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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型 2 1常微分方程的解 复习 2 2二阶线性偏微分方程分类 2 3二阶线性偏微分方程简化 2 4三类方程的简化形式 2 1常微分方程的解 复习 一 二阶常系数线性方程的标准形式 二 二阶常系数线性齐次微分方程的解 齐次方程的通解为 特解为 3 有一对共轭复根时 齐次方程的通解为 特征根为 特解为 2 有两个相等的实根时 小结 二阶常系数线性齐次微分方程解 利用了欧拉公式 例 求下列方程的通解 所以方程的通解为 解得 2 特征方程为 所以方程的通解为 3 特征方程为 解得 解特征方程为 即 特征方程有两个不相等的实数根 所以所求方程的通解为 对上式求导 得 将 代入以上二式 得 解此方程组 得 所以所求特解为 2 对应齐次方程为 3 通解结构 三 二阶常系数非齐次线性方程 1 非齐次线性方程通式 2 二阶线性偏微分方程分类 3 方程简化 2 变量替换与方程转型 1 变量代换 2 一般式转为 系数为 变量替换是研究偏微分方程的有效手段 适当的变换 可简化方程 易求解 注 变量替换必须为非奇异变换 非奇异变换 雅克比 Jacobi 行列式在点 x0 y0 不等于零 即 则 在点 x0 y0 附近变换是可逆的 3 方程简化 4 求特解 5 特征方程与特征曲线 1 特征方程 2 解 3 特征曲线 例2 1 1判断偏微分方程类型并化简 解 特征方程 特征方程的解 特征线 令 双曲型方程 4三类方程的简化形式 方程变为 1 双曲方程型方程 2 抛物型方程 3 椭圆型方程 小结 三种方程的标准型式 例题1 分类并标准化方程 解 该方程的 故该方程是抛物型的 特征方程 从而得到方程的一族特征线为 自变量代换 由于 和 必须函数无关 所以 宜取最简单的函数形式 即 x或 y 原方程化简后的标准形式为 特征的解 例2 判断偏微分方程类型并化简 解 故 故该方程为双曲型偏微分方程 其特征方程 例2 续 代入原方程得 即 例3 判断偏微分方程的类型并化简 解 特征方程 特征方程的解 特征线 令 双曲型方程 第二章 复习思考题与作业 一 写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特征根 二 简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤 三 写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则 四 解释何谓自变量非奇异变换 五 简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤 六 书习题2 1 1 2 2
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