证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全

1 证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全大全 证明数列型不等式 其思维跨度大 构造性强 需要有较高的放缩技巧 充满思考性 和挑战性 这类问题的求解策略往往是 通过多角度观察所给数列通项的结构 深入剖析 其特征 抓住其规律进行恰当地放缩 一 利用数列的单调性一 利用数列的单调性 例例 1 1 证明 当时 Znn 6 2 1 2n n n 证法一 令 则 6 2 2 n nn c n n 0 2 3 2 2 2 3 1 1 2 1 1 nnn nn nnnnn cc 所以当时 因此当时 6n 1nn cc 6n 6 6 83 1 644 n cc 于是当时 6n 2 2 1 2 n n 证法二 可用数学归纳法证 1 当n 6 时 成立 6 6 62 483 1 2644 2 假设当时不等式成立 即 6 nk k 2 1 2k k k 则当n k 1 时 1 1 3 2 1 3 1 3 1 222 2 2 2 kk kkk kkkkk k kkk A 由 1 2 所述 当n 6 时 2 1 1 2 n n 二 二 借助数列递推关系借助数列递推关系 例例 2 2 已知 证明 12 n n a 231 1112 3 n nN aaa 证明 n nnn n aa 1 2 1 12 1 2 1 22 1 12 11 11 1 3 2 2 1 1 3 21 2 1 1 2 11111 2 1 22132 nn n aaaaaa S 例例 3 3 已知函数 f x 设正项数列满足 l 52 168 x x n a 1 a 1nn af a 1 试比较与的大小 并说明理由 n a 5 4 2 设数列满足 记 Sn 证明 当 n 2 时 Sn 2n 1 n b n b 5 4 n a 1 n i i b 1 4 2 分析 比较大小常用的办法是作差法 而求和式的不等式常用的办法是放缩法 解 1 因为所以 1 0 0 nn aa 1680 02 nn aa 因为所以与同号 1 55 48 52553 44 4168432 2 22 nn n n nnn aa a a aaa 20 n a 1 5 4 n a 5 4 n a 因为 即 1 51 0 44 a 2 5 0 4 a 3 5 0 4 a 5 0 4 n a 5 4 n a 2 当时 2n 11 11 531531 42 242 2 nnnn nn baab aa 11 31 2 5 2 2 4 nn bb 所以 213 121 2222 nn nnn bbbb 所以 3 12 1 12 1111 4 21 422124 n n n nn Sbbb 例例 4 4 已知不等式其中为不大于 2 的整数 表示不 log 2 11 3 1 2 1 2n n n log2n 超过的最大整数 设数列的各项为正且满足n 2 log n a 1 1 1 0 n n n an na abba 2 n 证明 log2 2 2n b b an 5 4 3 n 证明 由得 1 1 n n n an na a naa nn 111 1 naa nn 111 1 2 n 1 111 21 naa nn 2 111 12 aa 以上各式两边分别相加得 2 1 1 1111 1 nnaan 2 1 1 1111 nnban log 2 11 2n b b nb 2 log2 2 log2 2 2n b b an 3 n 3 裂项放缩裂项放缩 3 例例 5 5 求证 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 解析 因为 所以 12 1 12 1 2 14 4 4 1 11 2 2 2 nnn n n 3 5 3 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 21 1 1 2 nnk n k 又 11 1 1 1 1 43 1 32 1 1 1 9 1 4 1 1 2 n n nnnn 当时 当时 3 n 12 1 6 1 nn n n n 1 n 2 1 9 1 4 1 1 12 1 6 nnn n 当时 所以综上有 2 n 2 1 9 1 4 1 1 12 1 6 nnn n 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 例例 6 6 已知21 n n a 1 2xf x 求证 12 1 12 6 nn Tb fb fb f n 证明 由于 1 1 1 11 2121 11111 2 22 212121 2121 21 nn n n nn nnnn b f n 12 2231 1111111 12 2121212122121 nn nn Tb fb fb f n 1 111111 2 12212 126 n 例例 7 7 已知 数列的首项 xxxf 2 n a 2 1 11nn afaa 1 求证 2 求证 时 nn aa 1 6n 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n aaa 证明 都大于 0 nnn aaa 2 1 2 1 1 a n aaa 32 0 2 n a nn aa 1 2 故 nnnnnnn aaaaaaa 1 11 1 111 2 11 11 1 1 nnn aaa 1111322121 1 2 11111111 1 1 1 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaaaa 又 4 3 2 1 2 1 2 2 a1 4 3 4 3 2 3 a nn aan 1 21 31 aan 2 1 21 1 n a 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 四 分类放缩四 分类放缩 例例 8 8 当时 求证 3Znn 212 1 4 1 3 1 2 1 1 n n 证明 当时不等式显然成立 21 nn nnnn 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 333322 4 2 n 例例 9 9 已知 证明 对任意整数 有 2 2 2 1 3 nn n a 4 m 8 7111 54 m aaa 分析 不等式左边很复杂 要设法对左边的项进行适当放缩 使之能够求和 而左边 如果我们把上式 232 45 1113111 2 21212 1 mm m aaa 中的分母中的去掉 就可利用等比数列的前 n 项公式求和 由于 1 与 1 交错出现 容1 易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩 尝试知 3232 2 1 2 1 12 1 12 1 因此 可将保留 再将后面的项两两组合后放缩 即 4343 2 1 2 1 12 1 12 1 12 1 2 可求和 这里需要对进行分类讨论 1 当为偶数时 mm 4 m m aaa 111 54 11 11 1 1654mm aaaaa 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 243 m 2 1 1 4 1 2 3 2 1 4 m 8 3 2 1 8 7 2 当是奇数时 为偶数 m 4 m1 m 8 711111111 165454 mmm aaaaaaaa 所以对任意整数 有 4 m m aaa 111 54 8 7 五 利用函数单调性 导数 放缩五 利用函数单调性 导数 放缩 例例 10 10 已知函数 数列满足 数列 ln 1f xxx n a 1 01a 1nn af a 满足 求证 n b 11 11 1 22 nn bbnb nN 若则当 n 2 时 1 01 nn aa 2 1 2 n n a a 1 2 2 a nn ban 分析 第 1 问用数学归纳法证明 第 2 问利用函数的单调性 第 3 问进行放缩 证明 先用数学归纳法证明 01 n a nN 5 1 当 n 1 时 由已知得结论成立 2 假设当 n k 时 结论成立 即 则当 n k 1 时 01 k a 因为 0 x 1 时 所以 f x 在 0 1 上是增函数 1 10 11 x fx xx 又 f x 在上连续 所以 f 0 f f 1 即 0 0 1 k a 1 1 ln21 k a 故当 n k 1 时 结论也成立 即对于一切正整数都成立 01 n a 又由 得 从而 01 n a 1 ln 1ln 1 0 nnnnnn aaaaaa 1nn aa 综上可知 1 01 nn aa 构造函数 g x f x 0 xg 0 0 2 0 1 x g x x 0 1 因为 所以 即 0 从而01 n a 0 n g a 2 2 n n a f a 2 1 2 n n a a 因为 所以 11 11 1 22 nn bbnb 0 n b 1n n b b 1 2 n 所以 12 1 121 1 2 nn n n nn bbb bbn bbb 由 知 所以 2 1 2 n n a a 1 2 nn n aa a 1 n a a 31212 121 2 22 nn n aaaaa a aaa 因为 n 2 1 2 2 a 1 01 nn aa 所以 n a 112 1 2 22 n aa a a 1 1 2 n n a 2 1 2 2n a 1 2n 由 两式可知 nn ban 例例 1111 求证 6 65 3 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln Nn n n n n 6 证明 先构造函数有 从而 xx x xx 1 1 ln 1ln 3 1 3 1 2 1 13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln n n n n 因为 nnnn 3 1 12 1 2 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 6 5 3 3 32 3 27 9 18 9 9 3 6 3 6 5 1 1 1 n n n n n 所以 6 65 3 6 5 13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln nn nn n n 高考中利用放缩方法证明不等式 文科涉及较少 但理科却常常出现 且多是在压轴 题中出现 放缩法证明不等式有法可依 但具体到题 又常常没有定法 它综合性强 形 式复杂 运算要求高 往往能考查考生思维的严密性 深刻性以及提取和处理信息的能力 较好地体现高考的甄别功能 本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法 以冀起 到举一反三 抛砖引玉的作用 一 一 放缩后转化为等比数列 放缩后转化为等比数列 例 1 满足 n b 2 11 1 2 3 nnn bbbnb 1 用数学归纳法证明 n bn 2 求证 123 1111 3333 n n T bbbb 1 2 n T 解 1 略 2 1 3 2 3 nnnn bb bnb 又 n bn 1 32 3 nn bb nN 迭乘得 11 1 32 3 2 nn n bb 1 11 32n n nN b 23411 1111111 2222222 n nn T 7 点评 把握 这一特征对 进行变形 然后3 n b 2 1 2 3 nnn bbnb 去掉一个正项 这是不等式证明放缩的常用手法 这道题如果放缩后裂项或者用数学 归纳法 似乎是不可能的 为什么 值得体味 二 放缩后裂项迭加二 放缩后裂项迭加 例 2 数列 其前项和为 n a 11 1 n n a n n n s 求证 2 2 2 n s 解 2 11111 1 234212 n s nn 令 的前项和为 1 2 21 n b nn n bn n T 当时 2n 1111 2 22 41 n b nnnn 2 1111 111 11111 212304 344 5641 nn sT nn 712 1042n 点评 本题是放缩后迭加 放缩的方法是加上或减去一个常数 也是常用的放缩 手法 值得注意的是若从第二项开始放大 得不到证题结论 前三项不变 从第四项 开始放大 命题才得证 这就需要尝试和创新的精神 例 3 已知函数的图象在处的切线方程为 0 b f xaxc a x 1 1 f 1yx 1 用表示出a b c 2 若在上恒成立 求的取值范围 lnf xx 1 a 3 证明 111 1 ln 1 232 1 n n nn 解 1 2 略 3 由 II 知 当 1 ln 2 1 xxxfa有时 令 1 ln 1 2 1 2 1 xx x xxfa有 且当 ln 1 2 1 1x x xx 时 8 令 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 11 ln 1 kkk k k k kk k x 有 即 3 2 1 1 11 2 1 ln 1ln nk kk kk 将上述 n 个不等式依次相加得 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1ln nn n 整理得 1 2 1ln 1 3 1 2 1 1 n n n n 点评 本题是 2010 湖北高考理科第 21 题 近年 以函数为背景建立一个不等关 系 然后对变量进行代换 变形 形成裂项迭加的样式 证明不等式 这是一种趋势 应特别关注 当然 此题还可考虑用数学归纳法 但仍需用第二问的结论 三 三 放缩后迭乘放缩后迭乘 例 4 11 1 1 14124 16 nnn aaaanN 1 求 23 a a 2 令 求数列的通项公式124 nn ba n b 3 已知 求证