有限单元法平面问题例题.ppt

平面有限元解法 设有对角受压的正方形薄板 如上图所示 载荷沿厚度均匀分布 为2N m 试对该结构进行整体分析 建立整体刚度矩阵和整体结点载荷列阵 建立整体结点方程组 通过编程求解出结点的位移 并从而求出各单元的应力 为简单起见 取板的厚度t 1 弹性常数E 1 泊松比 0 右图为取1 4模型 离散后 单元 结点 荷载和约束的简图 1简化力学模型 选取单元类型结构及荷载沿双轴对称 选取1 4结构结构 图所示为平面应力问题 平面应力单元类型中 3结点三角形单元 2结构离散 单元编号 结点编号 将对象划分成4个单元 共有6个结点 单元和结点上均编上号码 其中结点的整体编码1至6 以及个单元的结点局部编码i j m 均示于上图中 3 1结点位移列阵 荷载列阵 3单元分析 对逐个单元进行分析 以单元1为例 3 2位移函数 3单元分析 3 3讨论位移函数的收敛性 1 完备性 2 协调性 3单元分析 3 4推导形函数 只需分析1个单元 其余可直接用公式计算 代入结点坐标和位移 3单元分析 常数 3单元分析 设 3单元分析 得到 3单元分析 3单元分析 3单元分析 得到内部任意一点位移和结点位移的关系式 3单元分析 得到内部任意一点位移和结点位移的关系式 3单元分析 得到形函数矩阵 3单元分析 3 5推导内部任意一点应变和结点位移的转换关系 3单元分析 3单元分析 3单元分析 3单元分析 3 6推导内部任意一点应力和结点位移的转换关系 平面应力的弹性矩阵为 3单元分析 把D B矩阵代入公式即可应力转换矩阵S 3单元分析 3 7得到单元刚度矩阵把B和D矩阵代入 对3结点三角形 可以简化为 3单元分析 3 8单元等效荷载计算 4组成整体刚度矩阵 暂时不考虑位移边界条件 把所分析结构的整体结点平衡方程组列出 整体刚度矩阵写成6 6的矩阵 它的每个子块是2 2的矩阵 实际它是一个12 12的矩阵 如K23 它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时 在结点2的x方向或y方向引起的结点力 4组成整体刚度矩阵 整体刚度矩阵写成6 6的矩阵 它的每个子块是2 2的矩阵 实际它是一个12 12的矩阵 如K23 它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时 在结点2的x方向或y方向引起的结点力 4整体刚度矩阵续 由于于结点3和结点2在结构中是通过 和 这两个单元相联系 因而K23应是单元 的k23和单元 的k23之和 同理 可以找到各单元刚度矩阵中所有子矩阵在整体刚度矩阵K中的位置 得到整体劲度矩阵 式中k的上标1 2 3 4表示是哪一个单元的刚度矩阵中的子矩阵 空白处是2 2的零矩阵 4整体刚度矩阵续 对于单元 根据公式 可求得A 0 5m2 将上式中各子块的具体数值代入整体刚度矩阵K表达式中 得出整体刚度矩阵 对于单元 根据公式 可求得A 0 5m2 把 0 t 1m 代入单元的刚度矩阵 得两种单元的刚度矩阵k都是 37 4整体刚度矩阵 整体刚度矩阵K 38 5引入位移边界条件 位移边界条件为 因此 整体结点的位移列阵就简化为 5引入位移边界条件 与这6个零位移分量相应的6个平衡方程不必建立 因此 将整体刚度矩阵中 第1 3 7 8 10 12各行以及同序号的各行划去 因而整体劲度矩阵K简化为 6整体结点载荷列阵 确定了每个单元的结点载荷列阵 根据各单元的结点局部编码与整体编码的关系 确定三个子块FLi FLj FLm在FL中的位置 6整体结点载荷列阵 由于该结构只是在结点1受有向下1N m的载荷 因而 非零元素子块 只有 在考虑了边界条件后 整体载荷列阵为 平面有限元解法 求解整体结点载荷列阵 求解化简后的整体刚度矩阵 39 求解以后 得结点位移 平面有限元解法 求解应力转换矩阵 应用单元的应力转换矩阵S 求出各单元中的应力 根据 0 以及已求出的A b和c的值 再由式 21 和 22 得出应力转换矩阵如下 对于单元 对于单元 平面有限元解法 求解各单元中的应力 续 应用单元的应力转换矩阵S 求出各单元中的应力 Pa 单元 单元 Pa 平面有限元解法 求解各单元中的应力 应用单元的应力转换矩阵S 求出各单元 中的应力