三角高程测量

1 5 9 三角高程测量 三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角 或天顶距 和 它们之间的水平距离 计算测站点与照准点之间的高差 这种方法简便灵活 受地形 条件的限制较少 故适用于测定三角点的高程 三角点的高程主要是作为各种比例尺 测图的高程控制的一部分 一般都是在一定密度的水准网控制下 用三角高程测量的 方法测定三角点的高程 5 9 15 9 1 三角高程测量的基本公式三角高程测量的基本公式 1 基本公式 关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基本 公式 在测量学中已有过讨论 但公式的推导是以水 平面作为依据的 在控制测量中 由于距离较长 所 以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量的基本公 式 如图 5 35 所示 设为两点间的实测水 0 sBA 平距离 仪器置于点 仪器高度为 为照准点 A 1 iB 砚标高度为 为参考椭球面上的曲率半径 2 vRBA 分别为过点和点的水准面 是AFPE PAPC 在点的切线 为光程曲线 当位于点的PEPPNP 望远镜指向与相切的方向时 由于大气折光PNPM 的影响 由点出射的光线正好落在望远镜的横丝上 N 这就是说 仪器置于点测得间的垂直角为 AMP 2 1 a 由图 5 35 可明显地看出 两地面点间的高差为BA 5 NBMNEFCEMCBFh 2 1 54 式中 为仪器高为照准点的觇标高度 而和分别为地球曲率和折EFNBi 12 vCEMN 光影响 由 2 0 2 1 s R CE 2 0 2 1 s R MN 图 5 35 2 式中为光程曲线在点的曲率半径 设则 R PNN K R R 2 0 2 0 2 2 1 S R K S R R R MN 称为大气垂直折光系数 K 由于两点之间的水平距离与曲率半径之比值很小 当时 BA 0 sRkms10 0 所对的圆心角仅多一点 故可认为近似垂直于 即认为 这 0 s 5 PCOM 90 PCM 样可视为直角三角形 则 5 54 式中的为PCM MC 2 10tan sMC 将各项代入 5 54 式 则两地面点的高差为BA 21 2 02 10 2 2 01 2 02 102 1 2 1 tan 22 1 tan vis R K s vs R K is R sh 令式中一般称为球气差系数 则上式可写成CC R K 2 1 5 21 2 02 102 1 tanviCssh 55 5 55 式就是单向观测计算高差的基本公式 式中垂 直角 仪器高 和砚标高 均可由外业观测得到 为aiv 0 s 实测的水平距离 一般要化为高斯平面上的长度 d 2 距离的归算 在图 5 36 中 分别为两点的高程 此 BA HH BA 处已忽略了参考椭球面与大地水准面之间的差距 其平 均高程为为平均高程水准面 由mMHHH BAm 2 1 于实测距离 般不大 工程测量中一般在 l0km 以内 0 s 所以可以将视为在平均高程水准面上的距离 0 s 由图 5 36 有下列关系 图 5 36 3 5 1 1 0 0 R H ss R H R HR s s m mm 56 这就是表达实测距离与参考椭球面上的距离 之间的关系式 0 ss 参考椭球面上的距离 和投影在高斯投影平面上的距离之间有下列关系sd 5 2 1 2 2 R y ds m 57 式中为两点在高斯投影平面上投影点的横坐标的平均值 关系式 5 57 的 m yBA 推导将在第八章中讨论 将 5 57 式代入 5 56 式中 并略去微小项后得 5 2 1 2 2 0 R y R H ds mm 58 3 用椭球面上的边长计算单向观测高差的公式 将 5 56 式代入 5 55 式 得 5 21 2 2 12 1 1 tanviCs R H sh m 59 式中项的数值很小 故未顾及与 之间的差异 2 Cs 0 ss 4 用高斯平面上的边长计算单向观测高差的公式 将 5 57 式代入 5 59 式 舍去微小项后得 5 2 tan 2 tantan 2 2 21 2 2 1 2 2 2 121 2 2 12 1 R y R H hviCdd R y R H dviCddh mm mm 60 式中 2 1 tan dh 令 5 hh 2 1 2 2 2 R y R H mm 61 则 5 60 式为 4 5 2 121 2 2 12 1 tanhviCddh 62 5 61 式中的与相比较是一个微小的数值 只有在高山地区当甚大而 m HR m H 高差也较大时 才有必要顾及这一项 例如当时 带这 R Hm mhmHm100 1000 R Hm 一项对高差的影响还不到 0 02m 一般情况下 这一项可以略去 此外 当 这 项对高差的影响约为 0 llm 如果要求高差计算正时mhkmym100 300 2 2 2R ym 确到 0 lm 则只有项小于 0 04m 时才可略去不计 因此 5 62 式中最后一h R ym 2 2 2 项只有当或较大时才有必要顾及 2 1 h hHm m y 5 对向观测计算高差的公式 一般要求三角高程测量进行对向观测 也就是在测站上向点观测垂直角 AB 2 1 而在测站上也向点观测垂直角 按 5 62 式有下列两个计算高差的式子 BA 1 2 由测站观测点AB 2 1 2 2 1212 12 1 tanhdCvidh 则测站观测点BA 1 2 2 121 21 2 1 2 tanhdCvidh 式中 和分别为 点的仪器和觇标高度 和为由观测和 11 vi 22 vi AB 2 1 C 1 2 CAB 观测时的球气差系数 如果观测是在同样情况下进行的 特别是在同一时间作对BA 向观测 则可以近似地假定折光系数值对于对向观测是相同的 因此 在K 1 22 1 CC 上面两个式子中 与的大小相等而正负号相反 2 1 h 1 2 h 从以上两个式子可得对向观测计算高差的基本公式 5 2 122111 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 tanhvividh 对向 63 式中 h R y R H h mm 2 2 2 2 1 5 2 1 tan 1 22 1 dh 6 电磁波测距三角高程测量的高差计算公式 由于电磁波测距仪的发展异常迅速 不但其测距精度高 而且使用十分方便 可 以同时测定边长和垂直角 提高了作业效率 因此 利用电磁波测距仪作三角高程测 量已相当普遍 根据实测试验表明 当垂直角观测精度边长在 2km 范围内 0 2 a m 电磁波测距三角高程测量完全可以替代四等水准测量 如果缩短边长或提高垂直角的 测定精度 还可以进一步提高测定高差的精度 如 边长在 3 5km 范围内 5 1 a m 可达到四等水准测量的精度 边长在 1 2km 范围内可达到三等水准测量的精度 电磁波测距三角高程测量可按斜距由下列公式计算高差 5 Zi R D KDh 2 2 cos 2 1 sin 64 式中 为测站与镜站之间的高差 为垂直角 为经气象改正后的斜距 为大h DK 气折光系数 为经纬仪水平轴到地面点的高度 为反光镜瞄准中心到地面点的高iZ 度 5 9 25 9 2 垂直角的观测方法垂直角的观测方法 垂直角的观测方法有中丝法和三丝法两种 1 中丝法 中丝法也称单丝法 就是以望远镜十字丝的水平中丝照准目标 构成一个测回的 观测程序为 在盘左位置 用水平中丝照准目标一次 如图 5 37 a 所示 使指标水准器气 泡精密符合 读取垂直度读数 得盘左读数 L 在盘右位置 按盘左时的方法进行照准和读数 得盘右读数 照准目标如图 5 R 37 b 所示 2 三丝法 三丝法就是以上 中 下 3 条水平横丝依次照准目标 构成一个测回的观测程序 为 在盘左位置 按上 中 下 3 条水平横丝依次照准同一目标各一次 如图 5 38 a 所示 使指标水准器气泡精密符合 分别进行垂直度盘读数 得盘左读数 L 6 图 5 37 图 5 38 在盘右位置 再按上 中 下 3 条水平横丝依次照准同一目标各一次 如图 5 38 b 所示 使指标水准器气泡精密符合 分别进行垂直度盘读数 得盘右读数 R 在一个测站上观测时 一般将观测方向分成若干组 每组包括 2 4 个方向 分别 进行观测 如通视条件不好 也可以分别对每个方向进行连续照准观测 根据具体情况 在实际作业时可灵活采用上述两种方法 如 T3 光学经纬仪仅有一 条水平横丝 在观测时只能采用中丝法 按垂直度盘读数计算垂直角和指标差的公式列于表 5 10 表 5 10 计算公式各测回互差限值 仪器类型 垂直角指标差垂直角指标差 J1 T3 J2 T2 010 RL 180 2 1 LR 180 RLi 360 2 1 RLi 10 15 10 15 5 9 35 9 3 球气差系数球气差系数值和大气折光系数值和大气折光系数值的确定值的确定CK 大气垂直折光系数 是随地区 气候 季节 地面覆盖物和视线超出地面高度K 等条件不同而变化的 要精确测定它 的数值 目前尚不可能 通过实验发 现 值在一天内的变化 大致在中K 午前后数值最小 也较稳定 日出 日落时数值最大 变化也快 因而垂 直角的观测时间最好在地方时 10 时 至 16 时之间 此时 K 值约在 0 08 0 14 之间 如图 5 39 所示 不少单位对值进行过大量的计算和K 统计工作 例如某单位根据 16 个测 区的资料统计 得出 107 0 K 图 5 39 7 在实际作业中 往往不是直接测定值 而是设法确定值 因为 而KC R K C 2 1 平均曲率半径对一个小测区来说是一个常数 所以确定了值 值也就知道了 RCK 由于值是 小于 1 的数值 故值永为正 KC 下面介绍确定值的两种方法 C 1 根据水准测量的观测成果确定值C 在已经由水准测量测得高差的两点之间观测垂直角 设由水准测量测得的高差为 那么 根据垂直角的观测值按 5 55 式计算两点之间的高差 如果所取的值正hC 确的话 也应该得到相同的高差值 也就是 21 2 02 10tan viCssh 在实际计算时 一般先假定一个近似值 代人上式可求得高差的近似值 即 0 C 0 h 21 2 002 100 tanvisCsh 即 2 000 sCChh 或 5 2 0 0 0 s hh CC 65 令式中 则按 5 65 式求得的值加在近似值上 就可以得到正确CCC 0 C 0 C 的值 C 2 根据同时对向观测的垂直角计算值C 设两点间的正确高差为 由同时对向观测的成果算出的高差分别为和由于h 2 1 h 1 2 h 是同时对向观测 所以可以认为 则 01 22 1 CCC 2 02 1 Cshh 2 01 2 Cshh 由以上两式可得 5 0 1 22 1 2s hh C 66 从而可以按下式求出值C 8 CCC 0 无论用哪一种方法 都不能根据一两次测定的结果确定一个地区的平均折光系数 而必须从大量的三角高程测量数据中推算出来 然后再取平均值才较为可靠 5 9 45 9 4 三角高程测量的精度三角高程测量的精度 1 观测高差中误差 三角高程测量的精度受垂直角观测误差 仪器高和觇标高的量测误差 大气折光 误差和垂线偏差变化等诸多因素的影响 而大气折光和垂线偏差的影响可能随地区不 同而有较大的变化 尤其大气折光的影响与观测条件密切相关 如视线超出地面的高 度等 因此不可能从理论上推导出一个普遍适用的计算公式 而只能根据大量实测资 料 进行统计分析 才有可能求出一个大体上足以代表三角高程测量平均精度的经验 公式 根据各种不同地理条件的约 20 个测区的实测资料 对不同边长的三角高程测量的 精度统计 得出下列经验公式 5 sPMh 67 式中 为对向观测高差中数的中误差 为边长 以 km 为单位 为每公里的高 h MsP 差中误差 以 m km 为单位 根据资料的统计结果表明 的数值在 0 013 0 022 之间变化 平均值为 0 018 一P 般取 0 02 因此 5 67 式为P 5 sMh02 0 68 5 68 式可以作为三角高程测量平均精度与边长的关系式 考虑到三角高程测量的精度 在不同类型的地区和不同的观测条件下 可能有较 大的差异 现在从最不利的观测条件来考虑 取 0 025 作为最不利条件下的系数 P 即 5 sMh025 0 69 公式 5 69 说明高差中误差与边长成正比例的关系 对短边三角高程测量精度 较高 边长愈长精度愈低 对于平均边长为 8km 时 高差中误差为士 0 20m 平均边 长为 4 5km 时 高差中误差约为 0 llm 可见三角高程测量用短边传递高程较为有利 为了控制地形测图 要求高程控制点高程中误差不超过测图等高的 1 10 对等高距为 lm 的测图 则要求 mMh1 0 9 5 69 式是作为规定限差的基本公式 2 对向观测高差闭合差的限差 同一条观测边上对向观测高差的绝对值应相等 或者说对向观测高差之和应等于 零 但实际上由于各种误差的影响不等于零 而产生所谓对向观测高差闭合差 对向 观测也称往返测 所以对向观测高差闭合差也称为往返测高差闭合差 以表示W 5 1 22 1 hhW 70 以表示闭合差的中误差 以表示单向观测高差的中误差 则由 5 70 式 W mW 0 h mh 得 0 22 2 hW mm 取两倍中误差作为限差 则往返测观测高差闭合差为 限 W 5 0 222 hW mmW 限 71 若以表示对向观测高差中误差 则单向观测高差中误差可以写为 h W hh Mm2 0 顾及 5 69 式 则上式为 smh2025 0 0 再将上式代入 5 7