电力生产问题数学模型

电力生产问题数学模型 摘要 本文研究电力生产问题中的最优化电力资源配置 属于求解优化电力配置下的 最小成本问题 由于电力生产有非线性 多变量等特点 所以我们基于在每一时间 段非线性局部最优的前提下 建立整体的单目标多变量的非线性最优化模型 因此对于研究的课题 我们建立了一个有约束条件的目标函数的最优化模型来 求解 在该模型的基础上我们建立起解决问题所需模型 解决问题 1 时 我们运用 LINGO 工具求解所建立的数学模型 得到每个时段的 台数和成本如下表 详细数据见 时段 1时段 2时段 3时段 4时段 5时段 6时段 7 总成本 元 0202010 型号 1 01750750175010001300750 0333333 型号 4 02166 618003500180018000 1439270 解决问题 2 时 我们从节约能源和成本的前提出发 让在工作的每一台发电机 保留出 20 的发电能力 而不是让其发出多于需求电量的 20 白白浪费 因此我们将 每个时段的电力需求 这个约束条件由问题 1 中的改为 jijj DPm 得到每个时段的台数和成本如下表 详细数据见 8 0 jijj DPm 时段 1时段 2时段 3时段 4时段 5时段 6时段 7 总成本 元 0508150 型号 1 0140014001400140014000 3333333 型号 4 1866 62466 62466 62400200018001800 1518675 关键词 非线性关键词 非线性 整体最优化整体最优化 LIGNOLIGNO 软件软件 时 段 型 号 时 段 型 号 1 问题重述 1 1 问题背景 能源是推动社会进步和人们日常生活生产的基础 大量能源的消耗已经给我们 带来了许多环境问题 如臭氧破坏 大气污染 物种灭绝等 随着科技的进步 电 是一种清洁能源 也是具有重要的战略资源 我国作为电力消耗大国 有责任也有 义务合理开发利用电力这一宝贵资源 正因为如此 最优化电力生产 配置问题亟 待我们进一步研究 对于该问题的研究不仅仅能带来巨大的经济效益 而且最一定 程度上对保护环境也作出了巨大贡献 1 2 题中已给信息 为满足每日电力需求 单位为兆瓦 MW 可以选用四种不同类型的发电机 每日电力需求如下表 1 表 1 每日用电需求 兆瓦 时段 0 24 0 66 99 1212 1414 1818 2222 24 需求12000320002500036000250003000018000 每种发电机都有一个最大发电能力 当接入电网时 其输出功率不应低于某一 最小输出功率 所有发电机都存在一个启动成本 以及工作于最小功率状态时的固 定的每小时成本 并且如果功率高于最小功率 则超出部分的功率每兆瓦每小时还 存在一个成本 即边际成本 这些数据均列于表 2 中 表 2 发电机情况 可用数量最小输出 功率 MW 最大输出 功率 MW 固定成本 元 小时 每兆瓦边际 成本 元 小时 启动 成本 型号 110750175022502 75000 型号 241000150018002 21600 型号 381200200037501 82400 型号 431800350048003 81200 只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机 与启动发电机不同 关闭发 电机不需要付出任何代价 1 3 需要解决的问题 根据题目所给的信息 要求我们通过数学建模来完成以下任务 问题 问题 1 在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小 最小 总成本为多少 问题 问题 2 如果在任何时刻 正在工作的发电机组必须留出 20 的发电能力余 量 以防用电量突然上升 那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总 成本最小 此时最小总成本又为多少 2 模型假设及符号说明 2 1 模型假设 假设 1 题目中是给的数据真实可靠 具有普遍性 假设 2 不同型号发电机之间独立运行互不影响 假设 3 电动机的启动与关闭所需时间可以忽略不计 假设 4 从前一天的 24 时到今天的 0 时这一分界点视为间断的 机子全部关闭 2 2 符号说明 表一 符号说明 符号 说明 ij n 表示第 i 时间段型号 j 发电机的台数 ij P 表示第 i 时间段型号 j 发电机的功率 i P 表示第 i 时间段需要的总功率 i t 表示第 i 时间段的工作时间 j m 表示型号 j 发电机的最小功率 j M 表示型号 j 发电机的最大功率 ij G 固定成本 ij Q 启动成本 j Q 一台 j 型号发电机的固定成本 ij B 边际成本 j b 型号发电机的边际成本 w 一天总成本 ij w 表示第 i 时间段型号 j 发电机的成本 i 表示时间段 j 表示型号 j x 表示 j 型发动机提供的台数 ij S 表示第 i 时段启动的 j 型发动机的台数 3 问题分析 针对问题 1 在满足约束条件的情况下要求成本最小 总成本 总启动成本 总固定成本 总边际成本 其中每种型号的启动成本 固定成本和 ijijij BQGw 每兆的边际成本是已知的常数 题目以表格形式呈现 本题的变量为 各个时间段的不同型号的发电机台数以及发电机的实际输出功率 ij n 要求总启动成本和总固定成本必需知道 7 个时间段内不同型号发电机台数 而 ij p 求解总边际成本必需知道各个时间段内不同型号发电机输出功率及台数 本题约束 条件主要有 3 个 7 个时间段的所需的输出功率 不同发电机的台数数量限制 不同 发电机的功率有一个范围限制 我们假设每一个时间段开始以后才可以开启或关闭 发电机 与启动发电机不同关闭发电机不需要任何代价 由此 我们建立一个简单 的目标函数最优化模型 我们在后面将运用 LINGO 求解 针对问题 2 发电机组必须留出 20 的发电能力余量情况下 求解成本最小值 即要求每个时段最大输出功率控制在 80 就能满足需求 在此基础上求解 和 1 类 似我们可以建立目标函数最优化模型求解 4 数据分析 将每一时段作为一个局部优化问题进行分析 建立局部非线性规划模型 固 定 成 本 ij G 启 动 成 本 ij Q 边 际 成 本 ij B 总 成 本 w 目标函数 7 1 4 1 min ij ijjijijjijijj SQntbmPnG 对于问题一 利用 lingo 软件 代码见附录一 求出局部最优解 其方案如下 表二 第一问答案数据 时段机组型号 1型号 2型号 3型号 4 0 6 数量 0430 0 6 输出功率 0150020000 6 9 数量 2483 6 9 输出功率 1750150020002166 6 9 12 数量 0473 9 12 输出功率 0140020001800 12 14 数量 2483 12 14 输出功率 1750150020003500 14 18 数量 0473 14 18 输出功率 0140020001800 18 22 数量 1483 18 22 输出功率 1750150020002083 3 22 24 数量 0433 22 24 输出功率 0150020002000 对于问题二 将利用 lingo 软件 代码见附录一 求解出如下方案 表三 第二问答案数据 时段机组型号 1型号 2型号 3型号 4 0 6 数量 0413 0 6 输出功率 0120016001866 7 6 9 数量 5483 6 9 输出功率 1400120016002466 7 9 12 数量 0483 9 12 输出功率 0120016002466 7 12 14 数量 8483 12 14 输出功率 1400120016002399 9 14 18 数量 1 483 14 18 输出功率 140 0 120016002000 18 22 数量 5483 18 22 输出功率 1400120016001800 22 24 数量 0453 22 24 输出功率 0115016001800 5 问题一的求解 5 15 1 模型的建立模型的建立 5 1 15 1 1 目标函数的确定目标函数的确定 本文研究的是如何分配发电机才可以用最少的成本获得最大的发电量 根据题目 要求 我们求解过程如下 发电机每天的工作成本 7 1 4 1ij ij ww ijijijij wGQB 1 第 i 个时间段 j 型发电机的固定成本 ijjij GGn 2 第 i 个时间段 j 型发电机的边际成本 ijijjjiij BPmbtn 3 第 i 个时间段 j 型发电机的启动成本 ijjij SQQ 4 第 个时间段型发电机需要重新开启的台数 ij 2 n n n S 1 j iij1 j iij ij n 5 第 i 个时间段的总发电功率 4 1 iijij j PPn 5 1 25 1 2 约束条件的确定约束条件的确定 1 各型号发电机能使用的台数需小于等于所提供的台数 且必定为自然数 1 2 4 j 0 Nnxn ijjij 2 发电机的发电功率需不大于最大发电功率 不小于最小发电功率 4 1 2 j ijijj MPm 3 所有发电机的发电功率总和需不小于各时段的需求功率 4 1 2 i P i ij P 5 1 35 1 3 建立发电成本最低模型如下 建立发电成本最低模型如下 7 1 4 1 S min ij ijjijijjijijj QntbmPnGw 4 2 17 2 1 0 P ji NSn MPm xn P ts ijij jijj ijij iij 应用 lingo 程序见附录一 进行求解如下表 表四 所需台数和发电功率 时段机组型号 1型号 2型号 3型号 4 0 6 数量 0430 0 6 输出功率 0150020000 6 9 数量 2483 6 9 输出功率 1750150020002166 6 9 12 数量 0473 9 12 输出功率 0140020001800 12 14 数量 2483 12 14 输出功率 1750150020003500 14 18 数量 0473 14 18 输出功率 0140020001800 18 22 数量 1483 18 22 输出功率 1750150020002083 3 22 24 数量 0433 22 24 输出功率 0150020002000 最后所得结果是最小成本是 1439270 5 2 15 2 1 结果分析结果分析 从已知数据可知各时段的用电需求和成本科的如下两图 表五 各时段的用电需求 0 10000 20000 30000 40000 1234567 各各时时间间段段用用电电需需求求量量 时时间间段段 需需求求量量 兆兆瓦瓦 各时间段用电需求量 表六 各成本最大最小值 表七 第一问的各型号数量 最小边际成本 元 小时 最大边际成本 元 小时 最小启动成本 台 元 最大启动成本 台 元 型号3441 量值1 83 812005000 表八 第一问中各型号发电机的功率 结合每天各时段电力需求图分析可得 在电力需求量最大的 2 4 6 时间段 输出功率最大的型号 4 发电机全部使用 虽然其单位固定成本和边际成本较高 但 它的启动成本最低 在需求电量大幅度增加时 使用输出功率最大的型号 4 发电机 可降低发电机的启动成本 从而使得总成本较小 6 问题二的求解 6 16 1 模型的建立模型的建立 题目要求发电机要保留自身发电能力的 20 以防当用电量突然增加时造成对发电机 的损坏 我们只需限制每台发电机的实际功率不超过自身最大功率的 80 即可 具体 求解过程如下 6 1 16 1 1 目标函数的确定目标函数的确定 本文研究的是如何分配发电机才可以用最少的成本获得最大的发电量 根据题目 要求 我们求解过程如下 发电机每天的工作成本 7 1 4 1ij ij ww ijijijij wGQB 1 第 i 个时间段 j 型发电机的固定成本 ijjij GGn 2 第 i 个时间段 j 型发电机的边际成本 ijijjjiij BPmbtn 3 第 i 个时间段 j 型发电机的启动成本 ijjij SQQ 5 第 个时间段型发电机需要重新开启的台数 ij 2 n n n S 1 j iij1 j iij ij n 5 第 i 个时间段的总发电功率 4 1 iijij j PPn 6 1 26 1 2 约束条件的确定约束条件的确定 1 各型号发电机能使用的台数需小于等于所提供的台数 且必定为自然数 1 2 4 j 0 Nnxn ijjij 4 发电机的发电功率需不大于最大发电功率 不小于最小发电功率 4 1 2 j80 ijijj MPm 5 所有发电机的发电功率总和需不小于各时段的需求功率 7 1 2 i P i ij P 6 2 36 2 3 建立发电成本最低模型如下 建立发电成本最低模型如下 7 1 4 1 S min ij ijjijijjijijj QntbmPnGw 4 2 1 7 2 1 80 0 P ji NSn MPm xn P ts ijij jijj ijij iij 应用 lingo 程序见附录二 进行求解如下表 表九 所需台数和发电功率 时段机组型号1型号2型号3型号4成本 0 6 数量 0413 0 6 输出功率 0120016001866 7 176620 6 9 数量 5483 6 9 输出功率 1400120016002466 7 270400 9 12 数量 0483 9 12 输出功率 0120016002466 7 171950 12 14 数量 8483 12 14 输出功率 1400120016002399 9 206000 14 18 数量 1483 14 18 输出功率 1400120016002000 233400 18 22 数量 5483 18 22 输出功率 1400120016001800 310200 22 24 数量 0453 22 24 输出功率 0115016001800 70700 最后所得结果是最小成本是 1518675 6 36 3 结果分析结果分析 表十 第二问的各型号数量 表十一 第二问的时间段与功率的关系 结合每天各时段电力需求图分析可得 在电力需求量最大的 2 4 6 时间段 输出功率最大的型号 4 发电机全部使用 虽然其单位固定成本和边际成本较高 但 它的启动成本最低 在需求电量大幅度增加时 使用输出功率最大的型号 4 发电机 可降低发电机的启动成本 从而使得总成本较小 7 模型的评价改进及推广 7 1 模型的评价 优点 1 本文通过目标函数最优化模型解决电力生产配置问题 达到最大程度的减少成 本 又从局部到整体的考虑问题 具有全面性 2 利用数型结合的思想 将数图有机的结合起来 便于发现问题并给予解决 3 合理的假设使问题得到科学的解释 从而化抽象为具体 便于研究 缺点 没有事先给电动机进行性能的评估 以便以后问题的研究 7 2 模型的改进 我们将问题中在每个时间段应用的发电机次数进行了统计 然后得出了哪种发电 机的性能较好 然后在建模的过程中以性能好的发电机为基础 进行优化配置其他 发电机 统计显示如下 问题一应用发电机型号 时段 型号 型号 1型号 2型号 3型号 4 0 6050 50 0 6 910 9 18 8 50 20 3 9 12022 4 56 21 6 12 149 7 16 7 44 4 29 2 14 18022 4 56 21 6 18 225 8 20 53 3 20 9 22 24033 3 33 3 33 4 平均比重3 8 26 2 49 21 由此得出本问题应该首先选择型号 2 3 做为选择基准 然后将型号 1 4 做为辅助进行配置发 电 问题二应用发电机型号 时段 型号 型号 1型号 2型号 3型号 4 0 6040 13 3 46 7 6 921 15 40 23 1 9 12022 4 56 21 6 12 1431 1 13 3 35 6 20 14 185 6 19 2 51 2 24 18 2223 3 16 42 7 18 22 24025 6 44 4 30 平均比重11 7 21 19 39 77 27 34 由此得出本问题应该首先选择型号 3 4 做为选择基准 然后将型号 1 2 做为辅助进行配置发 电 7 3 模型的推广 我们建立的模型不仅可以用于电力生产配置方面 还可以应用于其他有输电 配电 购电等发电厂的诸多问题 参考文献 1 美 米切斯切特 Mark M Meerschaert 著 刘来福等译 数学建模方法与分 析 原书第 3 版 M 北京 机械工业出版社 2009 5 2 lingo 教程 EB OL 3 张国立 现货市场功率分配问题模型及其求解算法研究 J 2006 5 4 刘伟达 电力生产决策支持系统中评估模型的研究与运用 J 2004 12 23 附录 附录一 应用lingo软件计算的程序代码 第一阶段 min 5000 n11 1600 n12 2400 n13 1200 n14 6 2250 n11 1800 n12 3750 n13 480 0 n14 6 2 7 n11 p11 750 2 2 n12 p12 1000 1 8 n13 p13 1200 3 8 n14 p14 1800 n11 p11 n12 p12 n13 p13 n14 p14 12000 bnd 0 n11 10 bnd 0 n12 4 bnd 0 n13 8 bnd 0 n14 3 bnd 750 p11 1750 bnd 1000 p12 1500 bnd 1200 p13 2000 bnd 1800 p14 3500 gin n11 gin n12 gin n13 gin n14 第二阶段 min 5000 n21 n11 1600 n22 n12 2400 n23 n13 1200 n24 n14 3 2250 n21 1800 n22 3750 n23 4800 n24 3 2 7 n21 p21 750 2 2 n22 p22 1000 1 8 n23 p23 1200 3 8 n24 p24 1800 n21 p21 n22 p22 n23 p23 n24 p24 32000 bnd 0 n21 10 bnd 0 n22 4 bnd 0 n23 8 bnd 0 n24 3 bnd 750 p21 1750 bnd 1000 p22 1500 bnd 1200 p23 2000 bnd 1800 p24 3500 gin n21 gin n22 gin n23 gin n24 n11 0 n12 4 n13 3 n14 0 第三阶段 min 5000 n31 n21 1600 n32 n22 2400 n33 n23 1200 n34 n24 3 2250 n31 1800 n32 3750 n33 4800 n34 3 2 7 n31 p31 750 2 2 n32 p32 1000 1 8 n33 p33 1200 3 8 n34 p34 1800 n31 p31 n32 p32 n33 p33 n34 p34 25000 bnd 0 n31 10 bnd 0 n32 4 bnd 0 n33 8 bnd 0 n34 3 bnd 750 p31 1750 bnd 1000 p32 1500 bnd 1200 p33 2000 bnd 1800 p34 3500 gin n31 gin n32 gin n33 gin n34 n21 2 n22 4 n23 8 n24 3 第四阶段 min 5000 n41 n31 1600 n42 n32 2400 n43 n33 1200 n44 n34 2 2250 n41 1800 n42 3750 n43 4800 n44 2 2 7 n41 p41 750 2 2 n42 p42 1000 1 8 n43 p43 1200 3 8 n44 p44 1800 n41 p41 n42 p42 n43 p43 n44 p44 36000 bnd 0 n41 10 bnd 0 n42 4 bnd 0 n43 8 bnd 0 n44 3 bnd 750 p41 1750 bnd 1000 p42 1500 bnd 1200 p43 2000 bnd 1800 p44 3500 gin n41 gin n42 gin n43 gin n44 n31 0 n32 4 n33 7 n34 3 第五阶段 min 5000 n51 n41 1600 n52 n42 2400 n53 n43 1200 n54 n44 4 2250 n51 1800 n52 3750 n53 4800 n54 4 2 7 n51 p51 750 2 2 n52 p52 1000 1 8 n53 p53 1200 3 8 n54 p54 1800 n51 p51 n52 p52 n53 p53 n54 p54 25000 bnd 0 n51 10 bnd 0 n52 4 bnd 0 n53 8 bnd 0 n54 3 bnd 750 p51 1750 bnd 1000 p52 1500 bnd 1200 p53 2000 bnd 1800 p54 3500 gin n51 gin n52 gin n53 gin n54 n41 2 n42 4 n43 8 n44 3 第六阶段 min 5000 n61 n51 1600 n62 n52 2400 n63 n53 1200 n64 n54 4 2250 n61 1800 n62 3750 n63 4800 n64 4 2 7 n61 p61 750 2 2 n62 p62 1000 1 8 n63 p63 1200 3 8 n64 p64 1800 n61 p61 n62 p62 n63 p63 n64 p64 30000 bnd 0 n61 10 bnd 0 n62 4 bnd 0 n63 8 bnd 0 n64 3 bnd 750 p61 1750 bnd 1000 p62 1500 bnd 1200 p63 2000 bnd 1800 p64 3500 gin n61 gin n62 gin n63 gin n64 n51 0 n52 4 n53 7 n54 3 第七阶段 min 5000 n71 n61 1600 n72 n62 2400 n73 n63 1200 n74 n64 2 2250 n71 1800 n72 3750 n73 4800 n74 2 2 7 n71 p71 750 2 2 n72 p72 1000 1 8 n73 p73 1200 3 8 n74 p74 1800 N71 p71 n72 p72 n73 p73 n74 p74 18000 bnd 0 n71 10 bnd 0 n72 4 bnd 0 n73 8 bnd 0 n74 3 bnd 750 p71 1750 bnd 1000 p72 1500 bnd 1200 p73 2000 bnd 1800 p74 3500 gin n71 gin n72 gin n73 gin n74 N61 1 n62 4 n63 8 n64 3 附录二 应用lingo软件计算的程序代码 第一阶段 min 5000 n11 1600 n12 2400 n13 1200 n14 6 2250 n11 1800 n12 3750 n13 480 0 n14 6 2 7 n11 p11 750 2 2 n12 p12 1000 1 8 n13 p13 1200 3 8 n14 p14 1800 n11 p11 n12 p12 n13 p13 n14 p14 12000 bnd 0 n11 10 bnd 0 n12 4 bnd 0 n13 8 bnd 0 n14 3 bnd 750 p11 1400 bnd 1000 p12 1200 bnd 1200 p13 1600 bnd 1800 p14 2800 gin n11 gin n12 gin n13 gin n14 第二阶段 min 5000 n21 n11 1600 n22 n12 2400 n23 n13 1200 n24 n14 3 2250 n21 1800 n22 3750 n23 4800 n24 3 2 7 n21 p21 750 2 2 n22 p22 1000 1 8 n23 p23 1200 3 8 n24 p24 1800 n21 p21 n22 p22 n23 p23 n24 p24 32000 bnd 0 n21 10 bnd 0 n22 4 bnd 0 n23 8 bnd 0 n24 3 bnd 750 p21 1400 bnd 1000 p22 1200 bnd 1200 p23 1600 bnd 1800 p24 2800 gin n21 gin n22 gin n23 gin n24 n11 0 n12 4 n13 1 n14 3 第三阶段 min 5000 n31 n21 1600 n32 n22 2400 n33 n23 1200 n34 n24 3 2250 n31 1800 n32 3750 n33 4800 n34 3 2 7 n31 p31 750 2 2 n32 p32 1000 1 8 n33 p33 1200 3 8 n34 p34 1800 n31 p31 n32 p32 n33 p33 n34 p34 25000 bnd 0 n31 10 bnd 0 n32 4 bnd 0 n33 8 bnd 0 n34 3 bnd 750 p31 1400 bnd 1000 p32 1200 bnd 1200 p33 1600 bnd 1800 p34 2800 gin n31 gin n32 gin n33 gin n34 n21 5 n22 4 n23 8 n24 3 第四阶段 min 5000 n41 n31 1600 n42 n32 2400 n43 n33 1200 n44 n34 2 2250 n41 1800 n42 3750 n43 4800 n44 2 2 7 n41 p41 750 2 2 n42 p42 1000 1 8 n43 p43 1200 3 8 n44 p44 1800 n41 p41 n42 p42 n43 p43 n44 p44 36000 bnd 0 n41 10 bnd 0 n42 4 bnd 0 n43 8 bnd 0 n44 3 bnd 750 p41 1400 bnd 1000 p42 1200 bnd