解三角形应用题的解题思路分析

第 1 页 共 3 页 解三角形应用题的解题思路分析解三角形应用题的解题思路分析 正弦 余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用 对经过抽象 概括最终转化为三 角形中的边角问题的实际问题的求解十分有效 本文略谈一下解三角形问题的解题思路 以供参考 思路一 思路一 解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质 将问题中的边角关系与 三角形联系起来 确定以什么样的三角形为模型 需要哪些定理或边角关系列出等量或不 等量关系的解题思路 然后寻求变量之间的关系 也即抽象出数学问题 例例 1 1 如图 为了计算北江岸边两景点B与C的距离 由于地形的限 制需要在岸上选取A和D两个测量点 现测得ADCD 10ADkm 14ABkm 60BDA 135BCD 求两景点B与C的距离 假设 A B C D在同一平面内 测量结果保留整数 参考数据 21 414 31 732 52 236 分析 分析 把 两景点B与C的距离 确定为以三角形 BCD 为模型即在三角形 BCD 内求解 解 解 在 ABD 中 设 BD x 则BDAADBDADBDBA cos2 222 即 60cos1021014 222 xx整理得 09610 2 xx 解之 16 1 x 6 2 x 舍去 由正弦定理 得 BCD BD CDB BC sinsin 2830sin 135sin 16 BC 11 km 答 两景点B与C的距离约为 11 km 思路二 思路二 解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想 图形语言和符号语言等方 式来思考解决问题 再次 讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质 从而得到的是数 学参数值 最后 按题目要求作出相应的部分问题的结论 例例 2 2 用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空 分 别测得气球的仰角是 和 已知 B D 间的距离为 a 测角仪的高度是 b 求气球的高度 分析 分析 在 Rt EGA 中求解 EG 只有角 一个条件 需要再有一边长被确定 而 EAC 中有较多已知条件 故可在 EAC 中考虑 EA 边长的求解 而在 EAC 中有角 EAC 180 两角与 BD a 一边 故可以利用正弦定理求解 EA 解 解 在 ACE 中 AC BD a ACE AEC 根据正弦定理 得 AE a sin sin 在 Rt AEG 中 EG AEsin a sin sin sin EF EG b b a sin sin sin 答 气球的高度是 b a sin sin sin 思路三 思路三 解三角形时 通常会遇到两种情况 已知量与未知量全部集中在一个三角 形中 此时应直接利用正弦定理或余弦定理 已知量与未知量涉及两个或几个三角形 这 时需要选择条件足够的三角形优先研究 再逐步在其余的三角形中求出问题的解 1 已知量与未知量全部集中在一个三角形中的情况 第 2 页 共 3 页 例例 3 3 在奥运会垒球比赛前 C 国教练布置战术时 要求击球手以与连结本垒及游击手 的直线成 15 的方向把球击出 根据经验及测速仪的显示 通常情况下球速为游击手最大 跑速的 4 倍 问按这样的布置 游击手能不能接着球 如图所示 分析 分析 在三角形 AOB 中运用正弦定理求解问题 解 解 设游击手能接着球 接球点为 B 而游击手从点 A 跑出 本垒为 O 点 如图所示 设从击出球到接着球的时间为 t 球速为 v 则 AOB 15 OB vt 4 v ABt 在 AOB 中 由正弦定理得 sinsin15 OBAB OAB 62 sinsin1562 44 OBvt OAB ABvt 而 2 62 84 384 1 741 即 sin OAB 1 这样的 OAB 不存在 因此游击手不能接着球 2 已知量与未知量涉及两个或几个三角形的情况 例例 4 4 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山 山顶设有一个观察站 P 上午 11 时 测得 一轮船在岛北 30 东 俯角为 30 的 B 处 到 11 时 10 分又测得该船 在岛北 60 西 俯角为 60 的 C 处 1 求船的航行速度是每小时多少千米 2 又经过一段时间后 船到达海岛的正西方向的 D 处 问此时船 距岛 A 有多远 分析 分析 解答该题要涉及三角形 Rt PAC ACB ACD 解析解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 在 Rt PAB 中 APB 60 PA 1 AB 3 千米 在 Rt PAC 中 APC 30 AC 3 3 千米 在 ACB 中 CAB 30 60 90 千米 时 3 30 3 3 3 2 2 22 ABACBC302 6 1 3 30 2 DAC 90 60 30 东 D C B 东 A P 东 第 3 页 共 3 页 sinDCA sin 180 ACB sinACB 10 10 3 3 30 3 BC AB sinCDA sin ACB 30 sinACB cos30 cosACB sin30 10 10 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 20 10 133 10 10 3 1 2 1 2 3 2 在 ACD 中 据正弦定理得 CDA AC DCA AD sinsin 13 39 20 10 133 10 103 3 3 sin sin CDA DCAAC AD 答 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt w