数学应重视言语信息的教学

1 数学应重视言语信息的教学数学应重视言语信息的教学 当阳一中 张 斐 下面实录的命题是高一年级 2007 年下学期期中考试数学试卷的第 16 题 本题满分 12 分 命题 若集合 M x x2 x 6 0 N x ax 1 0 且 N M 求实数 a 的值 这是一道低难度的信息再现的基础性命题 但抽样统计的结果让人吃惊 做全对的 即得 满分 12 分 的学生人数不足参考人数的三分之一 我们的数学教学遭遇低效 原因何在呢 我们先看学生解答典型案例 一 案例 例 1 解 M x x 3 或 x 2 N x x 1 a x2 x 6 0 ax 1 0 x 2 x 3 0 ax 1 X 3 或 2 x 1 a N M 当 N 为时 a 0 当 3 时 a 1 a 1 3 当 2 时 a 1 a 1 2 综合的 N 时 a 0 N 2 时 a 1 2 N 3 时 a 1 3 点评 该生的解题思路和答案都正确 但存在以下几个问题 问题问题 1 1 叙述省略不当 解方程x2 x 6 0 的过程可以省略 但结论 M 3 2 不应省 去 问题问题 2 2 叙述的条理性不够 问题问题 3 3 在描述具体结论时 未说明结论存在的条件 问题问题 4 4 缺失知识点 在等式的两边同除一个不为零的数时 等式仍然成立 问题问题 5 5 错误地运用了符号 例 2 解 x2 x 6 0 X 3 X 2 X1 3 x2 2 NM 2 即 a1 a2 1 3 1 2 a 的值为 或 2 3 1 2 点评 此解答除了问题 1 外 还存在 问题问题 6 6 对逻辑连接词 或 且 的运用不当 解答表述 NM 即 可改述为 N 是 M 的子集 就是 3a 1 0 且 2a 1 0 而 从解答的结论 a1 a2 来看 解答者心里想的应该是 3a 1 0 或 2a 1 0 1 3 1 2 问题问题 7 7 未掌握方程组的属性 由方程 解得 故 a 不存在 例 3 解 M 2 3 MNN 3 或 2 或 3 2 若 N 3 则 3a 1 0 a 1 3 若 N 2 则 2a 1 0 a 1 2 若 N 2 3 则 2a 1 0 或 3a 1 0 a 或 1 2 1 3 a 的值为 1 2 1 3 点评 解答除了存在问题 3 和问题 4 外 还存在以下问题 问题问题 8 8 遗忘了知识点 空集是任何集合的子集 问题问题 9 9 未掌握一元一次方程的属性 一元一次方程有且只有一个实数根 例 4 解 由 M x x2 x 6 0 得 M 2 3 NM N 为或 3 或 2 当 a 0 时 N 为 满足 当 x 3 时 3a 1 0 a 1 3 当 x 2 时 2a 1 0 a 1 2 答 实数 a 为 0 或 或 1 3 1 2 3a10 2a10 3a10 2a10 3a10 2a10 1 a 3 1 a 2 3 点评 问题问题 1010 混淆了 集合 和 数 的概念 例 5 解 M x2 x 6 0 1 4 6 1 25 X x1 2 x2 3 1 5 2 M x 2 3 NM ax 1 0 2a 1 0 a 1 2 3a 1 0 3a 1 a 1 3 a 的取值为 a 1 3 1 2 点评 解答除了出现问题 6 外 还存在以下问题 问题问题 1111 对集合的表示方法 描述法 的意义理解不够 因此出现了错误 M x x2 x 6 0 x2 x 6 0 和 M x x2 x 6 0 x 2 3 问题问题 1212 解答混淆了 a 的值 与 a 的取值范围 概念 例 6 解 M x x2 x 6 0 M x x 2 或 x 3 又 NM 310 210 a a N 为 点评 解答存在问题 5 和问题 6 例 7 解 依题意可得出 M 2 3 NM N 2 3 当 N 时 ax 1 0 ax 1 a 或 1 2 1 3 当 2 N 时 2a 1 0 2a 1 a 1 2 当 3 N 时 3a 1 0 a 1 3 综上 得 a 或 a 或 a 或 a 1 2 1 3 1 2 1 3 点评 问题 13 未准确掌握 子集 的概念和符号 问题问题 1414 对 N 的意义理解有误 问题问题 1515 对答案中显然存在的矛盾现象浑然不觉 1 3 1 2 0 a b a 4 例 8 解 M x x2 x 6 0 x2 x 6 0 x 3 x 2 0 x1 2 x2 3 M 3 2 N x ax 1 0 且 NM N 为或 2 或 3 或 2 3 若 N ax 1 0 当 a 0 时 1 0 成立 若 N 2 ax 1 0 当 a 0 时 1 0 不成立 当 a 0 时 2a 1 0 2a 1 a 1 2 若 N 3 ax 1 0 当 a 0 时 1 0 不成立 当 a 0 时 3a 1 0 3a 1 a 1 3 若 N 2 3 ax 1 0 当 a 0 时 1 0 不成立 当 a 0 时 210 310 a a a a 0 1 2 1 3 点评 解答除了存在问题 1 问题 8 问题 9 外 还存在 问题问题 1616 错误地应用符号 为更好地进行归因分析 先说点学理方面的知识 二 数字言语信息的主要内容与特征 言语信息 又称为 陈述性知识 根据信息量和形式可分为三类 名称 单个命题 或事实 知识群 具体到高中数学 言语信息 包括下列主要内容 1 概念 分为 属性概念 回答 什么是 的问题 如 集合 函数 等等概念 关系概念 回答 事物之间有什么联系 的问题 如 属于 包含 等等概念 概念的一个 重要逻辑形式是 定义 2 公式 法则 性质 定理 公理 和事实 如 a0 1 a 0 0 1 等等 3 分类和类别知识 如 实数 a 可分为 a 0 a 0 a 0 三种情况 二次函数的图象及性质 两条直线的 位置关系 等等 这一类言语信息量较大 因此又称为 知识群 数学言语信息具有如下特征 1 高度抽象性 高中 数学知识 的发生源自两个方面 一方面 剔除客观事物的物理 意义 而对事物的数量关系和空间位置进行描述 形成 数学知识 这一类 数学知识 都 有其实际意义 在客观世界中存在着丰富表象 另一方面 是对旧有知识休系中的相关知识的 联结 组合 整合拓展 而产生的新的数学知识 这一类数学知识除有数学理论意义外 而无 客观实际的表象 最完美的东西也许我们看不见 数学知识的这种抽象性 使我们学生在认 知过程中 大多缺乏情境地支持 从而知识变成了 冷知识 5 2 高度概括性 在对单个事物进行数学抽象的基础之上 对同一类事物的数学性质进行 概括性描述形成关于 类别 的数学知识 这种概括性产生了一种不对称现象 数学概念的形 式简约而外延丰富 丰富的外延 往往让学生处于 身在庐山 不知庐山真面目 的境地 3 形式化符号体系 如果数学知识都用文字语言来描述的话 那么 不能想象数学推理将会有多么冗长的繁述 过程 数学正是借助形式化符号语言使数学知识 数学思维 数学推理的描述变得简约化 规 范化 严密化和科学化 但从学生认知的角度来讲 学生对用文字语言描述的数学知识比对用 符号语言来描述的数学知识更易理解和掌握 因此数学的形式化符号语言客观上对学生学习数 学造成初始困难 识别符号 成了学生学习数学的基础内容之一 4 严密性 数学言语信息的严密性主要表现在数学知识的意义的确定性 不可更改 准确性 不可 混淆 和条件性 不可越矩 三个方面 严密性对学生的认知水平 认知模式 行为习惯 价 值取向 数学学习心理结构等 提出较高的要求 三 归因分析 下面我们从言语信息的知识角度对学生的错误表现的原因进行归类分析 数学言语能力较差 问题 1 问题 2 属性概念掌握不够 问题 7 问题 9 问题 10 问题 12 问题 14 关系概念掌握不够 问题 6 问题 8 问题 13 问题 14 问题 15 数学符号适用不当 问题 5 问题 11 问题 16 等式性质掌握不够 问题 4 导致本案例的根本原因是学生对数学 言语信息 的学习理解掌握不够 也促成了我们的 教学低效率 数学语言是数学思维的 物质外壳 数学语言的主要成份是数学言语信息