不定积分的方法总结

不定积分的方法总结不定积分的方法总结 不定积分在高等数学中占有非常重要的地位 不管是在教师资格考试还是教师招聘考试中都有出题 另外不 定积分的学习为以后学习定积分计算打下了坚实的基础 所以 对于这方面的内容 下面是小编精心收集的不定积分的方法总 结 希望能对你有所帮助 不定积分的方法总结教学过程 在实际问题的解决过程中 我们不仅要用到求导数和微分 还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算 也就是由函数 的导数求原函数 它是积分学的基本问题之一 求不定积分 一 原函数 引例1 已知物体运动方程 s s t 则其速度是物体位移 s 对时间 t 的导数 反过来 已知物体的速度 v 是时间 t 的函数 v v t 求物体的运动方程 s s t 使它的导数 s t 等于 v v t 这就是求 导函数的逆运算问题 引例 2 已知某产品的产量 P 是时间 t 的函 数 P P t 则该产品产量的变化率是产量 P 对时间 t 的导数 P t 反之 若已知某产量的变化率是时间 t 的函数 P t 求该产品产量 函数 P t 也是一个求导数运算的逆运算的问题 2 定义5 1 原函数 设 f x 是定义在区间 I 上的函数 若 存在可导函数 F x 对 x I 均有 F x f x ordF x f x dx 则称 F x 为 f x 在 I 上的一个原函数 例如 由 sinx cosx 知 sinx 是 cosx 的一个原函数 又 sinx 5 cosx sinx c cosx c 是常数 所以 sinx 5 sinx c 也都是函数 cosx 的一个原函数 再如 由 2x3 6x2 知 2x 是 6x 的一个原函数 32 2x3 c 6x2 所以 2x3 c c 是常数 也是 6x2 的一个原函数 注意 没有指明区间时 应默认为区间就是函数定义域 二 不定积分 1 原函数性质 观察上述例子知 函数的原函数不唯一 且有性质 1 若f x C I 则 f x 存在 I 上的原函数 F x 2 若F x 为 f x 在 I 上的一个原函数 则 F x C 都是 f x 的原函 数 其中 C 为任意常数 3 若F x 和 G x 都是 f x 的原函数 则 F x G x C 证明 F x G x F x G x f x f x 0 C R s t F x G x C 4 设F x 为 f x 在 I 上的原函数 则 f x 在 I 上全体原函数为 F x C 其中 C 为任意常数 2 定义 5 2 函数 f x 在 I 上的全体原 函数称为 f x 在 I 上的不定积分 记作 C R s t f x dx 即若F x 为 f x 在 I 上的一个原函数 则有 f x dx F x C C 为任意 常数 说明 1 积分号 2 f x 被积函数 3 f x dx 被积表达式 4 x 积分变量 3 结论 连续函数一定有原函数 f x 若有原函数 则有一簇原函数 它们彼此只相差一个常数 提问 初等函数在其定义区间上是否有原函数 例 edx sinxdx x2 2sinx xdx 一定有原函数 但原函数不一定还是初等函数 例1 求 1 3xdx 2 x5dx 2 解 1 x 3x 32233xdx x C x6 x6 55 2 C x xdx 6 6 例2 求解 1 1 x2dx arctanx 1 21 x 1 1 x2dx arctanx C 1提问 dx arccotx C 对吗 1 x2 1例 3 求 dx x 11解 lnx dx lnx C xx 例4 某商品边际成本为 100 2x 则总成本函数为 C x 100 2x dx 100 x x2 C 3 导数与不定积分的关系 f x dx f x C 1 df x f x C 1 df x dx f x dx 2 d f x dx f x dx 2 可见 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 提问 如何验证积分的结果是正确的 积分的导数是被积函数 时正确 二 不定积分的几何意义 如图 f x dx F x C 函数f x 的不定积分表示 斜率为f x 的原函数对应的 一簇积分曲线 在同一点x0 处 积分曲线簇的切线平行 此曲线蔟可由F x 沿 y 轴上下平行移动而得到 积分曲线 函 数 f x 原函数 y F x 的图形称为 f x 的积分曲线 不定积分的几何意义 f x 的不定积分是一簇积分曲线F x C 且在同一点 x0 处积分曲线簇的切线互相平行 例5 设曲线通过点 P 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这 点横坐标的两倍 求此曲线方程 解设曲线为 y f x 依题意知 x2dy 2x dx 2x 2xdx x2 C 2于是 f x x C 由f 1 2 C 1 所求曲线方程为y x 1 提问 如何验证积分的结果是正确的 结果求导必须是被 积函数 小结 F x 为f x 在 I 上的原函数 则 f x 在 I 上全体原函数 F x c 为 f x 的不定积分 即 2 f x dx F x c 注意当积分号消失时常数 产生 熟记积分公式 注意将被积函数恒等变形后用公式计算 不定积分 课后记 存在的问题不能正确理解几何意义 计算错误较多 找不对原函数 写掉积分常数 C 提问 判断下列结论是否正确 不正确说明理由 1 3dx 3x C 2 xdx 3 515x C6 C 4 1 x2 1x C 5 1 x lnx C 6 5xdx 5xln5 C 7 2exdx ex C 8 2sinxdx cosx C 9 1 1 x2dx arctanx