公平席位分配Q值法

1问题的假设与符号定义问题的假设与符号定义 1 11 1 问题的假设问题的假设 1 席位是以整数计量的 并且为有限个 设为 N 个 2 每个系别有有限个人 席位是按各集体的人员多少来分配的 3 每个系别的每个人被选举都是等可能的 4 每个单位至少应该分配到一个名额 如果某个单位 一个名额 也不应该分到的话 则应将其剔除在分配之外 5 在名额分配的过程中 分配是稳定的 不受任何其他因素所干 扰 1 21 2 符号的定义 符号的定义 n 表示某系别的席位数 n1 n2 n3分别表示甲 乙 丙的席 位数 p 表示某系别的人数 p1 p2 p3分别表示甲 乙 丙的人数 q 表示总席位数 N 表示总的席位人数 Q 表示某单位的 值 3 3问题的分析问题的分析 通常人们都是按照人数比例来进行分配的 当比例中有小数时 人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者 我们能得出以 下结论 Npqn 公式 4 4模型建立模型建立 目标目标 建立公平的席位分配方案建立公平的席位分配方案 4 14 1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值引出绝对不公平值并给出相对不公平值 设 A B 两方人数分别为 分别占有 和个席位 则两 21 p p 1 n 2 n 方每个席位所代表的人数分别为 和 1 1 n p 2 2 n p 我们称 为 例 2 2 1 1 n p n p 10 100 120 2121 nnpp 则 又 则2 2 2 1 1 n p n p 10 1000 1020 2121 nnpp 2 2 2 1 1 n p n p 由上例可知 用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准 并不合 理 下面我们给出相对不公平值 若 则称 为对 A 的相对不公平值 2 2 1 1 n p n p 1 12 21 2 2 2 2 1 1 np np n p n p n p 记为 21 nnrA 若 则称 为对 B 的相对不公平值 2 2 1 1 n p n p 1 21 12 1 1 1 1 2 2 np np n p n p n p 记为 21 nnrB 4 24 2 给出相对公平的席位分配方案给出相对公平的席位分配方案 如果两方分别占有和席 利用相对不公平值和讨论 当 AB 1 n 2 n A r B r 总席位增加 1 席时 应该分配给 A 还是 B 不妨设 即对 A 1122 p npn 不公平 当再分配一个席位时 有以下三种情况 I 当时 这说明即使给 A 增加 1 席 仍然对 A 不公平 2 2 1 1 1 pp nn 所以这一席显然应给 A 方 II 当时 这说明给 A 增加 1 席 变为对 B 不公平 此时 2 2 1 1 1 pp nn 对 B 的相对不公平值为 3 21 12 12 1 1 1 B p n rnn p n III 当时 这说明给 B 增加 1 席 将对 A 不公平 此时对 2 2 1 1 1 pp nn A 的相对不公平值为 4 12 12 21 1 1 1 A p n rn n p n 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小 所以如果 5 1212 11 BA rnnrn n 则这 1 席给 A 方 反之这 1 席给 B 方 由 3 4 可知 5 等价于 6 21 22 2211 11 pp n nn n 不难证明上述的第 I 种情况也与 6 式等价 于是我们 2 2 1 1 1 pp nn 的结论是当 6 式成立时 增加的 1 席应给 A 方 反之给 B 方 若记 2 1 2 1 i i ii p Qi n n 则增加的 1 席给 Q 值大的一方 4 34 3 模型内部推广模型内部推广 上述方法可以推广到有方分配席位的情况 设第 方人数为 mi i p 已占有个席位 当总席位增加 1 席时 计算 i n 2 1 2 1 i i ii p Qim n n 则增加的 1 席应分配给 Q 值大的一方 这种席位分配的方法称为 Q 值 法 5模型求解模型求解 5 15 1 下面用下面用 Q Q 值法讨论甲 乙 丙系分配值法讨论甲 乙 丙系分配 2020 个席位的问题 个席位的问题 先按照比例将整数部分的 10 席分配完毕 n1 10 n2 6 n3 3 再 用 Q 值法分配第 20 席和第 21 席 分配第 20 席 计算得 Q1 96 4 Q2 94 5 Q3 96 3 Q1 最大 于是这 1 席应分给甲系 分配第 21 席 计算得 Q1 80 4 Q2 94 5 Q3 96 3 Q3最大 于是这 1 席应分给丙系 5 25 2 现象分析及结果 现象分析及结果 根据 Q 值分配结果与假定情况一的现象 易得出 惯例分配总席位为 21 时 分配