浙江省历年高考数列大题总汇(题目及答案)

1 已知二次函数的图像经过坐标原点 其导函数为 数列的前 yf x 62fxx n a n 项和为 点均在函数的图像上 n S n n SnN yf x 求数列的通项公式 n a 设 是数列的前 n 项和 求使得对所有都成立的最 1 3 n nn b a a n T n b 20 n m T nN 小正整数 m 2 己知各项均不相等的等差数列 an 的前四项和 S4 14 且 a1 a3 a7成等比数列 I 求数列 an 的通项公式 II 设 Tn为数列的前 n 项和 若 Tn 对恒成立 求实数的 1 1 nn a a 1n a nN 最小值 3 设数列的前项和为 已知 且 n an n S 1 1a 2 6a 3 11a 1 58 52 nn nSnS AnB 1 2 3 n 其中 为常数 AB 求与的值 AB 证明数列为等差数列 n a 证明不等式对任何正整数 都成立 51 mnmn aa a mn 4 已知数列 满足 n a n b 1 3a 2 nn a b 1 2 1 nnn n ba b a n N 1 求证 数列是等差数列 并求数列的通项公式 1 n b n b 2 设数列满足 对于任意给定的正整数 是否存在正整数 n c25 nn ca pqr 使得 成等差数列 若存在 试用表示 若不存pqr 1 p c 1 q c 1 r c pqr 在 说明理由 5 已知函数 xaxxfln 0 a 1 若 求的单调区间及的最小值 1 a xf xf 2 若 求的单调区间 0 a xf 3 试比较与的大小 并证明 2 2 2 2 2 2 ln 3 3ln 2 2ln n n 1 2 12 1 n nn 2 nNn且 你的结论 6 已知 数列满足 1 10 1 2 xxgxxf n a0 1 nnnn afagaa 2 1 a 1 2 10 9 nn anb I 求数列的通项公式 n a 求数列中最大项 n b 7 设 函数 k R 2 1 0 x f xexkxx 若 试求函数的导函数的极小值 1k f x fx 若对任意的 存在 使得当时 都有 求实数0t 0s 0 xs 2 f xtx 的取值范围 k 8 已知等差数列 an 的公差不为零 且 a3 5 a1 a2 a5 成等比数列 I 求数列 an 的通项公式 II 若数列 bn 满足 b1 2 b2 4 b3 2n 1bn an且数列 bn 的前 n 项和 Tn 试比较 Tn 与的大小 1 13 n n 9 已知函数 xaxaxxfln 12 22 2 1 2 I 求 f x 的单调区间 II 对任意的 恒有 求正 2 1 2 5 2 3 21 xxa 2 11 1 21 xx xfxf 实数的取值范围 1 解 I 依题意可设则 2 0 f xaxbx a 2fxaxb 由 得 所以 62fxx 3 2 ab 2 32 f xxx 又由点 均在函数的图像上得 n n S nN yf x 2 32 n Snn 当 时2n 22 1 323 1 2 1 65 nnn aSSnnnnn 当 时1n 2 11 3 12 16 15aS 所以 65 n annN II 由 I 得 1 33111 65 6 1 52 6561 n nn b a annnn 故 111111 1 277136561 n T nn A A A 11 1 261n 因此使得成立的 m 必须且必须满足即 11 1 26120 m nN n 1 220 m 10m 故满足最小的正整数 m 为 10 2 设公差为 d 由已知得 3 分 6 2 1464 11 2 1 1 daada da 解得 所以 6 分10 dd 或舍去 1 2 1 naa n 故 1 1111 1 2 12 nn a annnn 9 分 1111 2334 n T 11 122 2 n nnn 对恒成立 即对恒成立 1nn Ta nN 2 2 2 n n n nN 又 2 111 4 2 2 2 44 16 2 4 n n n n 的最小值为 12 分 1 16 3 解 由 得 1 1a 2 6a 3 11a 1 1S 2 2S 3 18S 把分别代入 得1 2n 1 58 52 nn nSnS AnB 28 248 AB AB 解得 20A 8B 由 知 即 11 5 82208 nnnn n SSSSn 11 582208 nnn naSSn 又 221 5 1 8220 1 8 nnn naSSn 得 2121 5 1 58220 nnnn nanaaa 即 21 53 52 20 nn nana 又 32 52 57 20 nn nana 得 321 52 2 0 nnn naaa 321 20 nnn aaa 又 322132 5 nnnn aaaaaa 21 5aa 因此 数列是首项为 1 公差为 5 的等差数列 n a 由 知 考虑54 n ann N 55 54 2520 mn amnmn 2 1 211 mnmnmnmnmn a aa aa aa aaa 2515 9mnmn 2 5 1 15 291522910 mnmn aa amn 即 2 5 1 mnmn aa a 51 mnmn aa a 因此 51 mnmn aa a 4 1 因为 所以 2 nn a b 2 n n a b 则 2 分 1 4 224 22 2 122 1 nnn nnn nnn n abb ba b abb b 所以 1 111 2 nn bb 又 所以 故是首项为 公差为的等差数列 4 分 1 3a 1 2 3 b 1 n b 3 2 1 2 即 所以 6 分 1312 1 222 n n n b 2 2 n b n 2 由 1 知 所以 2 n an 2521 nn can 当时 1p 1 1 p cc 21 q cq 21 r cr 若 成等差数列 则 1 p c 1 q c 1 r c 21 1 2121qr 因为 所以 pqr 2q 3r 2 1 21q 1 11 21r 所以 不成立 9 分 当时 若 成等差数列 2p 1 p c 1 q c 1 r c 则 所以 211 212121qpr 121421 212121 21 21 pq rqppq 即 所以 12 分 21 21 21 421 pq r pq 22 421 pqpq r pq 欲满足题设条件 只需 此时 14 分21qp 2 452rpp 因为 所以 2p 21qpp 22 4734 1 10rqpppp 即 15 分rq 综上所述 当时 不存在 满足题设条件 1p qr 当时 存在 满足题设条件 16 分2p 21qp 2 452rpp 5 1 当时 在上是递增 1 xxxxfln1 0 1 1 x xf xf 1 当时 在上是递减 10 xxxxfln1 0 1 1 x xf xf 1 0 故时 的增区间为 减区间为 4 分1 a xf 1 1 00 1 min fxf 2 若 1 1 a 当时 则在区间上ax xaxxfln 0 11 1 x x x xf xf a 是递增的 当时 则在区间上是递ax 0 xxaxfln 0 1 1 x xf xf a 0 减的 6 分 若 2 10 a 当时 ax xaxxfln x x x xf 11 1 0 1 xfx 则在上是递增的 在上是递减的 0 1 xfxa xf 1 xf 1 a 当时 ax 0 xxaxfln 0 1 1 x xf 在区间上是递减的 而在处有意义 xf a 0 xfax 则在区间上是递增的 在区间上是递减的 8 分 xf 1 1 0 综上 当时 的递增区间是 递减区间是 1 a xf a a 0 当 的递增区间是 递减区间是 9 分10 a xf 1 1 0 3 由 1 可知 当时 有即 1 1 xa 0ln1 xx xx x1 1 ln 则有 2 2 2 2 2 2 ln 3 3ln 2 2ln n n 12 分 222 1 1 3 1 1 2 1 1 n 1 3 1 2 1 1 222 n n 1 1 43 1 32 1 1 nn n 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 1 nn n 1 1 2 1 1 n n 1 2 12 1 n nn 故 15 分 2 2 2 2 2 2 ln 3 3ln 2 2ln n n 1 2 12 1 n nn 6 1 由题意 0 1 1 10 2 1 nnnn aaaa 经化简变形得 3 分高0 1910 1 1 nnn aaa 1 n a 5 分高01910 1 nn aa 变形得 10 9 1 1 1 n n a a 所以是以 1 为首项 为公比的等比数列 1 n a 10 9 可求得 7 分1 10 9 1 n n a 2 由 1 可求得 1 2 10 9 nn anb 9 分 n n nb 10 9 2 得 1 2 3 10 9 2 10 9 3 10 9 1 1 n n n n b b n n n n 7 n 得 12 分 1 1 2 10 9 1 10 9 2 10 9 1 1 n n n n b b n n n n 8 n 即 9876 aaaa 所以 n 7 或 n 8 时最大 14 分 n b 7 8 87 10 9 bb 7 解 当时 函数 1k 2 1 x f xexx 则的导数 的导数 2 分 f x 12 x fxex fx 2 x fxe 显然 当时 当时 ln2 0 f 0ln2x 0fx ln2x 0fx 从而在内递减 在内递增 4 分 fx 0 ln2 ln2 故导数的极小值为 6 分 fx ln2 1 2ln2 f 解法 1 对任意的 记函数0t 22 1 x t F xf xtxexkt x 0 x 根据题意 存在 使得当时 0s 0 xs 0 t F x 易得的导数 的导数 9 分 t F x 12 x t F xekt x t F x 2 x t Fxekt 若 因在上递增 故当时 0 0 0 t F t Fx 0 s 0 xs t Fx 0 t F 于是在上递增 则当时 从而在 t F x 0 s 0 xs t F x 0 0 t F t F x 上递增 故当时 与已知矛盾 0 s 0 xs 0 0 tt F xF 11 分 若 注意到在上连续且递增 故存在 使得当 0 0 t F t Fx 0 s 0s 0 xs 从而在上递减 于是当时 0 t Fx t F x 0 s 0 xs t F x 0 0 t F 因此在上递减 故当时 满足已知条件 13 t F x 0 s 0 xs 0 0 tt F xF 分 综上所述 对任意的 都有 即 亦即 0t 0 0 t F 1 2 0kt 1 2 kt 再由 的任意性 得 经检验不满足条件 所以 15 分t 1 2 k 1 2 k 1 2 k 解法 2 由题意知 对任意的 存在 使得当时 都有0t 0s 0 xs 成立 即成立 则存在 使得当时 成立 2 f x t x 2 0 f x x 0s 0 xs 0f x 又 则存在 使得当时 为减函数 即当时 0 0f 0 0s 0 0 xs f x 0 0 xs 使成立 1 20 x fxekx 又 故存在 使得当时为减函数 0 0 f 0 0ss 0 xs fx 则当时成立 即 得 0 xs 0fx 20 x ek 1 22 x e k 8 解 在等差数列中 设公差为 0 dd 由题 5 3 2 251 a aaa 52 4 1 2 111 da dadaa 3 分 解得 2 1 1 d a 4 分 122 1 1 1 1 nndnaan 5 分 nn n abbbb 1 321 242 9 解 x a axxf 12 22 x xax 1 12 0 x 令 0 x f 1 12 21 xax 1 分 0 a 时 0 1 2 x x xf 所以 xf 增区间是 0 0 a 时 112 a 所以 xf 增区间是 1 0 与 12 a 减区间是 12 1 a 0 2 1 a 时 1120 a 所以 xf 增区间是 12 0 a 与 1 减区间是 1 12 a 2 1 a 时 012 a 所以 xf 增区间是 1 减区间是 1 0 5 分 因为 2 5 2 3 a 所以 6 4 12 a 由 1 知 xf 在 2 1 上为减函数 6 分 若 21 xx 则原不等式恒成立 0 7 分 若 21 xx 不妨设 21 21 xx 则 21 xfxf 21 11 xx 所以原不等式即为 1