 五 小结与思考 一 问题的引入 问题 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分 两收敛域有公共部分 R 结论 常见的特殊圆环域 定理 双边幂级数在收敛圆环域内有与幂级数在收敛圆内类似的性质 例如 都不解析 而 2 问题 在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数 所以 也可以展开成级数 二 洛朗级数的概念 定理 C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线 为洛朗系数 证 对于第一个积分 对于第二个积分 其中 下面证明 则 如果C为在圆环域内绕的任何一条正向简单 证毕 说明 在圆环域内的洛朗 Laurent 级数 1 正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法 2 某一圆环域内的解析函数洛朗展开式是唯一的 不同圆环域内展开式不唯一 3 某一圆环域内解析的函数都可在圆环域的中心处展为洛朗级数 4 函数在圆环域内可展为洛朗级数充要条件是它在圆环域内解析 5 泰勒级数是洛朗级数的特殊情况 三 函数的洛朗展开式 常用方法 1 直接法2 间接法 1 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点 计算往往很麻烦 例1 解 由定理知 其中 故由柯西 古萨基本定理知 由高阶导数公式知 另解 本例中圆环域的中心z 0既是各负幂项的奇点 根据正 负幂项组成的的级数的唯一性 可 用代数运算 代换 求导和积分等方法去展开 优点 简捷 快速 2 间接展开法 例2 内是处处解析的 试把f z 在这些区域内展开成洛朗级数 解 由 且仍有 此时 仍有 说明 解 例3 例4 解 例5写出的以i为中心的解析圆环域 并将其在这些圆环域内展为洛朗级数 例6求在以i为中心的圆 环 域内的洛朗展开式 四 洛朗级数的应用 利用洛朗系数求闭路积分 若f z 在包含C的圆环域内解析 则求积分转化成求 五 小结与思考 在这节课中 我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法 将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点 洛朗级数与泰勒级数有何关系 思考题 洛朗级数是一个双边幂级数 其解析部分是一个普通幂级数 思考题答案 是一般与特殊的关系 洛朗级数的收敛区域是圆环域 放映结束 按Esc退出 本章小结 1 求复数列的极限 1 求实部数列和虚部数列极限 2 利用模的极限为0得数列极限为0 2 判断复数项级数的敛散性 1 若级数明显分为实部级数和虚部级数 都收敛时原级数收敛 都绝对收敛时原级数绝对收敛 2 若级数不易分为实部和虚部 则首先考虑绝 对值级数 若绝对值级数收敛原