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第二章矩阵 第一节矩阵的定义 第二节矩阵的运算 第三节矩阵的逆 第四节矩阵的分块 第五节矩阵的初等变换与初等矩阵 第六节用初等变换求逆矩阵 第七节矩阵的秩 1矩阵的定义 记为 返回 上一页 下一页 如果矩阵A的元素aij全为实 复 数 就称A为实 复 数矩阵 只有一行的矩阵A a1a2 an 叫做行矩阵 行矩阵也记作A a1 a2 an 两个矩阵的行数相等 列数也相等 就称它们是同型矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵 记作O 下一页 上一页 返回 1 三角矩阵 下一页 上一页 返回 如果n阶方阵中元素满足条件即A的主对角线以下的元素全为零 则称A为n阶上三角矩阵 即 下一页 上一页 返回 如果n阶方阵中元素满足条件即的主对角以上的元素全为零 则称为n阶下三角矩阵 即 下一页 上一页 返回 2 对角矩阵 如果n阶方阵中元素满足条件即的主对角线以外的元素全为零 则称为n阶对角矩阵 即 下一页 上一页 返回 3 数量矩阵 如果n阶对角矩阵中元素满足则称为数量矩阵 即 下一页 上一页 返回 4 单位矩阵 如果n阶对角矩阵中元素满足则称为n阶单位矩阵 记为 即 2矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义2设有两个m n矩阵A aij B bij 那么A与B的和记为A B 规定为 注意 只有当两个矩阵同型时 才能进行加法运算 加法满足运算规律 1 A B B A 交换律 2 A B C A B C 结合律 下一页 上一页 返回 二 数与矩阵相乘 定义3数 与矩阵A的乘积记做 A 规定为 数乘矩阵满足运算规律 下一页 上一页 返回 设矩阵A aij 记 A 1 A 1aij aij A称为A的负矩阵 显然有A A O 其中O为各元素均为0的同型矩阵 由此规定A B A B 下一页 上一页 返回 三 矩阵与矩阵相乘 行矩阵与列矩阵相乘 注意 只有当第一矩阵 左矩阵 的列数与第二矩阵 右矩阵 的行数相等时 两个矩阵才能相乘 下一页 返回 上一页 解 注 表明矩阵乘法不满足交换律 AB 0推不出A 0或B 0AC BC且C不为0 推不出A B 不满足消去律 下一页 上一页 返回 矩阵的乘法满足运算律 对于单位矩阵 有 下一页 上一页 返回 解 下一页 上一页 返回 例8已知矩阵求 四 矩阵的转置 定义5把矩阵A的行换成同序数的列 得到的新矩阵称为A的转置矩阵 记作A 满足运算律 下一页 上一页 返回 有 所以 下一页 上一页 返回 设A为n阶方阵 若A A 即aij aji i j 1 2 n 那么 A称为对称矩阵 若A A 即aij aji i j 1 2 n 那么 A称为反对称矩阵 对称矩阵的特点是 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 反对称矩阵的特点是 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等 符号相反 且主对角线上各元素均为0 下一页 上一页 返回 例9设 那么 下一页 上一页 返回 五 方阵的行列式 定义6由n阶方阵A的元素构成的行列式 各元素位置不变 称为方阵A的行列式 记作 A 或detA 设A B为n阶方阵 为实数 则有下列等式成立 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 例11 3矩阵的逆 定义7对于n阶方阵A 如果有一个n阶方阵B 满足AB BA E 则称方阵A可逆 且把方阵B称为A的逆矩阵 记作B A 1 如果A是可逆的 则A的逆矩阵唯一 设B C都是A的逆矩阵 则一定有B BE B AC BA C EC C 下一页 上一页 返回 说明A是可逆的 下一页 上一页 返回 定理1设A是n阶方阵 则A可逆的充分必要条件是 证先证必要性 由于A是可逆的 则有 下证充分性 设由伴随矩阵 下一页 上一页 返回 推论对于n阶方阵 若存在n阶方阵 使则一定可逆 且 A11 3 A12 3 A13 1 A21 6 A22 10 A23 4 A31 2 A32 4 A33 2 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 例13 解若均存在 则用左乘上式 右乘上式 有 下一页 上一页 返回 由于 故存在 且 下一页 上一页 返回 其中 下一页 上一页 返回 4矩阵的分块 定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每个小矩阵称为A的子块 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵 列举三种分块形式 下一页 上一页 返回 分块矩阵的运算法则 1 矩阵A与B为同型矩阵 采用同样的分块法 有 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 2 A为m l矩阵 B为l n矩阵 将A B分成 其中Ai1 Ai2 Ait的列数分别等于B1j B2j Bij的行数 则有 下一页 上一页 返回 解A B分块成 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 3 设 则 4 设方阵A的分块矩阵为 除主对角线上的子块不为零子块外 其余子块都为零矩阵 且Ai i 1 2 m 为方阵 则A称为分块对角矩阵 或准对角矩阵 i 准对角矩阵的行列式为 下一页 上一页 返回 ii 若有与A同阶的准对角矩阵 其中Ai与Bi i 1 2 m 亦为同阶矩阵 则有 iii 若A可逆 则有 下一页 上一页 返回 解 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 矩阵的初等行变换都是可逆的 且其逆变换也是同类的初等行变换 返回 上一页 下一页 5矩阵的初等变换与初等矩阵 定义11如果矩阵A经有限次初等变换化成B 就称矩阵A与B等价 返回 上一页 下一页 矩阵的等价关系具有下列性质 1 反身性 A与A等价 2 对称性 如果A与B等价 那么B与A等价 3 传递性 如果A与B等价 B与C等价 那么A与C等价 返回 上一页 下一页 例19已知 对其做如下初等行变换 我们称矩阵B为一个行阶梯形矩阵 它具有下列特征 1 元素全为零的行 简称为零行 位于非零行的下方 2 各非零行的首非零元 即从左至右的第一个不为零的元素 的列标随着行的增大而严格增大 即首非零元的列标一定不小于行标 返回 上一页 下一页 对矩阵B再作初等行变换 返回 上一页 下一页 我们称矩阵C为行最简形矩阵 它具有下列特征 返回 上一页 下一页 1 是行阶梯形矩阵 2 各非零行的首非零元都是1 3 每个首非零元所在列的其余元素都是零 定理2任何一个矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵 并进一步化为行最简形矩阵 定理3任何一个矩阵都有等价标准形 矩阵A与B等价 当且仅当它们有相同的等价标准形 定义12由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是方阵 交换E的第i行与第j行 或者交换E的第i列与第j列 的位置 得 返回 上一页 下一页 用常数k乘E的第i行 或i列 得 把E的第j行的k倍加到第i行 或第i列的k倍加到第j列 得 返回 上一页 下一页 这三类矩阵就是全部的初等矩阵 有 E i j 1 E i j E i k 1 E i 1 k E i j k 1 E i j k 定理4对一个m n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的m m初等矩阵 对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n n初等矩阵 detE i j 1detE i k idetE i j k 1 返回 上一页 下一页 推论1矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1 P2 Ps Q1 Qt使A P1P2 PsBQ1 Qt 返回 上一页 下一页 定理5设A是n阶方阵 则下面的命题的等价的 4 A可经过一系列初等行 列 变换化为E 6用初等变换求逆矩阵 1 A是可逆的 返回 上一页 下一页 2 是n阶单位矩阵 3 存在n阶初等矩阵 使 设A为可逆矩阵 由推论 必存在有限个初等方阵P1 P2 Pm 使得P1P2 PmA E 所以P1P2 PmE A 1 2 表明E经过同样有限次初等行变换变成A 表明A经过有限次初等行变换变成E 故可用初等行变换求逆阵 返回 上一页 下一页 解对 A E 作初等行变换 返回 上一页 下一页 补充 也可用初等列变换求逆阵 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 7矩阵的秩 定义13在一个矩阵A中任意选定k行和k列 位于这些选定的行和列的交叉位置的个元素按原来的次序所组成的k阶行列式 称为A的一个k阶子式 定义14设A为矩阵 如果至少存在A的一个r阶子式不为0 而A的所有阶子式 如果存在的话 都为零 则称数r为矩阵A的秩 记为 并规定零矩阵的秩等于0 返回 上一页 下一页 例22求矩阵的秩 解在A中