必修5数列知识与题型归纳(复习用).docx

必修5数列知识与题型归纳一、数列的概念数列的前项和与通项的关系： 例：1已知数列的前n项和 ，求数列 的通项公式.2.数列的前项和 （1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列 的通项公式吗？二、等差数列.等差数列的通项公式： 例：1.已知等差数列中， 等于 2. 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号= 3.等差中项例：1设是公差为正数的等差数列，若 ， ,则 2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 4.等差数列的性质：1.在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的 ；2.在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是 数列； 3.在等差数列中，对任意 ，；4.在等差数列中，若，且 ，则 ；5.等差数列的前和的求和公式： (是 数列 )例：1.如果等差数列中，那么 2.设是等差数列的前n项和，已知，则= 3. 设等差数列的前n项和为，若,则= 4.在等差数列中，则= 5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项6.已知等差数列的前项和为，若 7.设等差数列的前项和为，若则 8已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.则数列bn的通项bn= 9.已知数列是等差数列，其前10项的和，则其公差= 10.设等差数列的前n项和为,若,则 11设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。12.等差数列的前项和记为，已知 求通项；若=242，求13.在等差数列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知6.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有项，则偶奇； ；（2）若项数为奇数，设共有项，则奇偶；。 7.（1）对与一个等差数列，仍成等差数列；（2）设为等差数列的前项和,则仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。3已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设为等差数列的前项和， = 5设Sn是等差数列an的前n项和，若 ，则 8.判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法： ； 中项法： ； 通项公式法： ； 前项和公式法： 。例：1.已知数列满足，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列的通项为，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列满足，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断9.等差数列前n项和的最值（1），时，有最 值；， 时， 有最 值；（2）最值的求法：若已知， 的最值可求二次函数 的最值；(3)若已知，则最值时的值（）可如下确定 或 。 例：1设等差数列 的前项和为 ，已知 求出公差的范围， 指出 中哪一个值最大，并说明理由。2设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值3.已知是等差数列，其中 ，公差 。（1）数列从哪一项开始小于0？（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值4.已知 是各项不为零的等差数列，其中 ，公差 ，若,求数列前项和的最大值5.在等差数列中，求的最大值三、等比数列1.等比数列定义： 2.递推关系与通项公式 1 在等比数列中,，则 2 在等比数列中,则 3.在等比数列中，则= 4.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则 3.等比中项： 例：1.和的等比中项为 2.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和= 4.等比数列的基本性质1.（1） （2）（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成 数列.（4）既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的 数列.例：1在等比数列中,和是方程 的两个根,则 2. 在等比数列，已知，则= 3.在等比数列中，求 若 4.等比数列的各项为正数，且 5.已知等比数列满足 ，且 ，则当时， 5.等比数列的前n项和： ，例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和 2.设等比数列的前n项和为，已，求和3设 ，则等于 4设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；5设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .6.等比数列的前n项和的性质若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成 数列.例：1.设等比数列 的前n 项和为，若 =3 ，则 = 2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 7.等比数列的判定法（1）定义法： （2）中项法： （3）通项公式法： （4）前项和法： 例：1.已知数列的通项为，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列满足，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列满足：，则= ；2.已知数列满足，则= ；3.数列满足=8， （），则= ；4.已知数列满足，则= ；5.设数列满足且，求的通项公式；6.已知数列满足，求数列的通项公式。7.等比数列的各项均为正数，且，求数列的通项公式8.已知数列满足，求数列的通项公式；9.已知数列满足，求数列的通项公式；10.已知数列满足且，求数列的通项公式；11.已知数列满足且，求数列的通项公式；12.已知数列满足求数列的通项公式。（2）累加法例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。2.已知数列满足，求数列的通项公式3.已知数列满足，求数列的通项公式。（3）累乘法 适用于： 例：1.已知数列满足，求。2.已知， ，求。（4） 待定系数法 （构造法） 适用于例：1. 已知数列中，求数列的通项公式。2.在数列中，若，则该数列的通项_（以下38题理科生做， 文科可以不做）3.已知数列满足，求数列的通项公式。提示：设4. 已知数列满足，求数列的通项公式。5. 已知数列满足，求数列的通项公式。提示：设6.已知数列中，,，求7. 已知数列满足，求数列的通项公式。提示：设 递推公式为（其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为其中s，t满足8. 已知数列满足，求数列的通项公式。（5）根据条件找与项关系（文科可以不做）例1.已知数列中，若，求数列的通项公式2.在数列中， 设，求数列的通项公式（6）递推公式中既有又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。1.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列3.已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。（7）对无穷递推数列 消项得到第与项的关系例：1. 已知数列满足，求的通项公式。2.设数列满足，求数列的通项；五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论例：1. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A9 B10 C11 D122.已知等比数列满足，则前项和= 2错位相减法求和：例： 1.求和：2.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且， （）求，的通项公式；（）求数列的前n项和3.已知等差数列满足, .(1)求数列的通项公式及 （2）求数列的前n项和4.设数列满足，（1）求数列的通项公式 （2）令，求数列的前n项和5已知 ，数列 是首项为a，公比也为a的等比数列，令 ，求数列 的前 项和 。3裂项相消法求和：例：1.已知数列的通项公式为，则前项的和= ；2.已知数列的通项公式为 ，则前项的和= ；3.已知数列的通项公式为 ，设 ，求 4求 。5.设数列满足且（1）求的通项公式（2）设记为前项和，证明：6.等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前n项和7.已知等差数列满足：，的前n项和（1）求及（2）令（），求数列前n项和8已知数列中，前和（1）求数列的通项公式（2）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。9.数列 满足 =8， （），（）求数