含参数的不等式问题---公开课教案

2014 2015 上学期高二理科数学公开课教案上学期高二理科数学公开课教案 高二 3 班 2014 10 16 周四上午第二节 斗门一中肖爱萍 课题 课题 含参数的不等式的有关问题 目标 目标 使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法以及不等式成立的条件下求参数的范围问题 内容 内容 与含有参数的不等式有关的数学问题 大致有以下三种类型 第一种类型 解含有参数的不等式 第二种类型 已知含有参数的不等式成立的条件 求参数的范围 第三种类型 已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立 能成立 恰成立 求参数的范围 重点 重点 解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型 使学生掌握一元二次不等式模型 将其 他不等式化为一元二次不等式并求解 一元二次不等式的解集是实数集和空集的含义及应用 难点 难点 对参数进行恰当的分类以及分类的原则和方法 过程 过程 一 作业点评一 作业点评 二 基础热身二 基础热身 1 2012 高考重庆卷 不等式 0 的解集为 x 1 2x 1 A B 1 2 1 1 2 1 C 1 D 1 1 2 1 2 2 2011 高考上海卷 不等式 3 的解集是 x 1 x 4 若不等式 x2 kx k 1 0 对 x 1 2 恒成立 则实数 k 的取值范围是 三 新课讲解 1 解含有参数的不等式解含有参数的不等式 例例 1 1 解关于 x 的不等式 ax2 2a 1 x 2 0 例例 2 解下列关于 x 的不等式 0 ax x 1 2 已知不等式成立的条件 求参数的范围已知不等式成立的条件 求参数的范围 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的 在解题时 要注意所给出的条件对含参数的不等式的作 用 从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系 例例 3 已知不等式 x2 ax 1 0 1 若不等式对于一切 x 0 2 恒成立 则 a 的取值范围为 2 若不等式对一切 x 2 2 恒成立 则 a 的取值范围为 3 若不等式对一切 a 2 2 恒成立 则 x 的取值范围为 审题 分析信息 形成思路 1 切入点 分离参数求解 关注点 注意应用基本不等式 2 切入点 转化为恒成立问题求解 3 不不等等式式2x 1 x 3 1 的的解解集集是是 关注点 注意对 x 分类讨论 3 切入点 利用函数求解 关注点 注意自变量 解题 规范步骤 水到渠成 1 原不等式可化为 a 而 当且仅当 x 1 时等号成立 所以 a 的取值范围是 2 答案 2 2 因为 x 2 2 当 x 0 时 原式为 02 a 0 1 0 恒成立 此时 a R 当 x 0 时 则当 x 0 2 时 由 1 知 a 2 所以当 x 2 0 时 可得 令 f x 由函数的单调性可知 f x max f 1 2 所以 a 2 综上可知 a 的取值范围是 2 2 答案 2 2 3 因为 a 2 2 则可把原式看作关于 a 的函数 即 g a xa x2 1 0 由题意可知 解之得 x R 所以 x 的取值范围是 答案 变题 变式训练 能力迁移 若不等式 x2 ax 1 0 对一切 x 恒成立 则 a 的最小值为 A 0 B 2 C D 3 3 含参数的不等式的恒成立 含参数的不等式的恒成立 能成立能成立 恰成立等问题的操作程序恰成立等问题的操作程序 在近几年的高考数学试题中 常常出现这类含参数的不等式成立的问题 这类问题与函数 导数 方程等知识综合在一起 演绎出一道道设问新颖 五光十色的题目 这些试题的思辨性很强 往往让人 眼花缭乱 使解题者不知所措 这些题目从解题目标上看 基本上有三种 即求参数的取值范围 使含 参数的不等式恒成立 能成立或恰成立 恒成立问题恒成立问题 若不等式在区间上恒成立 则等价于函数在区间上的最小值大于 Axf D xfDA 若不等式在区间上恒成立 则等价于函数在区间上的最大值小于 Bxf D xfDB 能成立问题能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立 即在区间上能成立 则等价于函数Dx Axf Axf D 在区间上的最大值大于 xfDA 若在区间上存在实数使不等式成立 即在区间上能成立 则等价于函数Dx Bxf Bxf D 在区间上的最小值小于 xfDB 恰成立问题恰成立问题 若不等式在区间上恰成立 则等价于不等式的解集为 Axf D Axf D 若不等式在区间上恰成立 则等价于不等式的解集为 Bxf D Bxf D 如果从解题模式看 好象问题很简单 但是 由于试题的结构千变万化 试题的设问方式各不相同 就使 得题目变得十分灵活 如何对这类题目进行思辨和模式识别 把问题化归到常见的基本的题型 是高考复 习的一个课题 例例 4 若关于的不等式的解集为 则实数的取值范围是 x0 2 aaxx a 若关于的不等式的解集不是空集 则实数的取值范围是 x3 2 aaxxa 1 0 2 5 2 解解 第一个填空是不等式恒成立的问题 设 则关于的不等式 aaxxxf 2 x 的解集为在上恒成立 0 2 aaxx 0 xf 0 min xf 即解得 0 4 4 2 min aa xf04 a 第二个填空是不等式能成立的问题 设 则关于的不等式的解 aaxxxf 2 x3 2 aaxx 集不是空集在上能成立 3 xf 3 min xf 即解得或 3 4 4 2 min aa xf6a 2a 4 课堂巩固课堂巩固 练习练习 1 已知对任意恒成立 试求实数的取值范围 2 2 x axx xf 0 1 xfxa 已知当的值域是 试求实数的值 2 2 x axx xf xfx 1 0a 解解 这两问给出的函数的表达式相同 的范围相同 的取值区间也相同 但是 由于设问的含x f x 义不相同 所以解题的目标也不相同 本题的第 问是一个恒成立问题 对任意恒成立 0 2 2 x axx xf 1x 等价于对任意恒成立 又等价于时 的最小值成立 02 2 axxx 1x1 x x 0 由于在上为增函数 11 2 axx 1 则 所以 31 min ax 3 03 aa 第 问是一个恰成立问题 这相当于的解集是 0 2 2 x axx xf 1x 当时 由于时 0 a1 x 与其值域是矛盾 32 2 2 x a x x axx xf 0 当时 是上的增函数 0 a 2 2 2 x a x x axx xf 1 所以 的最小值为 xf 1f 令 即 01 f 3 021 aa 练习练习 2 设数列的前n项和为 点均在函数的图像上 n a n S n S nn n N 32yx 求数列的通项公式 n a 设 是数列的前 n 项和 求使得对所有都成立的最小正 1 3 nn n aa b n T n b 20 n m T n N 整数m 解解 依题意得 即 32 n S n n 2 32 n Snn 当n 2 时 2 2 1 32 312 1 65 nnn aSSnnnnn 当n 1 时 2 1 1 6 1 5 11 3 1 216 1 5 aS 2 1 所以 65 n ann N 由 得 1 31111 65 6 1 52 6561 n nn b a annnn 故 1 111111 1 277136561 n ni i Tb nn 11 1 261n 因此 使得成立的必须满足 11 1 26120 m n m 即 即 故满足要求的最小整数为 10 max 11 1 26120 m n 1 220 m 10m m 需要注意的是 在求得参数的范围时 什么时候有等号 什么时候没有等号 再如例 7 第 问等价于使得恒成立 显然 没有最大值 但是有 11 1 26120 m n 11 1 261n 是的极限值 这里用极限值代替最大值 此时也需加上等号 即 n 1 2 1 220 m 10m 练习练习 3 已知函数在区间上是减函数 求实数的取值范围 2 2 logf xxaxa 13 a 解解 先看如下的解法 令 要使在区间上是 2 g xxaxa 2 2 logf xxaxa 13 减函数 只要在区间上是减函数 且在区间上 因此 2 g xxaxa 13 13 0g x 需 的最小值应在时取得 然而 题目给出的是开区间 为此应有 min 0gx g x13x 13 解得 130 13 2 g a 22 32a 2014 2015 上学期高二理科数学公开课教案上学期高二理科数学公开课教案 高二 3 班 2014 10 16 周四上午第二节 斗门一中肖爱萍 课题 课题 含参数的不等式的有关问题 目标 目标 使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法以及不等式成立的条件下求参数的范围问题 内容 内容 与含有参数的不等式有关的数学问题 大致有以下三种类型 第一种类型 解含有参数的不等式 第二种类型 已知含有参数的不等式成立的条件 求参数的范围 第三种类型 已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立 能成立 恰成立 求参数的范围 重点 重点 解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型 使学生掌握一元二次不等式模型 将其 他不等式化为一元二次不等式并求解 一元二次不等式的解集是实数集和空集的含义及应用 难点 难点 对参数进行恰当的分类以及分类的原则和方法 过程 过程 一 作业点评一 作业点评 二 基础热身二 基础热身 1 2012 高考重庆卷 不等式 0 的解集为 x 1 2x 1 A B 1 2 1 1 2 1 C 1 D 1 1 2 1 2 2 2011 高考上海卷 不等式 3 的解集是 x 1 x 4 若不等式 x2 kx k 1 0 对 x 1 2 恒成立 则实数 k 的取值范围是 三 新课讲解 1 解含有参数的不等式解含有参数的不等式 例例 1 1 解关于 x 的不等式 ax2 2a 1 x 2 0 例例 2 解下列关于 x 的不等式 0 ax x 1 2 已知不等式成立的条件 求参数的范围已知不等式成立的条件 求参数的范围 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的 在解题时 要注意所给出的条件对含参数的不等式的作 用 从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系 例例 3 已知不等式 x2 ax 1 0 1 若不等式对于一切 x 0 2 恒成立 则 a 的取值范围为 2 若不等式对一切 x 2 2 恒成立 则 a 的取值范围为 3 若不等式对一切 a 2 2 恒成立 则 x 的取值范围为 变题 变式训练 能力迁移 1 0 2 3 不等式2x 1 x 3 1 的解集是 若不等式 x2 ax 1 0 对一切 x 恒成立 则 a 的最小值为 A 0 B 2 C D 3 3 含参数的不等式的恒成立 含参数的不等式的恒成立 能成立能成立 恰成立等问题的操作程序恰成立等问题的操作程序 在近几年的高考数学试题中 常常出现这类含参数的不等式成立的问题 这类问题与函数 导数 方程等知识综合在一起 演绎出一道道设问新颖 五光十色的题目 这些试题的思辨性很强 往往让人 眼花缭乱 使解题者不知所措 这些题目从解题目标上看 基本上有三种 即求参数的取值范围 使含 参数的不等式恒成立 能成立或恰成立 恒成立问题恒成立问题 若不等式在区间上恒成立 则等价于函数在区间上的最小值大于 Axf D xfDA 若不等式在区间上恒成立 则等价于函数在区间上的最大值小于 Bxf D xfDB 能成立问题能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立 即在区间上能成立 则等价于函数Dx Axf Axf D 在区间上的最大值大于 xfDA 若在区间上存在实数使不等式成立 即在区间上能成立 则等价于函数Dx Bxf Bxf D 在区间上的最小值小于 xfDB 恰成立问题恰成立问题 若不等式在区间上恰成立 则等价于不等式的解集为 Axf D Axf D 若不等式在区间上恰成立 则等价于不等式的解集为 Bxf D Bxf D 如果从解题模式看 好象问题很简单 但是 由于试题的结构千变万化 试题的设问方式各不相同 就使 得题目变得十分灵活 如何对这类题目进行思辨和模式识别 把问题化归到常见的基本的题型 是高考复 习的一个课题 例例 4 若关于的不等式的解集为 则实数的取值范围是 x0 2 aaxx a 若关于的不等式的解集不是空集 则实数的取值范围是 x3 2 aaxxa 解解 第一个填空是不等式恒成立的问题 设 则关于的不等式 aaxxxf 2 x 的解集为在上恒成立 0 2 aaxx 0 xf 0 min xf 即解得 0 4 4 2 min aa xf04 a 第二个填空是不等式能成立的问题 设 则关于的不等式的解 aaxxxf 2 x3 2 aaxx 集不是空集在上能成立 3 xf 3 min xf 即解得或 3 4 4 2 min aa xf6a 2a 4