新人教版高中数学必修一复习提纲

数学必修一复习提纲数学必修一复习提纲 第一章 集合及其运算 一 集合的概念 分类 二 集合的特征 确定性 无序性 互异性 三 表示方法 列举法 描述法 图示法 区间法 四 两种关系 从属关系 对象 集合 包含关系 集合 集合 五 三种运算 交集 ABx xAxB 且 并集 ABx xAxB 或 补集 UA U x xxA 且 六 运算性质 A A A 空集是任意集合的子集 是任意非空集合的真子集 若 BA 则 AB A A B B U AA U AA U UUA A UU AB U AB UU AB U AB 集合 123 n a a aa 的所有子集的个数为2 n 所有真子集的个数为2 1 n 所有非空真子集的个 数为2 2 n 所有二元子集 含有两个元素的子集 的个数为 2 n C 第二章 函数 指数与对数运算 一 分数指数幂与根式 如果 n xa 则称x是a的n次方根 0的n次方根为 0 若 0a 则当n为奇数时 a的n次方根有 1 个 记做 n a 当n为偶数时 负数没有n次方根 正数a的n次方根有 2 个 其中正的n次方根记做 n a 负的n次方根记做 n a 1 负数没有偶次方根 2 两个关系式 n n aa nn an a an 为奇数 为偶数 3 正数的正分数指数幂的意义 m nm n aa 正数的负分数指数幂的意义 1 m n nm a a 4 分数指数幂的运算性质 mnm n aaa mnm n aaa mnmn aa m mm a bab 0 1a 其中m n均为有理数 a b均为正整数 二 对数及其运算 1 定义 若 b aN 0a 且 1a 0 N 则 logabN 2 两个对数 常用对数 10a 10 loglgbNN 自然对数 2 71828ae logln e bNN 3 三条性质 1 的对数是 0 即log 1 0 a 底数的对数是 1 即log 1 aa 负数和零没有对数 4 四条运算法则 log loglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N log log n aa MnM 1 loglog n aa MM n 5 其他运算性质 对数恒等式 logab ab 换底公式 log log log c a c a b b log loglog aba bcc log log1 ab ba loglog m n a a n bb m 函数的概念 一 映射 设 A B 两个集合 如果按照某中对应法则 f 对于集合 A 中的任意一个元素 在集合 B 中 都有唯一的一个元素与之对应 这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射 二 函数 在某种变化过程中的两个变量x y 对于x在某个范围内的每一个确定的值 按照某个对 应法则 y 都有唯一确定的值和它对应 则称 y 是x的函数 记做 yf x 其中x称为自变量 x变 化的范围叫做函数的定义域 和x对应的 y 的值叫做函数值 函数值 y 的变化范围叫做函数的值域 三 函数 yf x 是由非空数集A到非空数集 B 的映射 四 函数的三要素 解析式 定义域 值域 函数的解析式 一 根据对应法则的意义求函数的解析式 例如 已知 xxxf2 1 求函数 xf 的解析式 二 已知函数的解析式一般形式 求函数的解析式 例如 已知 f x 是一次函数 且 43f f xx 函数 xf 的解析式 三 由函数 xf 的图像受制约的条件 进而求 xf 的解析式 函数的定义域 一 根据给出函数的解析式求定义域 整式 x R 分式 分母不等于 0 偶次根式 被开方数大于或等于 0 含 0 次幂 负指数幂 底数不等于 0 对数 底数大于 0 且不等于 1 真数大于 0 二 根据对应法则的意义求函数的定义域 例如 已知 yf x 定义域为 5 2 求 32 yfx 定义域 已知 32 yfx 定义域为 5 2 求 yf x 定义域 三 实际问题中 根据自变量的实际意义决定的定义域 函数的值域 一 基本函数的值域问题 名称解析式值域 一次函数ykxb R 二次函数 2 yaxbxc 0a 时 2 4 4 acb a 0a 时 2 4 4 acb a 反比例函数 k y x y yR 且 0 y 指数函数 x ya 0 y y 对数函数logayx R sinyx cosyx 11 yy 三角函数 tanyx R 二 求函数值域 最值 的常用方法 函数的值域决定于函数的解析式和定义域 因此求函数值域的方 法往往取决于函数解析式的结构特征 常用解法有 观察法 配方法 换元法 代数换元与三角换元 常数分离法 单调性法 不等式法 反函数法 判别式法 几何构造法和 导数法等 反函数 一 反函数 设函数 yf x xA 的值域是C 根据这个函数中x y 的关系 用 y 把x表示出 得到 xy 若对于C中的每一 y 值 通过 xy 都有唯一的一个x与之对应 那么 xy 就表示 y 是自变量 x是自变量 y 的函数 这样的函数 xy yC 叫做函数 yf x xA 的反函数 记作 1 xfy 习惯上改写成 1 yfx 二 函数 f x 存在反函数的条件是 x y 一一对应 三 求函数 f x 的反函数的方法 求原函数的值域 即反函数的定义域 反解 用 y 表示x 得 1 xfy 交换x y 得 1 yfx 结论 表明定义域 四 函数 yf x 与其反函数 1 yfx 的关系 函数 yf x 与 1 yfx 的定义域与值域互换 若 yf x 图像上存在点 a b 则 1 yfx 的图像上必有点 b a 即若 f ab 则 1 fba 函数 yf x 与 1 yfx 的图像关于直线 yx 对称 函数的奇偶性 一 定义 对于函数 f x 定义域中的任意一个x 如果满足 fxf x 则称函数 f x 为奇函数 如果满足 fxf x 则称函数 f x 为偶函数 二 判断函数 f x 奇偶性的步骤 1 判断函数 f x 的定义域是否关于原点对称 如果对称可进一步验证 如果不对称 2 验证 f x 与 fx 的关系 若满足 fxf x 则为奇函数 若满足 fxf x 则为偶 函数 否则既不是奇函数 也不是偶函数 二 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 三 已知 f x g x 分别是定义在区间M N MN 上的奇 偶 函数 分别根据条件判断 下列函数的奇偶性 f x g x f x 1 f x f xg x f xg x f xg x 奇奇奇奇偶 奇偶 奇 奇 偶奇偶奇 偶偶偶偶偶 五 若奇函数 f x 的定义域包含0 则 0 0f 六 一次函数 ykxb 0 k 是奇函数的充要条件是 0b 二次函数 2 yaxbxc 0 a 是偶函数的充要条件是 0b 函数的周期性 一 定义 对于函数 xf 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 f xTf x 则 xf 为周期函数 T为这个函数的一个周期 2 如果函数 xf 所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做 xf 的最小正周期 如 果函数 f x 的最小正周期为T 则函数 f ax 的最小正周期为 T a 函数的单调性 一 定义 一般的 对于给定区间上的函数 f x 如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 1 x 2 x 当 12 xx 时满足 12 f xf x 则称函数 f x 在该区间上是增函数 12 f xf x 则称函数 f x 在该区间上是减函数 二 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 取值 作差 变形 判断 定论 2 导数法 求函数 f x 的导数 fx 解不等式 0fx 所得 x 的范围就是递增区间 解不等式 0fx 所得 x 的范围就是递减区间 3 复合函数的单调性 对于复合函数 yf g x 设 ug x 则 yf u 可根据它们的单调性确定复合函数 yf g x 具体判断如下表 yf u 增增减减 ug x 增减增减 yf g x 增减减增 4 奇函数在对称区间上的单调性相反 偶函数在对称区间上的单调性相同 函数的图像 一 基本函数的图像 二 图像变换 yf x yf xk 将 yf x 图像上每一点向上 0 k 或向下 0 k 平移 k 个单位 可得 yf xk 的图像 yf x yf xh 将 yf x 图像上每一点向左 0 h 或向右 0 h 平移 h 个单位 可得 yf xh 的图像 yf x yaf x 将 yf x 图像上的每一点横坐标保持不变 纵坐标拉伸 1 a 或压缩 01 a 为原来的a倍 可得 yaf x 的图像 yf x yf ax 将 yf x 图像上的每一点纵横坐标保持不变 横坐标压缩 1 a 或拉伸 01 a 为原来的 1 a 可得 yf ax 的图像 yf x yfx 关于 y 轴对称 yf x yf x 关于x轴对称 yf x yfx 将 yf x 位于 y 轴左侧的图像去掉 再将 y 轴右侧的图像沿 y 轴对称到左 侧 可得 yfx 的图像 yf x yf x 将 yf x 位于x轴下方的部分沿x轴对称到上方 可得 y f x 的图像 三 函数图像自身的对称 关系图像特征 f xfx 关于 y 轴对称 f xfx 关于原点对称 f axf xa 关于 y 轴对称 f axf ax 关于直线x a 对称 f xf ax